天津市静海区第一中学2026-2027学年高三上学期10月学业能力调研数学试题

静海一中2026-2027第一学期高三数学（10月) 学生学业能力调研试卷 命题人：李静 审题人：陈中友 本试卷分第I卷基础题(119分)和第Ⅱ卷提高题（31分)两部分，共150 分，3分卷面分。 知识技能 学习能力 集 简易 函数 三角 导数与 平面 不等 内容 复数 关键环节 合 逻辑 性质 函数 函数 向量 式 分数 5 5 15 48 5 34 30 5 18 第I卷基础题（共119分） 一、选择题：每小题5分，共45分. 1已知集合4=eNr-9<0以，B=eR=-LxeR,则4nB=() A.0,12} B.九，2} c.【1,3) D.(33) 2m0是0=名+2版，2的（)条件 6 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3已知函数'=f(四的图象如下，则) 的解析式可能为() A四B.品=D 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 f(x)=Ixl x2-1 c-log,sin 5 “12,则a,b,c的大小关系是() A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b ogm3=m,log。4=n 5.已知 计算a-=（) 9 A.4 B.1 D.2 6已知向量a,5满足问=2，同=1，a+2=25.则ā与5的夹角为() π A.3 B.4 c.8 D.6 72函数f()=log,x-3x的一个零点所在区间为（） A.(7,8) B.(8,)c.(910) D(10,11) 8.已知函数 )=smox+o>0,0<0<2的部分图象如图所示.则下列结论正确酮 是() 金国的图象关于点30)对称 2 B.f(x)的图象向右平移6个单位后得到y=sin2x的图象 [。 0 5 c.f(x)在区间2的最小值为2 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 D.@有两个零点，两个极值点，圆m∈晋得 9.已知商数=-x-a+a86)=r-4r+3,若方程 f(x)g(x)川 恰有2个不同的 实数根，则实数a的取值范围为() A2引g引e.2[gmn2引传+ 二、填空题：每小题5分，共30分 10.已知复数z= 3+4i 1- (:是虚数单位)，则复数，的共轭复数-的模为 已知函数()=-tan,相邻两个对称中心间的距离为牙，则财（孕）= 11 12.如图，某施工队将从A到B修建一条隧道，为确定A,B之间的距离，测得了以下 数据：AD=CD=22,AD⊥CD,BC-3,∠BCD=105°，则A,B间的距离为· 13.已知M是△1BC内-点且B-4C=25,∠B1C=30,若△MBC,△MCA 1 ·1,8x 和△MAB的面积分别为2，x,y,则xy的最小值是一 14.已知非零向量a,6的夹角为3，|a=4若(2a-1a,则16=一：若对 于任意的2eR，a+Pa-21恒成立，则b 15.老0r+国-经50对eL2E攻立，则a+b 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 三、解答题：（本大题共3小题，共44分） 16.(14分)记△ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,C,已知b+c=Va2+bc (1)求角A; √5 (2)若△ABC的面积为2，且sinB=2sinC: (①求△ABC的周长：(i)求sin(2B+A) 17.(15分)已知函数 e)-=sm2x+写}sn2x-骨}+2osx-l.xeR ①函数()+2的单调递婚区间和对称中心： ππ (②)求函数(x)在区间4'4上的最大值及此时x的取值： 3)将函数 ()图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2 (横坐标不变)，再向右平移 24个单位，得到西数8)的图象，若3@)= 5 π5π 5,且6'12， 求cos2a的值： 18.(15分)已知函数 f(x)=2ln-(a+l)x2-2ax+1 aER g(x)=xe+x-x ①求曲线'=()在点L80》处的切线方程： ②已知函数儿冈有两个零点，，求实数“的取值范围； 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 (3)证明： 当a=0时，f(x)+2x2-lnx≤g(x) 第Ⅱ卷提高题（共31分） 19.(12分)(1)在直角梯形ABCD中，AD LAB,CD∥AB,AB=2AD=2DC=2,E 为C边上一点，C=3C,F为直线6上-点，求下F团 的最大值 (2)在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60,C正=2丽.CF=2FD,已知点M在线 段P上，且AM=xAB+号AD,AM=xAB+AD (i)求x;(i)若点N为线段BD上一动点，求AN·MN的最小值。 (3)求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法以及 每个方法适用范围 20(16分)已知函数f()=ar+x-lh(x+).a∈R ①若x=2是()的极值点，求口的值并说明x=2是极大值点还是极小值点： ②)若x≥0时，f()s0 求a的取值范围： 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 )对四的定义域内的任意，：<)， fsf>1+a(+)+03+ 证明： x2- 21.（3分)卷面分 静海一中2026-2027第一学期高三数学（10月) 答案 第I卷基础题（共92分） 一、选择题（每题4分，共32分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B D D A A C D D 二、填空题（每题5分，共25分) 5W2 10.211.-V3 12.V13 13.10 14. 161 15月 三、解答题（本大题共3题，共34分) 161)由+c=+灰两边平方，86+-g。起 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 os4-2+c2-a2-be。1 由余弦定理得 As2π 2bc一2bc=2,又A∈(0，)，所以A=3 ,uc=besind=bcsin子 1 bc= (2)①由 2 2 34 2,得bc=2. b C 由sinB=2sinC及正弦定理sinB sinC,得b=2c,所以bc=2c2=2, 所以c=lh=2,又0=+c2+ic=7,所以a=万 所以△1BC的周长为0+b+C=3+V万 ②根据上述分析可知，A=343 3 2,c0sA=1 2, 由正弦定理sinB= bsinA 2+ a 之，因为A=2红，B+C=所以是锐角， V7 3 3 B 所以cosB=V1-sin2B V21 27 7 7,可得 sin2B=2sinBeosB=2x4 计算可得 月n(2B+A=sin2Bcos4+cos2 BsinA=4W5×-1）+LxV53W5 7×272-14 .π 17.(l)易知f(x)=sin2xcos5+cos2xsin号+sin2.xcos元 π -cos2xsin。+cos2x 3 3 3 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 =sin 2x+cos 2x=2 sin 2x*) 工+2m≤2x+≤+2kkeZ,解得- 令2 42 3π+knsxsi+km,keZ, 8 因此函数()的单调递增区间为8 令2x+牙+ake乙，可得x= 42 82 元，keZ: π，k 因此函数（闪）的对称轴方程为x=8+2 元，k∈Z； 3ππ (2)根据(1)中结论可知当k=0时，f(冈在8'8上单调递增， π3π 因为y=sir在4'2上单调递增，在L2’4」上单调递减， 所以f(以=5sm受=5.此时2x+号经 +=→x= =8: 因此函数f()在区间4'4上的最大值为2，此时x的取值为 8 (3)将函数 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的5（横坐标不变）可得 y=2sin 4 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 5π 再向右平移24个单位得到函数 6厂5 π5π 2a-π∈2m） 反双62，可知623，结验 30 Sn2c&-6=5 610； 4V5+3 即cos2a的值为I0· 18@函数/的定义域为0，+） 又f)-是-2e+1)x-2a=2a+r-6x+ 当0≤1时，f代小>0恒成立，)在0，)上单调递箱，所以)不可能有2个零 点： 当a>-1时， c时.f小0，则回r4上￥两 0<x<1 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 当时了0，则回调试 当x→0时，f→刀，当x→+0时，f因→0 所以要起致因有2个车点，只需司小0 2e -2aa点0 整理得2n(a+l)+<0, a+1 设8(x)=2n(x+1)+x +x+1,函数的定义域为(-l,+∞)， 则82+1 子十+之0，所以g在定义或上单洞适塔， 且g0=0.则不字式2a++。<0的解华为(-10， 所以“的取值范围为，0) 何a=1时()=+n+1,要使f)g(问，即使+nx+1≤ae+产-， 因此要证明()=e-1nx-x-1上0 网=ete-1-6+e-. 设o)=ete-,则()=e+e+e心+=6g+2e+>0, 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第°页共8页 则（四在0，+切）上单调递增， 又因为 0)<0,k0>0,则有在气(01使得()=0， 因此0<x<时()k0,>时，k(✉)>0 所()在Q单调递减，在，十)单调道蓉 e-1-0e=1 因为>0，所以，即。 k (o)=xe*-Inxo -xo-1=-In xo-xo 19.以A为原点，AB、AD所在的直线分别为xy轴建立如图所示的平面直角坐标系， 所以40,0B(2.0).CL1),D0,1) 设E(,）,则BC=(1,BC=1-,1-),因为BC=3Ec, 所=0--，解得-%到 4 所以直线4E所在的直线方程为y=2x,设F(x,), CF=(x-1,y-）FB=(2-x-) 所以 示.历=(《-ly-02-x-列=-02-)行- =引写+品，因为F为点找E上一点： 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 9 所以当x=5时C下FB有最大值，为20， C E B X 2 因为C正=2BC下-2师，所以距=号8C,DF-Dc, 所以AE=AB+BE=AB+，AD,F-AD+DF-}AB+AD, 因为点M在线段EF上， 可设亚-证0-亚-西+而1-兮西+D-兮号西1-号D, =1+2 x= 33 而 云’所以 AM=x4B+I -解得3”5 1- = 32 4 6 因为点N为线段BD上一个动点， 可设N-=uAB+(1-)AD.4∈0,1 所以-N-M-uB1-0-(信+0=u-名D, 6 所以N.-u+1-0AD1u-名B+(0D列 =u-名B+(-2+号u-名a01-owa0 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 7 当且仅当412时，等号成立， 37 所以.M的最小值为-4· 20(1)f()的定义域为(-1，+o),f()=2ax+1- x+1, 因为x=2是面数f)的极位点。所以/)=4a+1写0，解得0= o, 当6.写+1石 x+13(x+1), 因为0<x<2,f(>0,x>2时，f)0, 所以)在Q,2)上单调递增，在2+四)上单调逆减， 所以x=2是6的极大位点 (2)f'()=2ar+1-1=x2ar+1+2a) x+1 x+1 当a≥0时，2ar+1+2a=2a(x+)+1>0f(0)=0 -1<x<0时，f(0,x>0时，f》>0, (冈在-1,0)上单调递减，在0，+)上单调递增， 所以x>0时，f()>f(0)=0 ,不合题意 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 当2<0时.白2x41+2a=0的=-名> 当1-20，a≤时、/<0对0暖 1 所以/儿在0+)上单调递减，所以x>0时，（水f0)=0合 题意： 当-l六>0，即a<0时，r>0对0<x-1a成立， 1 2a 所以fx)在0.-1-2a)上单调滂， 所以当0<x<-1-1 a时，f(x)>f(0)=0,不合题意. 17 综上，a的取值范围是 f(x2)-f(x)ax+x2-In(x2+1)-axi-x+In(x+1) (3)证明：因为x2-x x2-X =a(:+)+1-n(s+)-n(G+) x2-x1 f(x)-f()>I+a(x+x) 1 所以要证x2一x V(x+1)(x+1)成立， ln(x2+1)-ln(x+1) 1 只要证 x2-X1 V(x+1)(x2+1)成立， x2-x 因为x2>x>-1,所以只要证 (+-h(+)+0+可成立. 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页 因为 (+)-h(x+1)=n+ x+1」 为-x=出+)-(x+四 :+1 x+1 V(x+1)(x2+1)V(x+1)(x2+1)V+ Vx2+1, h+1 x2+1 x+1 所以只要证x+1Vx+1Vx2+1成立 n0=ai-i 0子-2 ≤0，对>0成立， 所以80在0，+切)上单调递减。 当>1.0)<g0=0,所以rc5-日 t=5+1 七3+1 >1 取 x+1,由为3>x>-1知为+1>x+1>0,从而x+1, m5+1 x32+1 x+1 所以x+1 x+1√x+1成立，故原不等式成立 高三数学(10月)学生学业能力调研试卷第页共8页