考前练39 直线与平面所成的角&考前练40 平面与平面所成的角(考前练)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

考前练39 直线与平面所成的角 1.如图，在三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两 3.如图①，在边长为4的正方形ABCD中，E是 垂直，OA=0C=3,OB=2 AD的中点，F是CD的中点，现将△DEF沿 (1)求点B到直线AC的距离： EF翻折成如图②所示的五棱锥P-ABCFE. (2)求直线OB与平面ABC所成角的正弦值. 0 (1)求证：AC∥平面PEF: (2)若平面PEF⊥平面ABCFE,求直线PB 与平面PAE所成角的正弦值 2.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长 为2的菱形，∠ABC=5,PA⊥底面ABCD. M是棱PC的中点. (1)求证：PA∥平面BMD: (2)当PA=3时，求直线AM与平面PBC所 成角的正弦值。 B -41 考前练40平面与平面所成的角 1.如图，在直三棱柱ABCA,B1C中，AC⊥BC, 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD E为BB1的中点，AB=CC1=2BC=2. 为平行四边形，P在平面ABCD内的投影为 (1)证明：AC⊥CE: 边AD的中点0.∠ABC=吾，BC=4,AB= (2)求二面角AEC1B的余弦值 1,P0=3. (1)求证：AB⊥平面POC. (2)在线段PB上是否存在一点E,使得平面 POC与平面0C的夹角的余弦值为3Y? 若存在，指明点E的位置：若不存在，说明 理由 2.如图，四边形ABCD是正方形，四边形BDEF 为矩形，AC⊥BF,G为EF的中点. (1)求证：BF⊥平面ABCD. (2)二面角C-BG-D的大小可以为60吗？若 可以，求出此时既的值：若不可以，请说明 理由 -42E,F分别为AD,CD的中点， ∴.EF∥AC,即题图②中有EF∥AC 又：QE∥PC,PCC平面PAC,QE寸平面PAC, 又EFC平面PEF,AC文平面PEF,.AC∥平面PEF ∴.QE∥平面PAC (2)解：如图，取EF的中点O,连接OP,OB ,'BONQE=Q,.平面BEQ∥平面PAC,∴.BE∥平面PAC 分析知，OP⊥EF,OB⊥EF 考前练39直线与平面所成的角 又平面PEF⊥平面ABCFE,平面PEF∩平面ABCFE=EF, 1.解：(1)以O为坐标原点，O,O元，OA POC平面PEF, 的方向分别为x轴、y轴、：轴的正方 .PO⊥平面ABCFE 向，建立如图所示的空间直角坐标系， AB=4, 则A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0) .PF=AE=PE=2,EO=OP=OF=√2，OB=3N2 AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3), 以O为坐标原点，OE,OB,OP所在直线为 0i=(2,0,0).取a=AB=(2,0,-3), x轴、y轴、x轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 2 则O00,0),P(0,0,2),B(0,32,0), 六点B到直线AC的距离为y一a-√B一号= E(2,0,0),A(22,2,0), 21 (2)设n=(x,y,z)是平面ABC的法向量， ∴B亦(0，-32，N2),E=(2,2,0),Ep=(-2,0w2). AB·n=0,.2x-3z=0, 设平面PAE的法向量为n=(xy,), aC.m=0.÷3y-3-0, 则 则2x+Ey-0,取1，则)=-1=1， 取=2，得-3m=（3,22. -√2x十2z=0, y=2, ∴n=(1,-1,1D 设直线OB与平面ABC所成的角为0， ∴os(Bi,m》= 0×1+(-32)×(-1)+2×1 则血g=1c成，ml=OBa OB·n 63/17 √+(-3w2)+(W2)2×√下+(-1)+1 2X/1717 =2W30 :直线OB与平面ABC所成角的正弦值为3 15 2.(1)证明：如图，连接AC,交BD于点O,易知O为AC的中点， 故直线PB与平面PAE所成角的正弦值为3@ 15 连接MO. 考前练40平面与平面所成的角 M,O分别为PC,AC的中点，.PA∥MO 1.(1)证明：在直三棱柱ABCA:B,C中，CC⊥平面ABC,ACC ,'PA庄平面BMD,MOC平面BMD,.PA∥平面BMD 平面ABC,∴.CC LAC (2)解：如图，取BC的中点H,连接AH. 又AC⊥BC,CC,BCC平而BCCB且CC∩BC=C, :四边形ABCD为菱形，∠ABC=号， ,AC⊥平面BCCB. ,'CEC平而BCCB,.ACLC E ,AH⊥AD 以A为坐标原点，分别以AH,AD, (2)解：如图，以C为坐标原点，CA,CB, AP所在直线为x轴y轴、：轴，建立B CC所在直线分别为x轴、y轴、x轴建立 空间直角坐标系， 如图所示的空间直角坐标系， 由AC⊥BC,AB=2BC=2,可得AC= 则A(0,0,0),B(√5，一1,0)，C(3,1,0),P(0,0,5), 5,则A(√3,0,0)，E(0,1,1),C(0,0, M停). 2),B(0,1,0) 设平面ADC的法向量为m■(x,y,z), ∴i=(停号）-02,0.元-51,3. AE=(-3,1,1),AC=(-3,0,2), 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), A正·m=0, 即 -3x+y+z=0, 由：武0得 2y-0, AC·m=0 -3x+2x=0, m·P心-0,3x+y-3z=0. 令z=5,则x=2y=3,∴m=(23,W3). 取x=1,则x=1,.m=(1,0,1). ,AC⊥平面BCCB:, 设直线AM与平面PBC所成的角为0，则 ∴.CA=(W3,0,0)为平面ECB的一个法向量， ×1+×0+×1 Cdi·m sin 8-Icos(m,AM)| =42 ∴.cos(CA,m〉= 23=0 1CA1Im3×√10 51 ∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为 即二面角ABC,B的余弦值为 7 2.(1)证明：，四边形BDEF为矩形，，BF⊥BD, 3.(1)证明：在题图①中，连接AC(图路). 又，AC⊥BF,AC,BD为平面ABCD内两条相交直线 106 .BF⊥平面ABCD. (2)解：假设二面角C-BG-D的大小为60° 由(1)知BF⊥平面ABCD,如图，以 ∴当点E为线段BP上靠近点P的三等分点时，满足题意 A为坐标原点，AB,AD分别为 考前练41圆的方程 x轴y轴建立空间直角坐标系，不 妨设AB=AD=2,BF=h(h>0), 1e舞断：油老异计计心得-K2 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0), 2.C解析：由题知，圆心为P(2,一3).：圆P与y轴相切，∴圆 G1,1,h),EG=(-1,1,h),BC P的半径r=|x,=2,∴所求圆的方程为(x一2)2十(y十3)2=4 (0,2,0). 3.D解析：：直线OD的斜率koD=1,∴直线AB的斜率kg= 设平面BCG的法向量为n=(x,y,), 一1，.直线AB的方程是y-1=-(x一1)，即x十y-2=0. E元n=0即厂++=0·取n=a0,1D. 4.A解析：已知司的圆心C(1,2)关于直线y=x对称的点为 则武n一0， 12y=0, C(2,1),.圆(x一1)2十(y一2)2=1关于直线y=x对称的圆 :AC⊥BF,AC⊥BD,BFOBD=B,BF,BDC平而BDG, 的方程为(x-2)2+(y-1)2=1 .AC⊥平面BDG, 5.A解析：设点A的坐标为(x,y,由题意可得B,C的中点坐标 ∴，平面BDG的一个法向量为AC=(2,2,0) 为(0,0)，3y0,再由AD的长度是4可得2+y=16(y≠0). n·A心 2h 6.D解析：设△ABC外接圆的方程为(x-a)+(y一b)2=2, 由题意，得c0s60°= ImllACI √+万·4+4 (-3-a)2+(0-b)2=r2,1a=0, 第得后=1，此时瓷-各 1 则有(W3-a)+(0-b)=产，解得b=1, 0-a)2+(3-b)°=2， r=2, 放当既-号时，二面角C-BGD的大小为60 则△ABC外接图的方程为x十(y一1)严=4. 3.(1)证明：在△OCD中，由余弦定理可得OC=CD+OD 7.AB解析：由已知得圆心在y轴上，且被x釉所分劣孤所对 2CD:0Dos∠CDA=1+4-2X1X2Xcos号=3， 的圈心角为红设国心为(0，a,半径为r,则rsin号=1， ∴.OC=√3，∴.OC+CD=ODd,.CD LOC rms吾-lal,解得r=后即P-音，al-号，即a=士号。 3 由题易知PO⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,'.PO⊥CD. OC∩PO=O,.CD⊥平面POC C的方程为+（）广- :四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD, 8.CD解析：由2+y+2x=0得(x十1)2十y=1,表示以 ∴AB⊥平面POC (2)解：如图，取BC的中点F,连接OF,则OF,OP,OC两两垂 《一10)为周心，1为丰径的国六表示国上的点红，)与点 直，建立空间直角坐标系， (1,0)连线的斜率，“设y =6，即虹-y-k=0,当直线 虹一少一=0与圆相切时，k取到最值，此时一2 =1,解得 +I 人一士停产的莱大位为停最小维为-得 3 9,A解析：建立如围所示的平面直角坐标 系，设，点A(-a,0),B(a,0)(a>0),C(x C(r.y) y,则AC=(x十a,y),BC=(x-a,y), (-g.0a,0 :.AC.BC=(x-a)(+a)+y=+ A O B y2-d2=1,整理，得x2+y=a2十1，故点 则B(3,2,0),P(0,0,3),C(一3,0,0)，则Oi=(5,2,0), C的轨速为圆。 O=(-√3,0,0)，Bp=(-3,-2,3). 设BE=AB驴=(-51，-2A,3x)(0<X<1),O元=O店+B 10B解折： =2,.|MA=2|MBl.设M(x,y),则 (5-A,2-21,3), √x+4)+了=2√(x-2)+y,整理，得(x一4)2+ 易知平面PO℃的一个法向量为m=(0,1,0). y2=16. 设平面OCE的法向量为n=(x,y,z), 11.√/10解析：司C:x2+y2+Dx+2y=0的国心为 则 0元·n=-3x=0, （-号-)，则有-号-2X(-1D+1=0,得D=6,则C的 OE·n=(W3-31)x+(2-2)y十3x=0, 令=-2，得m=(0,-2小， 半径为号6+2-V0. 12.3解析：点M的坐标为(2,0)，AB是圆O:x十y=1的 3 一条直径， 由题意，得|co5(m,n〉| 1- √()+4 3,解得 ∴Mi·Mi=(M⑦+OA)·(M⑦+O)=M心+(OA+ O)·M0+OA.Oi=2+0-1=3. 107