2025年中考专题：概率初步

概率初步 ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•海淀区校级期中）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到红色小球的概率为　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•拱墅区校级期中）下列事件中，是必然事件的是　　 A．相等的圆心角所对的弧相等 B．圆内接平行四边形一定是矩形 C．二次函数的图象开口向上 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽2件，其中有红衣服 3．（2023秋•大余县期末）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有　　个． 摸球的次数 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 4．（2024秋•余姚市期中）同班同学小明和小芳从校门口到教室需要经过刷脸通道后爬楼梯到达教室，已知学校有，两个刷脸通道，、、三个楼梯，那么某天小明和小芳经过相同的刷脸通道，相同的楼梯到达教室的概率是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•廊坊期中）在古代，一位智者为了保护自己的宝藏，设计了一个充满智慧挑战的宝箱，宝箱有两个钥匙孔，同时插对两把钥匙才可以开启宝箱，一位后人找到了三把外观相同的钥匙，分别为“日”“月”“星”，其中“日”和“星”为正确的钥匙，这位后人从三把钥匙中随机选择两把，能够打开宝藏的概率为　　 A． B． C． D．1 6．（2024秋•廊坊期末）嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“〇”棋子，淇淇执“”棋子，二人在距棋盘3米外随机投掷，若棋子落在已有棋子的方格中、压格线或掷到棋盘外则需重掷，掷到空格中则占据该空格，当三颗相同棋子连成一条线时获胜．某局比赛棋盘线棋子如图所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷本次棋子嘉嘉获胜的概率为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•苍溪县期末）如果小球在如图所示的图案上（去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形）自由地滚动，并随机停留在某处，那么小球最终停留在灰色图案上的概率是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•奇台县期末）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④；⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•萧山区期中）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼　　条． A．4000 B．5000 C．10000 D．2000 10．（2023秋•献县期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•江津区校级期末）甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中装有1个红球、2个白球，乙盒中装有2个红球、1个白球，从甲、乙两盒中各取一个球，则两球颜色相同的概率为 　　． 12．（2024秋•锦江区校级期中）盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字，1，4，搅匀后随机摸出一个小球，其上的数字记为，放回重新搅匀后，再随机摸出一个小球，其上的数字记为，则，使得关于的方程有实数解的概率是　　． 13．（2024秋•重庆期末）三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是　　． 14．（2024秋•龙岗区校级期中）一个不透明的袋子中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中．不断重复这一过程，共摸了400次球，发现有160次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有 　　个． 15．（2024秋•龙岗区校级月考）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．某顾客正好消费220元，他转一次转盘时，他获得七折优惠的概率是　　． 16．（2024秋•长春期末）在一个不透明的盒子中共装有40个球，其中有个红球，这些球除颜色外无其它差别．数学兴趣小组做摸球试验，将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下： 摸球的次数 20 50 100 200 300 400 500 摸到红球的次数 9 32 62 117 181 238 301 摸到红球的频率 0.45 0.64 0.62 0.585 0.603 0.595 0.602 根据以上数据，估计的值约为 　　． 17．（2024秋•海淀区校级月考）不透明的袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球（没有粉色），实验小组向其中投入10个除颜色外无其他差别的粉色小球．摸出一个球，记录颜色，放回混合均匀，再摸出一个球，记录颜色，重复多次，发现摸到粉色小球的频率稳定在0.02附近，可以估计袋子中原来有　　个小球． 18．（2024秋•成都期中）有5张正面分别写有数字，，0，1，的卡片，它们除数字不同外全部相同．将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为．则使以为自变量的一次函数经过第二、四象限，且关于的不等式组有解的概率是　 　． 19．（2024•南漳县模拟）如图所示的电路图，同时闭合两个开关小灯泡不亮的概率是 　　． 20．（2024秋•沙坪坝区校级期中）有5个外观完全相同且密封不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠和氢氧化钠五种溶液，小星从这5个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是 　　． 三、解答题（共6小题） 21．（2024秋•西城区校级月考）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字． （1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果； （2）求两次取出的小球上数字的和是正数的概率； （3）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，，的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．若两次取出的小球上数字的和是正数概率大于，直接写出的取值范围． 22．（2024•扬中市二模）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． （1）小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是 　　； （2）小莉随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 23．（2024秋•阎良区校级期末）一个不透明的口袋里装着分别标有数字，，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀． （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 　　； （2）从中任取一球，记下球上的数字，然后把小球放回；再任取一球，记下球上的数字，请用画树状图（或列表法）的方法，求出两球上的两数之积为非负数的概率． 24．（2024秋•船营区校级期末）2024年8月，首次“中国寻根之旅”河南夏令营在河南郑州开营，来自美国、英国、加拿大、法国、瑞士等15个国家和地区的155名海外华裔青少年，以“文化”“华服”“文字”“功夫”为主题组成四个营，分赴郑州、洛阳、鹤壁、焦作、许昌等地参访交流． （1）若从“文化”“华服”“文字”“功夫”四个营中随机选择1个营参访交流，恰好选到“华服”营的概率为 　　； （2）若两个外国青少年准备随机选择一个营参访交流，请用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一个营的概率． 25．（2024秋•拱墅区校级期中）如图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． （1）如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为　　； （2）如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 26．（2024春•织金县期末）2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回． （1）计算摸到小球数字为2的概率； （2）如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由． 参 考 答 案 ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D A B C B B B 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两次都取到红色小球的结果有1种， 两次都取到红色小球的概率为， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：、相等的圆心角所对的弧相等，是随机事件，不符合题意； 、圆内接平行四边形一定是矩形，是必然事件，符合题意； 、二次函数的图象开口向上，是不可能事件，不符合题意； 、从4件红衣服和2件黑衣服中任抽2件，其中有红衣服，是随机事件，不符合题意； 故选：． 3．【答案】 【解答】解：摸到白球的频率在0.8左右波动， 所以估计摸到白球的概率为0.8， 设盒子里白球的个数有个， 根据题意得， 解得， 即估算盒子里白球的个数有8个． 故选：． 4．【答案】 【解答】解：学校有，两个刷脸通道，、、三个楼梯， 小明和小芳经过相同的刷脸通道的概率为，经过相同的楼梯的概率为， 小明和小芳经过相同的刷脸通道，相同的楼梯到达教室的概率是； 故选：． 5．【答案】 【解答】解：如图： 由上面树状图可知，共有6种等可能的结果，能够打开宝藏的结果有2种， 能够打开宝藏的概率为， 故选：． 6．【答案】 【解答】解：由图可知总共有3个空格，当掷到中间空格或右上方空格时嘉嘉获胜， 所以掷本次棋子嘉嘉获胜的概率为． 故选：． 7．【答案】 【解答】解：根据如图所示的图案，可知灰色图案的面积是总面积的一半， 小球最终停留在灰色图案上的概率是． 故选：． 8．【答案】 【解答】解：条件：①；②；③；④；⑤中能判断是菱形的有：①；④； 故从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为． 故选：． 9．【答案】 【解答】解：鱼塘中鱼的数量约为（条， 故选：． 10．【答案】 【解答】解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， 能让灯泡发光的概率为， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11． 【解答】解：列表如下： 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 共有9种等可能的结果，其中两球颜色相同的结果有4种， 两球颜色相同的概率为． 故答案为：． 12．【答案】． 【解答】解：有实数根时，△， 即， 列表为： 1 4 ，（能 1，（能 4，（能 1 ，1（能 1，1（不能） 4，1（能 4 ，4（不能） 1，4（不能） 4，4（能 通过列表可以得出共有9种情况，其中能使关于的方程有实数根的有6种情况， ，满足关于的方程有实数根为． 故答案为：． 13．【答案】． 【解答】解：随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，作树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中的有3种， 的概率是． 故答案为：． 14．【答案】10． 【解答】解：共摸了400次球，发现有160次摸到黑球， 摸到黑球的概率约为， 袋子中有红球和黑球共25个， 袋中的黑球大约有（个， 故答案为：10． 15． 【解答】解：他转一次转盘时，他获得七折优惠的概率是． 故答案为：． 16．【答案】24． 【解答】解：根据频率估计概率的知识可得，摸球一次摸到红球的概率为0.6， ． 故答案为：24． 17．【答案】490． 【解答】解：重复多次试验，发现摸到粉色小球的频率稳定在0.02附近， 摸到粉色小球的概率为0.02，设袋子中原来有个小球， 则， 解得， 经检验，是方程的解， 估计袋子中原来有个190小球． 故答案为：490． 18．【解答】解：以为自变量的一次函数经过第二、四象限， ， 解得：， 解不等式组得： ， 不等式组有解， ， 故， 解得：， 故的取值范围是：， 故，0时，符合题意，所有的可能有5种， 故使以为自变量的一次函数经过第二、四象限，且关于的不等式组有解的概率是：． 故答案为：． 19．【答案】． 【解答】解：由题意，可画树状图如下： 由树状图可得，共有12种情况，其中同时闭合两个开关小灯泡不亮的有6种， 同时闭合两个开关小灯泡不亮的概率是， 故答案为：． 20．【答案】． 【解答】解：将稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠和氢氧化钠五种溶液分别记为，，，，， 列表如下： 共有20种等可能的结果，其中抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的结果有：，，共2种， 抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率为． 故答案为：． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）见解答． （2）． （3）． 【解答】解：（1）列表如下： 3 7 3 7 由表格可知，共有9种等可能的结果． （2）由表格可知，两次取出的小球上数字的和是正数的结果有：，，，，，，共6种， 两次取出的小球上数字的和是正数的概率为． （3）列表如下： 3 3 由表格可知，共有9种等可能的结果． 两次取出的小球上数字的和是正数概率大于， 需要满足， ． 22．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）小明和小莉两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体， 小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是， 故答案为：； （2）把分别倒入蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液的4个烧杯分别记为、、、，列表如下： 由表知，共有12种等可能的结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果， 一杯变红、一杯变蓝的概率为． 23．【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有2种， 所抽取的数字恰好为负数的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 0 2 0 2 共有16种等可能的结果，其中两球上的两数之积为非负数的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， 两球上的两数之积为非负数的概率为． 24．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）恰好选到“华服”营的概率为， 故答案为：； （2）设“文化”“华服”“文字”“功夫”四个营分别用字母、、、表示， 画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中两人恰好选择同一个营的结果有4种， 两人恰好选择同一个营的概率为． 25． 【解答】解：（1）由题意得，该电路为断路的概率为． 故答案为：． （2）将2个电子元件①、②正常工作分别记为，，2个电子元件①、②不能正常工作分别记为，， 列表如下： ， 共有4种等可能结果，其中系统正常工作的结果有有：，，共1种， 系统正常工作的概率为． 26．【答案】（1）； （2）这个抽签方式公平． 【解答】解：（1）小球标有的数字为1、2、3、4， 摸到小球数字为2的概率； （2）摸到的球号码大于2的概率为， 小红参加活动和小星参加活动的概率都是， 这个抽签方式公平． 第1页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $$