精品解析：北京市房山区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2025北京房山高一（上）期末 数学 本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质求解即可． 【详解】因为，， 所以. 故选：D． 2. 掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型求解概率即可. 【详解】首先，我们知道投掷的点数有， 对于，符合条件的有，对于，符合条件的有， 故，，故B正确. 故选：B 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据函数解析式判断奇偶性和单调性即可. 【详解】因为在上单调递减，不合题意； 因为不是奇函数，不合题意； 因为不是奇函数，不合题意； 因为在上单调递增，且，是奇函数，符合题意. 故选：C 4. 函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为指数函数与二次函数交点个数问题即可. 【详解】令，则， 在同一坐标系作出两函数图象， 从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点， 又，所以也是的两个零点， 且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点， 则总共有3个零点， 故选：D 5. 供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. 在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B. 在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C. 在这位居民中，月份人均用电量为度 D. 从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图逐一计算分析，求出12月份人数最多的一组，判断选项A正确；计算12月份用电不低于20度的频率与频数，判断选项B正确；计算12月份人均用电，判断选项C错误；求出用电量在的频数，再根据概率计算，求出选到的居民用电量在一组的概率，即可判断选项D正确. 【详解】对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是， 有（人），故选项A正确； 对于B：12月份用电量不低于20度的频率是， 有（人），故选项B正确； 对于C：12月份人均用电量为： （度），故选项C错误； 对于D，用电量在的有：人， 所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在一组的概率为，故选项D正确. 故选：C. 6. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】因为向量，，， 所以，即， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 7. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 8. 若函数满足：对定义域内任意的，都有，则称函数具有性质.下列函数中不具有性质的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A，举反例判断B，利用作差法判断C，D即可. 【详解】对于A，任取定义域内任意的，且使， 故，， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，而，达不到取等条件， 得到成立， 即具有性质，故A错误， 对于B，令，则，， 故，， 由对数函数性质得，故， 即不具有性质，故B正确， 对于C，任取定义域内任意的，且使， ，， 故， ， ， ， ， 故成立， 即具有性质，故C错误， 对于D，任取定义域内任意的，且使， ，， 故， ， ，故成立， 即具有性质，故D错误. 故选：B 9. 已知函数且，那么下列命题中的假命题是（ ） A. 若，则或 B. 若，且，则 C. 存在正数，使得函数恰有个零点 D. 不存在实数，使得函数恰有个零点 【答案】D 【解析】 【分析】由且即可求解判断A；由对数函数，且，为单调函数结合题设即可求解判断B；在同一坐标系中作出函数以及函数在点处的切线和函数图象即可判断C；由与图象均与直线相交于两点时可判断D. 【详解】对于A，且，所以或，故A正确； 对于B，因为函数，且，为单调函数，，且， 所以，故B正确； 对于C，当时，作出函数以及函数在点处的切线和函数图象如图所示， 由图可知存在正数，使得函数恰有个零点；故C正确； 对于D，因为与图象关于直线对称，如图： 由图可知当与图象均与直线相交于两点时，图象与函数图象相交于3个点， 所以存在实数，使得函数恰有个零点，故D错误. 故选：D. 10. 已知函数且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例判断①，②，利用函数的奇偶性判断③，利用指数函数的性质判断④即可. 【详解】令，此时，而， ，故函数在其定义域内不单调递减， 函数的值域不可能为；即①，②错误， 因为，的定义域关于原点对称， 故，即， 得到是奇函数，则函数的图象是中心对称图形，故③正确， 当时，，故函数的图象过定点，即④正确. 综上，其中正确结论的个数是，故B正确. 故选：B 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为,根号内要大于等于且对数函数的定义域列不等式组，解不等式可得. 详解】由题可知，解得 故答案为：. 12. 某单位共有名职工，其中岁以下的有人，-岁的有人，岁及以上的有人.现用分层抽样的方法，从中抽取名职工进行问卷调查，则抽取的岁及以上的职工人数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出抽样比，即可求出岁及以上的职工应抽取的人数. 【详解】因为抽样比例为， 所以岁及以上的职工应抽取(人). 故答案为：. 13. 向量在正方形网格中的位置如图所示.若 ，则=_______. 【答案】4 【解析】 【分析】记正方形风格边长为1，向右的单位向量为，向上的单位向量为，用表示出，再由向量的线性运算求解． 【详解】记正方形网格边长为1，向右的单位向量为，向上的单位向量为， 则，，， 由得，解得， 所以， 故答案为：4. 14. 若幂函数同时具有以下三个性质：①的定义域为；②是奇函数；③当时，.则的一个解析式是_______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据所学基本初等函数确定，也可以由已知性质构造一个函数满足题意． 【详解】满足题设三个性质的函数，如反比例（幂函数）（这类函数就有无数个）， 故答案为：（答案为唯一，如也是）． 15. 已知函数 若，则_______；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接解方程即可，作出函数的图象与直线，观察可得的关系及范围，从而得结论． 【详解】得（舍去），得，因此的解为和4； 再作函数的图象，作直线，由图象可知时，有三个解，当时，，，因此， 所以， 故答案为：；． 16. 据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：我想在棋盘的第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的倍，直到第个格子，国王欣然同意.通过计算，该发明者所要求的麦粒数为.你认为，，，四个数中与最接近的是_______．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】计算的对数，比较可得答案. 【详解】，因为，所以， 所以，，，四个数中与最接近的是. 故答案为： 三、解答题共5小题，每小题14分，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. （1）求甲、乙两人都解出这道题目的概率； （2）求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； （3）求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）分甲解出乙没有解出和乙解出甲没有解出两种情况，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （3）分甲、乙两人都解出和只有一人解出，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可. 【小问1详解】 设事件“甲、乙两人都解出这道题目”， 则. 【小问2详解】 设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”， 则. 【小问3详解】 设事件“这道题目被甲、乙两人解出”， 则. 18. 已知向量，． （1）求； （2）若向量满足，求向量； （3）在（2）条件下，若，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标的运算求出表示的坐标，再求其模长； （2）利用向量坐标的运算解向量方程即得； （3）将各向量坐标代入，利用方程两边对应项系数相等可得方程组，解之即得. 【小问1详解】 因为向量，， 所以. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 所以. 【小问3详解】 因为，由（2）知，. 所以. 所以即 19. 已知函数的定义域是． （1）求实数a的取值范围； （2）解关于x不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得恒成立，然后可得答案； （2）利用指数函数的单调性解出答案即可. 【小问1详解】 ∵函数的定义域是， ∴恒成立，则，解得，∴实数a的取值范围为． 【小问2详解】 ，即，∵，∴，即，解得， 故不等式的解集为． 20. 随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）： 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 （1）从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率； （2）若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率； （3）现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由． 【答案】（1） （2） （3）这种抽样不合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可. （2）由相互独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式可求解概率. （3）利用分层抽样的性质判断即可. 【小问1详解】 所有参与调研的人共有人， 不满意的人数是. 记事件“从所有参与调研的人中随机选取人，此人不满意”， 则所求概率为 小问2详解】 参与调研的青年人共有人，满意的有人. 记事件“从使用该款的青年人中随机选取人，此人满意”， 则的估计值为. 参与调研的中年人共有人，满意的有人. 记事件“从使用该款的中年人中随机选取人，此人满意”， 则的估计值为. 则从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人， 恰有人“满意”的概率估计为， ； 【小问3详解】 这种抽样不合理. 理由：参与调研的名老年人中不满意的人数为， 满意和一般的总人数为，说明满意度之间存在较大差异， 所以从三种态度的老年中各选取人不合理.合理的抽样方法是采用分层抽样， 根据，，的具体数值来确定抽样的数目. 21. 已知函数的定义域为，对任意实数，都有，且当时，. （1）求； （2）证明：当时，； （3）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）令，，由已知等式可得； （2）设，由题意可得，则得，再结合，可得； （3）原不等式等价于，利用单调性可得，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，对任意实数都有， 且当时，， 所以当，时，，即， 所以. 【小问2详解】 因为当时，，所以， 即，由（Ⅰ）知，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 【小问3详解】 任取，且， 则， 由已知条件及（1），（2）可知，. 又因为，所以.所以， 所以.所以， 所以， 所以函数的是上的减函数， 当时，不等式转化为. 因为函数的是上的减函数， 所以不等式转化为 ，即，解得， 所以实数的取值范围是或. 【点睛】关键点点睛：（3）原不等式等价于，利用函数单调性转化成，进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025北京房山高一（上）期末 数学 本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（ ） A. ， B. ， C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 5. 供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. 在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B. 在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C. 在这位居民中，月份人均用电量为度 D. 从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 6. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，在平行四边形中，是中点，与交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数满足：对定义域内任意的，都有，则称函数具有性质.下列函数中不具有性质的是 （ ） A. B. C D. 9. 已知函数且，那么下列命题中的假命题是（ ） A. 若，则或 B. 若，且，则 C. 存在正数，使得函数恰有个零点 D. 不存在实数，使得函数恰有个零点 10. 已知函数且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 函数的定义域为_______. 12. 某单位共有名职工，其中岁以下的有人，-岁的有人，岁及以上的有人.现用分层抽样的方法，从中抽取名职工进行问卷调查，则抽取的岁及以上的职工人数为_______. 13. 向量在正方形网格中的位置如图所示.若 ，则=_______. 14. 若幂函数同时具有以下三个性质：①定义域为；②是奇函数；③当时，.则的一个解析式是_______． 15. 已知函数 若，则_______；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是_______． 16. 据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：我想在棋盘的第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的倍，直到第个格子，国王欣然同意.通过计算，该发明者所要求的麦粒数为.你认为，，，四个数中与最接近的是_______．（参考数据：） 三、解答题共5小题，每小题14分，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. （1）求甲、乙两人都解出这道题目的概率； （2）求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； （3）求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 18. 已知向量，． （1）求； （2）若向量满足，求向量； （3）在（2）的条件下，若，求实数的值. 19. 已知函数的定义域是． （1）求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 20. 随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）： 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 （1）从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率； （2）若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率； （3）现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由． 21. 已知函数定义域为，对任意实数，都有，且当时，. （1）求； （2）证明：当时，； （3）当时，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$