精品解析：山东省滨州市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

试卷类型：A 高一数学试题 2025.1 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式求对应参数范围，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求代数式的值. 【详解】因为终边过点，故，所以， 故选：B. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指对数函数及正弦函数的性质判断大小关系即可. 【详解】由，即. 故选：A 4. 若一个扇形的弧长为4，面积为2，则这个扇形中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的弧长及面积公式列方程求中心角弧度. 【详解】令扇形中心角为，半径为，则，可得. 故选：D 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数图象性质排除选项AB，然后根据特殊值的符号排除D. 【详解】由题意得设，函数的定义域为， ，所以函数为奇函数. 对A、B：由图象可知函数为偶函数，因为函数为奇函数，故A、B错误； 对C、D：由图象可知函数为奇函数，令，得，故D错误，故C正确. 故选：C 6. 式子（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得. 【详解】 . 故选：C. 7. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. 25 C. 5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解. 【详解】因为，，且， 即， 且，当且仅当时等号成立， 可得，解得或（舍去）， 所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用和角正弦公式及已知可得、，再由差角正弦公式得，最后利用二倍角余弦公式求函数值. 【详解】由， 由，则， 所以，又， 而， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 函数的定义域是 C. 函数（，且）的图象经过定点 D. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时 【答案】ABD 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题写出命题的否定判断A；由分式、对数的性质求函数定义域判断B；根据指数的性质求函数所过的定点判断C；应用偶函数性质求函数解析式判断D. 【详解】A：由全称命题的否定为特称命题，则“，都有”的否定为“，使得”，对； B：由解析式有或，故函数定义域为，对； C：由，故函数的图象必过定点，错； D：若，则，故， 又，所以，对. 故选：ABD 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则． C. 将的图象向右平移个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象 D. 的图象关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数图象求函数解析式，代入法判断对称轴，再由正弦型函数的性质及图象平移写出对应解析式，依次判断各项正误. 【详解】由图知，，则， 且，则，， 所以，，又，则，A错， 所以，则，故不是对称轴，D错， 由及正弦函数的性质，知必有，B对， 将的图象向右平移个单位长度，则， 再把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），，C对. 故选：BC 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 当时，的最小值为1 D. 当时，的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分式性质求定义域，由新定义有时，，判断单调性判断A、B；讨论、，结合函数新定义求的值域，即可判断C、D. 【详解】由解析式易知，函数定义域为，A对； 当，则，故在区间上单调递增，B错； 当时，，此时函数最小值为1， 当时，，则，当且仅当时取等号，C对； 当时，， 当时，，则，当且仅当时取等号，D对； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数在上单调递减，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质及区间单调性列方程、不等式求参数值. 【详解】由题意. 故答案为： 13. 已知是钝角，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系得，应用诱导公式化简求值即可. 【详解】由是钝角，，则， 所以 故答案： 14. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】问题化为与恰有两个交点，根据分段函数解析式及二次函数、对数函数性质画出大致图象，数形结合确定参数范围. 【详解】函数恰有2个零点，即与恰有两个交点， 由函数解析式，可得其大致图象如下， 如上图，当或时，与恰有两个交点. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求解指数不等式求集合，再由交运算求集合； （2）集合并运算求集合，再由包含关系并讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由， 当时，，解得，此时， 当时，要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 16. 设函数，．，用表示，中的最大者，记为．已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值，并写出的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集求参数值，进而有，再由的定义求解析式； （2）求出的最小值，根据不等式恒成立及对数函数的单调性列不等式求参数范围. 【小问1详解】 因为的解集为，所以是方程的两个根， 由根与系数的关系得，解得，所以， 由，得，即，解得或， 由，得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，的最小值为0，所以， 即， 所以，解得，或， 所以的取值范围是. 17. 某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产万件，需增加投入成本为万元．当年产量不足9万件时，；当年产量不小于9万件时，．通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为万元．（利润＝销售收入一总成本） （1）求年利润的函数解析式； （2）求年产量为多少时，该厂的年利润最大？ 【答案】（1）； （2）6万件. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分、求对应解析式，再写出其分段函数形式； （2）在不同分段上，应用二次函数的性质、基本不等式分别求出对应的最值，再比较大小即可得最大利润对应的产量x. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值是900万元， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最大值，最大值是800万元， 因为，所以，年产量为6万件时，该厂年利润最大． 18. 已知函数． （1）求最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）求在区间上的单调递增区间． 【答案】（1）； （2）最大值，最小值； （3）和. 【解析】 【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数解析式，再由正弦函数的性质求最小正周期； （2）应用整体法求对应区间，再由正弦函数性质求最值； （3）换元法求在给定区间的对应区间，结合正弦函数性质求单调递增区间. 【小问1详解】 ， 所以，，其最小正周期. 【小问2详解】 因为，所以， 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值. 【小问3详解】 令，则， 因为，的单调递增区间是和， 由，得，由，得， 所以，函数在上的单调递增区间为和. 19. 悬链线是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状．如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链线形状．双曲余弦函数的图象的形状就是一种特殊的悬链线．定义双曲余弦函数为，双曲正弦函数为． （1）求证：为定值． （2）设函数， （i）判断的单调性，并用定义证明； （ii）若对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）函数在上单调递增，证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据函数定义，应用指数幂运算化简，即可证结论； （2）（i）应用函数单调性定义及指数函数的单调性比较大小判断证明函数的单调性；（ii）奇偶性定义判断的奇偶性，再应用奇偶性、单调性及不等式恒成立得恒成立，应用换元法及三角函数性质求右侧的最大值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设， 所以是定值1． 【小问2详解】 ， （i）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ． 因为，所以，即，又， 所以，即，故函数在上单调递增． （ii）函数的定义域为，因为，都有， 且，所以函数为奇函数． 因为，所以， 因为为奇函数，所以． 由（i）知，函数在上单调递增，所以， 因为，所以，所以， 所以， 设，， 则，， 所以， 设，则在上单调递增， ，所以， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第二问二小问，利用函数单调性和奇偶性将问题化为恒成立为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：A 高一数学试题 2025.1 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个扇形的弧长为4，面积为2，则这个扇形中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6 式子（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. 25 C. 5 D. 1 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 函数的定义域是 C. 函数（，且）的图象经过定点 D. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B 若，则． C. 将的图象向右平移个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象 D. 的图象关于直线对称 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 当时，的最小值为1 D. 当时，的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数在上单调递减，则实数________． 13. 已知是钝角，，则________． 14. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 16. 设函数，．，用表示，中的最大者，记为．已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值，并写出的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 17. 某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产万件，需增加投入成本为万元．当年产量不足9万件时，；当年产量不小于9万件时，．通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为万元．（利润＝销售收入一总成本） （1）求年利润的函数解析式； （2）求年产量为多少时，该厂的年利润最大？ 18 已知函数． （1）求最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）求在区间上的单调递增区间． 19. 悬链线是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状．如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链线形状．双曲余弦函数的图象的形状就是一种特殊的悬链线．定义双曲余弦函数为，双曲正弦函数为． （1）求证：为定值． （2）设函数， （i）判断的单调性，并用定义证明； （ii）若对于，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$