解直角三角形的实际应用 专项2025年中考一轮复习数学（甘肃适用）

解直角三角形及其实际应用 1．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段CE和BC的长度； （2）求底座的底面ABCD的面积．。 2．木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示． 航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：∠PAB＝ 　 　°，∠APC＝ 　 　°，AB＝ 　 　海里； （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：1.41，1.73，2.45） 3．双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表： 测量七凤塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°. …… 已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 4．“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m； 【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°； 【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°. 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长） （参考数据：sin32°，cos32°，tan32°，sin42°，cos42°，tan42°） 5．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 6．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段CE和BC的长度； （2）求底座的底面ABCD的面积． 7．城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m． 成果梳理 … 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点C到地面DE的距离； （2）求顶部线段BC的长． （结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144） 8．根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°． sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94 sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 　 　日（填冬至或夏至）时，α为 　 　（填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 9．单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm） 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05． 10．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD． 测量数据 ①DB＝10m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6m． ①EB＝10m； ②ED＝2m； ③CD＝1.6m． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan32.5≈0.64． ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度． 11．某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）． 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××ㅤㅤ组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角 测量数据 …… …… （1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． （2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程． （3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 　 　． 12．中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及tanα的值； （2）求CP的长及sin∠APC的值． 13．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度； 14．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） 15.乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 16．位于安徽省合肥市的渡江纪念馆旁的胜利塔是合肥滨湖新区的标志性建筑．它体现的是中国正义之师的历史功绩和光辉荣耀．如图，某兴趣小组想测量胜利塔CD的高度，先在A处仰望它顶C，测得仰角为37°，再往塔的方向前进120米到B处，测得仰角为82°． 求胜利塔的高度CD．（结果精确到1米；参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈1.33） 17.某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下： 活动目的 测量居民楼的高度 测量工具 皮尺、测角仪 测量示意图及说明 说明：测量仪CD⊥BE、居民棱AB⊥BE．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内 测量过程及数据 测量小组在距离居民楼36m（BE＝36m）处的斜坡EF上的点D处放置测角仪CD，测得居民楼楼顶A的仰角为37°，斜坡EF的坡度i＝3：4，DE＝5m，CD＝1.5m 参考数据 sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75 备注 测量过程注意安全 请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度AB． 18．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；… 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）． 19．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，1.7） （1）求屋顶到横梁的距离AG； （2）求房屋的高AB（结果精确到1m）． 20．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m） （1）求“大碗”的口径AD的长； （2）求“大碗”的高度AM的长． （参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88） 解直角三角形及其实际应用参考答案 1.解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°， ∴， ∴CE＝7米． ∵∠BFG＝45°， ∴BE＝EF＝4米， ∴CB＝CE﹣BE＝3米． （2）如解图，过点A作AM⊥GH于点M． ∵∠AFG＝21.8°， ∴． ∵AM＝BE＝4米， ∴MF＝10米， ∴AB＝ME＝10﹣4＝6米， ∴底座的底面ABCD的面积为3×6＝18（平方米）． 2．解：（1）过点P作PD⊥AC于点D，则△APD、△BPD、△CPD都是直角三角形， 由题可知：∠APD＝60°，∠BPD＝45°，∠CPD＝15°， ∴∠PAB＝30°，∠APC＝∠APD+∠CPD＝60°+15°＝75°， 由题可知渔船每小时航行10海里，渔船从A处航行至B处时间为30分钟， 即半小时，故AB5海里； 故答案为：30，75，5； （2）设PD为x海里， 在Rt△BPD中，∠BPD＝45°， ∴∠PBD＝45°， ∴BD＝PD＝x， 在Rt△APD中，∠APD＝60°， ∴∠A＝30°， tan∠APD，cos∠APD， ∴ADPD，AP＝2PD， ∵AB＝AD﹣BD， ∴PD﹣PD＝5， ∴PD＝BD， ∴AP＝2PD13.65， 在△APC中，∠A＝30°，∠APC＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠APC＝75°， ∴∠C＝∠APC， ∴AC＝AP≈13.65， 设上午9时渔船航行至E处，则AE＝10， ∴CE＝AC﹣AE≈3.65＜5， ∴该渔船会进入“海况异常”区． 3．解：由题意得，DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°， 在Rt△BDG中，tan∠BDG＝tan37°0.75， ∴GD， 在Rt△BFG中，∵∠BFG＝45°， ∴FG＝BG， ∵DF＝24米， ∴DG﹣FGBG＝24， 解得BG＝72， ∴AB＝72+1.2＝73.2（米）， 答：塔AB的高度为73.2米． 4．解：如图，过点E作EH⊥AG于H， 则四边形CDHE为矩形， ∴EH＝CD＝1.8m，DH＝CE＝1m， 在Rt△CDF中，∠CFD＝42°，CD＝1.8m， 则DF2（m）， ∴HF＝DF﹣DH＝2﹣1＝1（m）， 在Rt△EHG中，∠EGH＝32°，EH＝1.8m， 则HG2.88（m）， ∴FG＝HG﹣HF＝1.88（m）， 答：调整后的滑梯会多占约为1.88m的一段地面． 5．解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠B＝45°， ∴BC＝AC＝20cm； （2）由题可知ON＝ECAC＝10cm， ∴NB＝ON＝10cm， 又∵∠DON＝32°， ∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm， ∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm． 6．解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°， ∴， ∴CE＝7（米）； ∵∠BFG＝45°， ∴BE＝EF＝4米， ∴CB＝CE﹣BE＝3（米）； （2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示： ∵∠AFG＝21.8°， ∴， ∵AM＝BE＝4米， ∴MF＝10米， ∴AB＝ME＝10﹣4＝6米， ∴底座的底面ABCD的面积为：3×6＝18（平方米）． 7．解：（1）如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N， ∵∠CDE＝97°， ∴∠CDN＝83°， 在Rt△CDN中，，CD＝6.7m， ∴CN＝CDsin83°＝6.7×0.993≈6.65（m）， 答：点C到地面DE的距离为6.65m； （2）如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P， ∵CF∥DE， ∴∠FCD＝∠CDN＝83°， ∵∠BCD＝98°， ∴∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°， ∵平行线间的距离处处相等， ∴EF＝CN＝6.65m， ∵AE＝8.5m， ∴BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85， 在Rt△BCP中， ∴（m）， 答：顶部线段BC的长为7.14m． 8．解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝14°， 故答案为：冬至，14°； 任务二：过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE， 在Rt△AFE中，， ∴AF＝EF•tan14°≈54×0.25＝13.5（米）， ∵AB＝11×3.3＝36.3（米）， ∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米）， ∴22.8÷3.3≈7（层）， 答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 9．解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm， ∴tan∠BOA，sin∠BOA， ∵2.05，0.90， ∴OD≈10（cm），OB≈22.78（cm）， 在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78cm，∠COA＝37°， ∴cos∠COA，即cos37°， 整理得：OE≈22.78×0.80≈18.224（cm）， ∴ED＝OE﹣OD≈8.2（cm）， 则ED的长为8.2cm． 10．解：“测角仪”方案：过C作CF⊥AB于F， ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴四边形CDBF是矩形， ∴CF＝BD＝10m，BF＝CD＝1.6m， ∵∠ACF＝32.5°， ∴AF＝CF•tan32.5°＝10×0.64≈6.4（m）， ∴AB＝AF+BF＝6.4+1.6＝8（m）， 答：树AB的高度为8m； “平面镜”方案：∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠CDE＝∠ABE＝90°， ∵∠CED＝∠AEB， ∴△CDE∽△ABE， ∴， ∴， ∴AB＝8， 答：树AB的高度为8m． 11．解：（1）需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f； （2）过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB＝90°， ∵DE⊥CB， ∴DE∥AM， ∴△CDE∽△CAM， ∴，即， ∴， ∴； （3）∵， ∴按键顺序为2ndF，sin，0，•，8，6，＝， 故答案为：①． 12.解：（1）由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m）， ∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°． ∴CE＝PE． ∴β＝∠PCE＝45°，． （2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°， ∴． 如解图，过C作 CH⊥AP于点H， ∵，设CH＝x m，则AH＝4x m， ∴x2+（4x）2＝AC2＝9． ∴，． ∴． ∴． 13.解：如解图，过点A′作A′B⊥OA于点B． 设秋千绳索的长度为x尺， 由题可知，OA＝OA′＝x尺，AB＝5﹣1＝4尺，A′B＝10尺， ∴OB＝OA﹣AB＝（x﹣4）尺． 在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2＝OA′2， ∴102+（x﹣4）2＝x2， 解得x＝14.5． 答：秋千绳索的长度为14.5尺. 14.解：在Rt△ABC中，AC＝3，∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝6， 根据勾股定理得，BC3. 在Rt△BCD中，∠CDB＝37°，sin37°≈0.60，1.73， ∴sin∠CDB，即0.60， ∴BD≈8.65， ∴CE＝BD﹣BA＝8.65﹣6＝2.65≈2.7（m）， 则物体上升的高度CE约为2.7m． 15.解：如解图，过点E作EF⊥AB于点F， 设FG＝x m，在Rt△AEF中，∵∠AEF＝37°， ∴tan37°， ∴AF＝EF•tan37°＝0.75（x+16.5）＝（0.75x+10.875）m． 在Rt△AGF中，∵∠AGF＝45°， ∴， ∴AF＝GF＝x m， ∴0.75x+10.875＝x， ∴x≈44， ∴AB＝AF+BF＝44+1.6≈46（m）． 答：乾元塔的高度AB约为46m． 16.解：（1）根据题意得∠CAB＝37°，AB＝120，∠CBD＝82°， 如图，过B点作BH⊥AC于H点， ∵∠CBD＝∠CAB+∠ACB， ∴∠ACB＝82°﹣37°＝45°. 在Rt△ABH中， ∵sinA， ∴BH＝120×sin37°＝120×0.6＝72. ∵cosA， ∴AH＝120×cos37°＝120×0.8＝96. 在Rt△CBH中，∵∠HCB＝45°， ∴CH＝BH＝72， ∴AC＝AH+CH＝96+72＝168（m）. 在Rt△ACD中，∵sinA， ∴CD＝168×sin37°＝168×0.6≈101（m）， 即胜利塔的高度CD约为101 m． 17.解：如解图，延长CD交BE的延长线于点G，过点C作CH⊥AB于点H．则四边形BGCH是矩形， ∴BG＝CH，CG＝BH． ∵DE＝5m，坡度， ∴DG＝3m，EG＝4m， ∴BH＝CG＝CD+DG＝4.5m． ∵BE＝36m， ∴CH＝BG＝BE+EG＝40m． 在Rt△ACH中，， 即， ∴，则AH≈30m， ∴AB＝AH+BH＝30+4.5＝34.5m， ∴该居民楼的高度AB为34.5m． 18.解：如解图，延长CD交AB于点H， 由题意得四边形CMBH为矩形， ∴CM＝HB＝20． 在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°， ∴， ∴． 在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°， ∴， ∴． 设AH＝x． ∵AE＝9， ∴EH＝x+9， ∴， 解得x≈7.1， ∴AB＝AH+HB≈7.1+20＝27.1≈27（米）． 答：点A到地面的距离AB的长约为27米． 19.解：（1）由题知，房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥CB， 则AG⊥EF，EGEF，∠AEG＝∠ACB＝35°， 在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°， ∵tan∠AEG＝tan35°，EG＝6， ∴AG＝6×0.7＝4.2（米）． 答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米． （2）如解图，过点E作EH⊥CB于点H， 设EH＝x， 在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°， ∵tan∠EDH， ∴DH． 在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°， ∵tan∠ECH， ∴CH． ∵CH﹣DH＝CD＝8， ∴8，解得x≈9.52， ∴AB＝AG+BG＝13.72≈14（米）， 答：房屋的高AB约为14米． 20.解：（1）∵AM⊥MN，DN⊥MN， ∴∠AMN＝∠DNM＝90°， ∵AD∥MN， ∴∠DAM＝180°﹣∠AMN＝90°， ∴四边形AMND是矩形， ∴AD＝MN＝ME+EF+FN＝20.0+40.0+20.0＝80.0（m）， 答：“大碗”的口径AD的长为80.0m． （2）如解图，延长CB交AM于点G， 由题意得BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°， ∵∠ABE＝152°， ∴∠ABG＝∠ABE﹣∠EBG＝62°， 在Rt△ABG中，AG＝BG•tan62°≈20.0×1.88＝37.6（m）， ∴AM＝AG+MG＝37.6+2.4＝40.0（m）， 答：“大碗”的高度AM的长约为40.0m． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$