考前练49 定值问题&考前练50 证明问题(考前练)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

3.解：(1)，动点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到定直线 54m2 -18m 设N(xww),得xv27-一1，w27m= x=4的距离之比是常数2， -6m2 一6m 红D+ 同理设Mxw),得x3m+1,w3n, 1 x-4 --1y+y--0 ,=3 一6m w+1-6m+2(3nm-1D=3m, 整理并化简，得艺+上 + =1, 3 m= 动点Pc,)的锁连C的方程为号+号-1 ∴km·w=-1,即MA1⊥NA, (2)设Mh),N(为)， ,以MN为直径的圆一定过C的左顶点. 件可知-古古 b=b a 3.(1)解： →a=b=1, 2 1 会 一京=1 .双曲线C的方程为x2一Y2=1. 当M与左顶点A(一2,0)重合，N与右顶点B(2,0)重合时， (2)证明：设A(m,为)，B(),PA的斜率为k, MF取最大值。NF取最小值，此时取最大值3 则PAy为=一有)，联立为r一》 当M与右顶点B(2,0)重合，N与左顶点A(一2,0)重合时， x-y2=1, 消去y,得 x2-[kx+(k1十y)]=2.x-[kx十(-kx十h)]=1, MF取最小值，NF取最大值，此时取最小值子 整理，得(1一)x2-2k(-)x一(-)-1=0. 改的取值范程为[合可 PA与双曲线相切， ∴△=4k2(1一kx1)°+4(1-2)（一kx1)2+4(1一k2)=0, 考前练48定点问题 ∴4(y-x)2+4(1-)=0, ∴k-2k1为十+1-=0→(x-1)-2k为十+ 1(1)解：根据题意，得号-=1，则p=2 1=0. 故抛物线C的方程为y=4z x-=1,-1=,+1=-2知为十x=0, (2)证明：显然直线AB的斜率存在且不为零、不过原点，故设 即（妙一）产=0，即=互 其方程为x=my十n(n≠0)， 联立y得一4my一4切=0.4=16m+16 六PAy为=红-西Py=-1. 同理，切线PB的方程为yy=xx一1， 设A(h),B(x4), 则为十为=4m,方为=一4n,西n=少为》 P(m,6)在切线PA,PB上，有为=m西一1， =2 为3为=m一1， 16 ·点A,B满足直线方程yy=mx一1，而两点确定唯一一条 由题可知，头·之=一是即一-一是 直线，AB:hy=mx-1, 1 1 解得n=8,此时满足△>0， 当/ m'时，无论为为何值，等式均成立， 故直线AB恒过x轴上的定点(8,0). y=0 2.(1)解：由题意得A(一1,0)，A2(1,0). 设A(x,为)，B(,一h)(%≠0)，P(x,y), “点(，0)恒在直线AB上 则kH=kM,kL=k, 故无论P在何处，AB恒过定点（品0）. 希六高则兴 即义=为 考前练49定值问题 又：点在C上-1-普则-3， 1.(1)解：焦点为1,0)∴号=1，则p=2,y=4x 点P的轨迹方程为-号-1y0. (2)证明：当直线AB的斜率不存在时，A(3,23),B(3,一23)， 3 （2②证明：”m-一吉设直线M的方程为工 有a+a-2如-25-2+-2g-2-言=0， 6 6 当直线AB的斜率k存在时，设直线AB:y=k(x一3)，A(x1, 一3my一1(m≠0)，则MA,的方程为x=my十1， x=-3my-1, B,.联立》得一-(+0+ 联立-号=1. 得(27m2-1)y+18my=0(27m2-1≠0 3 9张=0，则十-6k十4， 1=9， 且△>0). △=(6k+4)2-4×足×9k2=48k+16>0, -112 +a-如-导+子+号 考前练50证明问题 _(k-3k-2)(x十3)+(kx-3张-2)（红十3》+2 1.1)解：由题设条件，知点M的坐标为（号a,号b). x十3（十西）十9 3 2张×9-2×60+4-6(3张+2》 又w-得小会-得a=56=不=必，放 9+3x+ -25 a 5 18-12+8-18-12+24+是 (2)证明：由N是AC的中点，知点N的坐标为（受，一名）， =0, 36+是 可得成=（倍，曾） .kc+ka-2kar=0. 2.(1)解：一条渐近线方程为y=3x,∴名=3，b=3a, 又A亦=(-a,从而：=言女+骨#=君(6w-》 由(1)可知a2=56,∴A店.NM=0 故MN LAB. 2.(1)解：：离心率e一2，….可设农曲线方程为x一y=A(Q≠0). 由A在双曲线C上，得言一是-1，解得d-3 双曲线过点P(-4,-√0)，∴16-10=a,A=6, 黄线C的方程为号苦-1 “双商线的方程为号一首-1 (2)证明：设M(x,%),则4：y一为=√3（红一x), (2)证明：由(1)可知，双曲线中a=b=√6，∴c=√a+形= 则P(后，d小则o=g2 √6+6=2W3, F1(-23,0),F2(2W3,0) 同理，：y一为=一5(x一x), 则Q(5+边，0），则10Q1=5+边， M3m.3+2万s,g-2万 √3 ,ks·kE, 则10p110Q1-5五二业.5+边=3道 3+25‘3-23 √5 3 “点M3m在双查线后苦=1上。 又点M在线C上号普1-， 号-号-1m=3=-跨=-1 0p10a-32-3, ∴MF⊥MF,∴Mf,·M=0. 3 ∴.OP1OQ为定值3. 3.(1)解：易知点F的坐标为(1,0)，则直线1的方程为y=(x一 1),化简，代人y=4x,得2x2-(22+4)x+2=0, 3①潮：由a=地得隔圆C壶+芳- 由题意，知k≠0， △=[-(2k+4)2-4k2·k=16(+1)>0. 又点(1.22）)在C上…心证+8-1，得8=1d=9 设A),B,则石十五-2，函-1 故椭圆C的方程为号+少-1. 由抛物线的定义，知AB引=x1十x十2=8， (2)证明：由直线1过点Q(1,0),设1的方程为x=my十1， :2火十4=6，解得2=1，即k=士1， 联立9十了1，清去，得m+9)y+2y一8-0,4城+ .直线1的方程为y=士(x一1). x=my十1， (2)证明：由抛物线的对称性，知点D的坐标为(，一少)，连 32(m2+9)>0. 接EB,ED(图略).又E(-1,O), 设MM),N() 二头=必(+1)+为(+1) 2m 8 西+1十1 (+1)(x4十1) 则为十为= m千9h%=一 m2+9 为+1D+(+1)=(学+1)+（经+1） T(3,0),.kw·kN=- D一3—3m别2、 3为 m3为一2 为3 20+为)+0+为)=6+)(”+1)， 4 m为3为一2m(十为)+4 由(1)知xx=1,.(为)2=16x1=16. 8 可得 m十9 又为与为异号，∴为=一4，即义+1=0， -8 36 ∴kw一km=0,即ks=km 直线M,TN的斜率之积为定值-号 ED与EB有公共点E, ∴B,D,E三点共线 113考前练49 定值问题 L.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 =1(a>b>0),a=3b,点 F(1,0),T(3,0),G(-3,2),过点T的直线交 已知椭圆C塔+芳 抛物线于A,B两点， (1,2号)在椭圆C上 (1)求抛物线C的方程： (1)求椭圆C的方程： (2)求证：kA十kB一2kr为定值. (2)若过点Q(1,0)且不与y轴垂直的直线1 与椭圆C交于M,N两点，T(3,0),证明直线 TM,TN的斜率之积为定值， 2.已知双曲线C石一1(a>0,b>0)的一条】 渐近线方程为y=√3x,且经过点A(2,3). (1)求C的方程： (2)O为坐标原点，过双曲线C上一动点M (M在第一象限)分别作C的两条渐近线的平 行线1，l2,且l1,l2与x轴分别交于点P,Q 求证：OPOQ为定值 -51 考前练50 证明问题 L设椭圆E的方程为 2+=1(a>b>0),07 3.过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为k的 b2 直线1交抛物线C于A,B两点，且AB=8. 为坐标原点，点A的坐标为(a,0),点B的坐 (1)求直线1的方程； 标为(0，b),点M在线段AB上，满足 (2)若点A关于x轴的对称点为点D,抛物线 1BM=2MA1,直线QM的斜率为亮 的准线与x轴的交点为点E,求证：B,D,E三 点共线， (1)求E的离心率e: (2)设点C的坐标为(0，一b),N为线段AC的 中点，证明：MN⊥AB. 2.已知双曲线的中心在原点，焦点F,F2在坐 标轴上，离心率为2，且过点P(一4，一√10)， 点M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线的方程： (2)求证：MF·MF2=0. -52