广东省汕头市龙湖区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省汕头市龙湖区八年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)每小题给出四个选项中只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。 1.(3分)“致中和,天地位焉,万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.(3分)以下列数据为三边长能构成三角形的是( ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.14,4,9 D.7,2,4 3.(3分)计算:3xy2•(﹣2x3y)=( ) A.6x4y3 B.﹣6x3y2 C.﹣6x4y3 D.﹣12x3y2 4.(3分)下列式子的变形正确的是( ) A. B.=a+b C. D.=﹣2n 5.(3分)已知关于x的方程的解是x=1,则a的值为( ) A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 6.(3分)如图是脊柱侧弯的检测示意图,在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小,需将∠O转化为与它相等的角,则图中与∠O相等的角是( ) A.∠BEA B.∠DEB C.∠ECA D.∠ADO 7.(3分)如图,点D、E分别在线段BC、AC上,连接AD、BE.若∠A=35 ,∠B=30 ,∠C=45 ,则∠AFB的大小为( ) A.75 B.80 C.100 D.110 8.(3分)工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图,在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC=OD,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合,这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线,这里构造全等三角形的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 9.(3分)如图,直线l是一条公路,A、B是两个村庄.欲在l上的某点处修建一个车站,直接向A、B两地提供乘车服务.现有如下四种建设方案,图中实线表示铺设的行走道路,则铺设道路最短的方案是( ) A. B. C. D. 10.(3分)如图, ABC是等边三角形,AB=6,BD是∠ABC的平分线,延长BC到E,使CE=CD,则BE长为( ) A.7 B.8 C. D.9 二、填空题(本大题共5小题,每题3分,共15分)将正确答案写在答题卡相应的位置上 11.(3分)因式分解:m2﹣4= . 12.(3分)如图①是一种生活中常使用的工具——千斤顶,图②是其示意图,该千斤顶的基本形状是一个四边形中间通过螺杆连接,转动手柄可改变∠ADC的大小,从而改变千斤顶的高度,这是利用了四边形的 . 13.(3分)如图,在 ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,若AB=8,AC=6,DE=4,则 ABC的面积为 . 14.(3分)图中阴影部分的面积为 . 15.(3分)如图,在等腰 ABD中,AB=AD,∠A=32 ,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,则∠EBD的度数为 . 三、解答题(一)(本大题3小题,每小题7分,共21分) 16.(7分)解方程: +=1. 17.(7分)如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,∠B=∠E,BF=CE. 求证:AC=DF. 18.(7分)如图,在直角坐标系中, ABC的位置如图所示,请回答下列问题: (1)画出 ABC关于x轴的对称图形 A1B1C1; (2) ABC的面积为 . 四、解答题(二)(本大题3小题,每小题9分,共27分) 19.(9分)已知. (1)化简A; (2)当x=3时,求A的值. 20.(9分)图1是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线剪开分成四块小长方形,然后按图的形状拼成一个正方形. (1)图2的阴影部分的正方形的边长是 . (2)观察图2,写出(a+b)2,(a﹣b)2,ab这三个代数式之间的等量关系. (3)根据(2)题中的等量关系,解决问题:若m+n=10,m﹣n=6,求mn的值. 21.(9分)加强生活垃圾分类处理,维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任.某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识,营造干净、整洁、舒适的人居环境,准备购买甲、乙两种分类垃圾桶.通过市场调研得知:乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元,且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同. (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价; (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个,则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个? 五、解答题(三)(本大题2小题,第22题13分,第23题14分,共27分) 22.(13分)问题提出: (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形,如图 ABC中,AC=7,BC=9,AB=10,P为AC上一点,当AP= 时, ABP与 CBP是偏等积三角形; 问题探究: (2)如图, ABD与 ACD是偏等积三角形,AB=2,AC=6,且线段AD的长度为正整数,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,求AD的长度为 ; 问题解决: (3)如图,四边形ABED是一片绿色花园,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90 (0 <∠BCE<90 ). ACD与 BCE是偏等积三角形吗?请说明理由. 23.(14分)阅读理解,自主探究: “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为90 ,于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形. (1)问题解决:如图1,在等腰直角 ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E,求证: ADC≌ CEB; (2)问题探究:如图2,在等腰直角 ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长; (3)拓展延伸:如图3,在平面直角坐标系中,A(﹣1,0),C(1,3),在平面平面直角坐标系中是否存在一点B,使得 ABC为等腰直角三角形?若存在,请直接写出B点坐标;若不存在,请说明理由. 2024-2025学年广东省汕头市龙湖区八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C B D A D D 一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)每小题给出四个选项中只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。 1.【解答】解:A.是轴对称图形,故本选项符合题意; B.不是轴对称图形,故本选项不符合题意; C.不是轴对称图形,故本选项不符合题意; D.不是轴对称图形,故本选项不符合题意. 故选:A. 2.【解答】解:A、1+2=3,不能构成三角形,故此选项不合题意; B、2+3>4,能构成三角形,故此选项符合题意; C、4+9=13<14,不能构成三角形,故此选项不合题意; D、2+4=6<7,不能构成三角形,故此选项不合题意. 故选:B. 3.【解答】解:3xy2•(﹣2x3y)=﹣6x4y3, 故选:C. 4.【解答】解:A、≠,原变形错误,故此选项不符合题意; B、分式的分子分母没有公因式,不能约分,原变形错误,故此选项不符合题意; C、==,原变形正确,故此选项符合题意; D、分式的分子分母没有公因式,不能约分,原变形错误,故此选项不符合题意; 故选:C. 5.【解答】解:∵关于x的方程的解是x=1, ∴=, 解得a=﹣1, 经检验a=﹣1是方程的解. 故选:C. 6.【解答】解:由示意图可知: DOA和 DBE都是直角三角形, ∴∠O+∠ADO=90 ,∠DEB+∠ADO=90 , ∴∠DEB=∠O, 故选:B. 7.【解答】解:∵∠A=35 ,∠C=45 , ∴∠FDB=∠A+∠C=35 +45 =80 , ∵∠B=30 , ∴∠AFB=∠B+∠FDB=30 +80 =110 , 故选:D. 8.【解答】解:由题意可得, OC=OD,MC=MD, 又∵OM=OM, ∴ OMC≌ OMD(SSS), 故选:A. 9.【解答】解:作点A关于l的对称点A', 连接A'B, 则A'B为最短道路. 故选:D. 10.【解答】解:由题意可知:BC=AB=AC=6, ∵BD是∠ABC的平分线,CE=CD, ∴, ∴BE=BC+CE=9. 故选:D. 二、填空题(本大题共5小题,每题3分,共15分)将正确答案写在答题卡相应的位置上 11.【解答】解:m2﹣4=(m+2)(m﹣2). 故答案为:(m+2)(m﹣2). 12.【解答】解:根据题意得,这是利用了四边形的不稳定性,故答案为:不稳定性. 13.【解答】解:作DF⊥AC于F,如图, ∵AD是 ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF=4, ∵AB=8,AC=6, ∴S ABC=S ADB+S ADC== 4 8+ 4 AC=28, 故答案为:28. 14.【解答】解:阴影部分的面积为am+m(b﹣m)=am+bm﹣m2. 故答案为:am+bm﹣m2. 15.【解答】解:∵AD=AB,∠A=32 , ∴∠ABD=∠ADB=(180 ﹣∠A)=74 , 由作图可知,EA=EB, ∴∠ABE=∠A=32 , ∴∠EBD=∠ABD﹣∠ABE=74 ﹣32 =42 , 故答案为:42 . 三、解答题(一)(本大题3小题,每小题7分,共21分) 16.【解答】解:方程变形得:﹣=1, 去分母得:1﹣x=x﹣3, 解得:x=2, 经检验x=2是分式方程的解. 17.【解答】证明:∵BF=CE, ∴BF+CF=CE+CF, ∴BC=EF, 在 ABC和 DEF中, , ∴ ABC≌ DEF(SAS), ∴AC=DF. 18.【解答】解:(1)如图, A1B1C1即为所求; (2) ABC的面积=3 3﹣2 31 31 2=9﹣3﹣1.5﹣1=3.5. 故答案为:3.5. 四、解答题(二)(本大题3小题,每小题9分,共27分) 19.【解答】解:(1) =• =, (2)当x=3时, A===1. 20.【解答】解(1)图2的阴影部分的正方形的边长a﹣b, 故答案为:a﹣b; (2)图2整体上是边长为a+b的正方形,因此面积为(a+b)2,中间阴影小正方形的边长为a﹣b,因此面积为(a﹣b)2,空白4个长方形的面积和为4ab, 所以有(a+b)2=(a﹣b)2+4ab; (3)∵m+n=10,m﹣n=6, ∴(m+n)2=(m﹣n)2+4mn, 即100=36+4mn, ∴mn=16. 21.【解答】解:(1)甲分类垃圾桶的单价是x元,则乙分类垃圾桶的单价是(x+40)元, 根据题意得=, 解得x=160, 经检验,x=160是原方程的解,且符合题意, ∴x+40=160+40=200. 答:甲分类垃圾桶的单价是160元,乙分类垃圾桶的单价是200元; (2)设购买甲分类垃圾桶y个,则购买乙分类垃圾桶(20﹣y)个, 依题意得:200(20﹣y)+160y≤3600, 解得:y≥10, ∵y为正整数, ∴y的最小值为10. 答:最少需要购买甲种分类垃圾桶10个. 五、解答题(三)(本大题2小题,第22题13分,第23题14分,共27分) 22.【解答】解:(1)如图1,连接BP, ∵ ABP与 CBP在AP、CP边上的高相等, ∴当AP=CP=AC= 7=, ABP与 CBP面积相等, ∵BC=9,AB=10, ∴BC≠AB, ∵AP=CP,BP=BP,BC≠AB, ∴ ABP与 CBP不全等, ∴此时 ABP与 CBP是偏等积三角形, 故答案为:. (2)如图2,∵ ABD与 ACD是偏等积三角形,且 ABD与 ACD在BD、CD边上的高相等, ∴BD=CD, ∵CE∥AB, ∴∠E=∠BAD, 在 ECD和 ABD中, , ∴ ECD≌ ABD(AAS), ∴ED=AD,EC=AB=2, ∵AC﹣EC<AE<AC+EC,且AC=6,AE=2AD, ∴6﹣2<2AD<6+2, ∴2<AD<4, ∵线段AD的长度为正整数, ∴AD=3, 故答案为:3. (3) ACD与 BCE是偏等积三角形, 理由:如图3,∵∠ACB=∠DCE=90 , ∴∠ACD+∠BCE=180 , ∵0 <∠BCE<90 , ∴∠ACD>90 , ∴∠ACD≠∠BCE, ∵CA=CB,CD=CE, ∴ ACD与 BCE不全等, 作BF⊥CE于点F,AG⊥DC交DC的延长线于点G,则∠G=∠BFC=90 , ∵∠ECG=180 ﹣∠DCE=90 , ∴∠ACG=∠BCF=90 ﹣∠BCG, 在 ACG和 BCF中, , ∴ ACG≌ BCF(AAS), ∴AG=BF, ∴CD•AG=CE•BF, ∴ ACD与 BCE面积相等, ∴ ACD与 BCE是偏等积三角形. 23.【解答】(1)证明:如图1,∵AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠D=∠E=90 , ∵∠ACB=90 , ∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90 , ∴∠DAC=∠BCE, 在 ADC和 CEB中 , ∴ ADC≌ CEB(AAS); (2)解:如图2,∵AD⊥CE于D,BE⊥CE于E, ∴∠ADC=∠BEC=90 , ∵∠ACB=90 , ∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90 , ∴∠DAC=∠BCE, 又∵AC=BC, ∴ ADC≌ CEB(AAS), ∴CE=AD=2.5cm,CD=BE, ∵DE=1.7cm, ∴CD=CE﹣DE=0.8cm, ∴BE=0.8cm; (3)解:在平面平面直角坐标系中存在点B,使得 ABC为等腰直角三角形,理由如下: 分三种情况: ①当∠BAC=90 时,AC=AB,如图3,过点A作EF∥y轴,过点C作CE⊥EF于E,过点B作BF⊥EF于F, 同(1)得: CEA≌ AFB(AAS), ∴CE=AF,AE=BF, ∵A(﹣1,0),C(1,3), ∴CE=AF=1+1=2,AE=BF=3, ∴B(2,﹣2); ②当∠ACB=90 时,AC=BC,如图4,过点C作EF∥x轴,过点A作AE⊥EF于E,过点B作BF⊥EF于F, 同(1)得: AEC≌ CFB(AAS), ∴AE=CF,CE=BF, ∵A(﹣1,0),C(1,3), ∴CE=BF=1+1=2,AE=CF=3, ∴B(4,1); ③当∠ABC=90 时,AB=BC,如图5,过点B作EF∥y轴,交x轴于F,过点C作CE⊥EF于E, 同(1)得: CEB≌ BFA(AAS), ∴CE=BF,BE=AF, 设AF=a,则BE=AF=a, ∵A(﹣1,0),C(1,3), ∴BF=3﹣a,CE=a+2, ∴3﹣a=a+2, 解得:a=, ∴B(﹣1.5,2.5); 综上,使 ABC为等腰直角三角形,点B的坐标为(2,﹣2)或(4,1)或(﹣1.5,2.5). 学科网(北京)股份有限公司 $$