精品解析：安徽省黄山市黄山第一中学2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题

黄山一中2025届高三上学期期末质量检测数学试题 时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】由得，解得，则， 因为，则， 因此，. 故选：A． 2. 已知向量满足，且在上的投影为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在上的投影公式得到方程，求出，结合求出答案. 【详解】由题意得，在上的投影向量为， 故，即，， 解得. 故选：A 3. 某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】甲获胜的情形有三种：第一种，甲第一次就摸到红球；第二种，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到红球；第三种，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到红球.利用古典概率的加法求解即可 【详解】； 故选：C. 4. 已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边上的点求函数值，再应用差角正弦公式求即可. 【详解】由题意， 则. 故选：C 5. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况结合对数函数的单调性去解不等式即可得解. 【详解】由题可得或，又为增函数， 所以解得或，故解集为. 故选：D. 6. 已知数列的通项，若且，使得，则的取值个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得为方程的两个不等正整数解，为负整数，结合韦达定理分析求解. 【详解】令，即， 由题意可得为方程的两个不等正整数解， 由韦达定理可得，可知为负整数， 因为， 所以，共个． 故选：C. 7. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据为锐角可知直线与蒙日圆相离，根据直线与圆位置关系可求得范围，进而得到离心率的取值范围. 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 直线，与椭圆都相切， ，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角， 点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：， 又，； 椭圆离心率，，. 故选：B. 8. 已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的满足，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 曲线关于点对称 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助赋值法令，即可判断A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可判断B；结合复合函数导数公式与对称性可判断C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可判断D. 【详解】对A：令，有，故，故A错误； 对B：令，有，又不恒为零， 故，即，又，故是奇函数，故B错误； 对C：令， ； 令， 所以，即， 因为不恒为零，所以，， 关于直线对称，所以关于直线对称，故C错误； 对D：由，故， 令，有， 即，则，即， ，即，，即， 令，有， 即，则，则； ，所以； ，所以； 故，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：D选项中，关键点在于令可得，结合，可得为偶数时，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 【答案】BD 【解析】 【分析】由，判断A，由，判断C；令，，且，结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D. 【详解】A：对于，，则，错； C：对于，，满足，显然，错； 令，，且，则，， 所以，B对； ，则，可得，即为纯虚数，D对. 故选：BD. 10. 如图，在中，平面，点在平面的同侧，，在平面内的射影的长分别为3，4，则（ ） A. 平面 B. C. 四棱锥的体积为 D. 平面与平面的夹角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直可计算长度，即可判断A，根据梯形的边角关系即可求解B，利用等面积法可得长度，即可根据锥体体积公式求解C，根据线面垂直，可得为平面与平面的夹角，即可利用锐角三角函数求解D. 【详解】对于A选项，由，可得， 则四边形为直角梯形， 可得与不平行，故不平行于平面，故A选项错误； 对于B选项，由， 可得，故B选项正确； 对于C选项，如图，过点作，由， 有， 由于在平面内的射影故平面, 平面,故， 又，平面, 故平面， 又由四边形的面积为， 可得四棱锥的体积为，故C选项正确； 对于D选项，取的中点，连接，由， 有， 由平面，平面，则， 又由，平面, 平面，平面，可得，故为平面与平面的夹角， 又由，故D选项错误． 故选：BC． 11. 已知是双曲线：的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，和的内切圆半径分别为.设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设内切圆与的三边分别切与点，则由双曲线定义、内切圆性质可得，再由得可判断A；设，，利用求出可判断B；利用等面积得，设，由余弦定理得，再由又等面积法得可判断C；由可判断D. 【详解】对于A，如图所示，设内切圆与的三边分别切与点， 则由双曲线定义可得，又由内切圆性质可得：， 又，则，，所以， 又，即， 则，故A错误； 对于B，设，， 所以为等腰三角形，则点为的中点， 则，， 所以，即得，所以双曲线离心率为，故B正确； 对于C，由B可知：，， 则.因为内切圆半径为， 所以， 由等面积法可知，， 整理得，即， 设，，，又由可知为等腰三角形， 则，所以， 由余弦定理可得：， 整理得：，即，即，， 又等面积法可得：， 即，即， 则，故C正确； 对于D，所以，故D正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：在C选项中解题的关键点是利用等面积得、 进行解答. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，利用赋值法可得特定项系数. 【详解】由已知可得二项展开式的通项， 令，可得， 则， 即项的系数为， 故答案为：. 13. 如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件设、，由此可得，对函数求导，根据导数判断函数的单调性，求得最值即可. 【详解】由题意设，因为面积为，所以， 根据题意有：， 所以， 则长方体的体积为， ，令，有， 所以时，，函数在上单调递增， 时，，函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故答案为： 14. 在中，角所对的边分别为，且外接圆半径为，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理和三角形的面积公式可得，又，利用余弦定理和三角形的面积公式可得，再由基本不等式可得，进而得，即可求得的最大值. 【详解】设的面积为，的外接圆半径为， 由正弦定理， 则， 则， 由余弦定理， 则 ， 由，得， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以， 则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是先由正弦定理和三角形的面积公式可得，再由余弦定理和三角形的面积公式结合基本不等式可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据： 女 男 未参加跳绳比赛 参加跳绳比赛 （1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关 （2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率． 附：其中． 【答案】（1）有 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对即可. （2）利用分层抽样求出抽取的12人中参加与未参加跳绳的人数，再借助组合计数问题求出古典概率. 【小问1详解】 由表格中的数据，得， 所以有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关． 【小问2详解】 利用分层抽样的方法从女生这人中抽取人，则未参加跳绳比赛的有人，参加跳绳比赛的有人， 老师甲从这人中随机选取人，记“至少有人参加跳绳比赛”为事件， 则， 所以至少有人参加跳绳比赛的概率是. 16. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）由单调性与导数符号的关系列出不等式即可求解； 【小问1详解】 的定义域为． 当时 所以 在处的切线方程为． 【小问2详解】 令． 由题意，当时 当时 只需 即 解得： 因为为整数，所以． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为棱的中点． （1）若直线与平面的交点为，证明：平面； （2）已知平面，，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行可证线线平行，进而可证线面平行； （2）根据二面角的定义可得底面菱形的边长，建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面法向量，进而可线面夹角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点，连接，， 因为平面，所以， 所以为二面角平面角， 即， 因为， 所以，所以在中，， 以，分别为轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 即， 令，得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角正弦值为． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （ⅰ）设点，所以，， 设直线的斜率为，方程为：，则， 由消去，得①， 因为直线与椭圆相切，所以方程①， 得， 所以②， 其中． 所以关于的方程②有两相等实根，所以， 所以为定值． （ⅱ）椭圆：的左、右焦点，． 方法1：由（ⅰ）得过点与直线垂直的直线为：， 令，得，所以直线与轴交点， 所以，． （）， 同理．所以． 根据内角分线定理得，为的角平分线，设与轴交于点, 所以， 即，，三点共线，所以直线过点． 方法2：设点，则， 根据题意得，解得 所以， 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． 方法3：设点，则， 过垂直于的直线交于点， 由（ⅰ）可得：，则：． 联立直线与的方程得所以 所以， 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和短轴的概念建立方程组，解之即可求解； （2）（ⅰ）设，：，联立椭圆方程，利用可得，结合得，解得，即可证明；（ii）由（i）可得点与直线垂直的直线方程，求出直线与轴交点，根据两点求距离公式证明，结合内角平分线定理即可下结论. 【小问1详解】 根据题意得， 又，解得，， 所以椭圆：． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）． 19. “外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如外观数列为： 第一项： 第二项：描述第一项为个 第三项：描述第二项为个个 第四项：描述第三项为个个个 第五项：描述第四项个个个． （1）求“外观数列”的第三项和第五项； （2）若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率； （3）证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减． 【答案】（1）第三项为第五项为 （2） （3）证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第项为． 若只有一个数字串，即则.若则为位数若则两种都不存在连续项单调递减． 若只有两个数字串，即则 若则至少三个数字串至少是位数不存在连续项单调递减 若此时同理或否则 若则当时 当时两种都不存在连续项单调递减 若则 若则不符合题意 若则此时存在连续项单调递减 若只有三个数字串，即 若则至少四个数字串不存在连续项单调递减； 当时，同理或或； 若则同理或又时矛盾， 若与矛盾.若则 同理或又时矛盾，若则不存在连续项单调递减.同理可得和不存在连续项单调递减． 若有四个以上数字串，则不存在连续项单调递减所以当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减． 【解析】 【分析】（1）根据外观数列的定义，逐步分析前一项数字的组成并进行描述得到下一项. （2）需要先找出所有可能的数列的第一项和第二项的情况，再根据概率的定义计算. （3）证明当m是六位数时，“m - 外观数列”从首项开始最多连续4项单调递减，需要根据外观数列的定义和六位数的特征进行分析推理. 【小问1详解】 根据“外观数列”的定义得到，第三项为第五项为； 【小问2详解】 为一位数时，第项为两位数，不符合； 为两位数时，即为时，第二项为当大于时第二项小于第一项，此时有个符合.当由两种不同的数字构成时，第二项为四位数，不符合； 为三位数时，即为时，第二项为第二项小于第一项，此时有个符合.当由两种或三种数字构成时，第二项为四位数或六位数，不符合． 综上，总共有个数列符合，在所有数列中含的数有个，故总数为个，故第二项小于第一项的概率为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄山一中2025届高三上学期期末质量检测数学试题 时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，且在上的投影为，则（ ） A. B. C. D. 3. 某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ） A. B. C. D. 4. 已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项，若且，使得，则的取值个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 7. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的满足，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 曲线关于点对称 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 10. 如图，在中，平面，点在平面的同侧，，在平面内的射影的长分别为3，4，则（ ） A. 平面 B. C. 四棱锥的体积为 D. 平面与平面的夹角的正弦值为 11. 已知是双曲线：的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，和的内切圆半径分别为.设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为________． 14. 在中，角所对的边分别为，且外接圆半径为，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据： 女 男 未参加跳绳比赛 参加跳绳比赛 （1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关 （2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率． 附：其中． 16. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为棱的中点． （1）若直线与平面的交点为，证明：平面； （2）已知平面，，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 19. “外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如外观数列为： 第一项： 第二项：描述第一项为个 第三项：描述第二项为个个 第四项：描述第三项为个个个 第五项：描述第四项个个个． （1）求“外观数列”的第三项和第五项； （2）若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率； （3）证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $