考前练37 点、直线、平面之间的位置关系&考前练38 线面平行、垂直问题(考前练)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

积为加-号×2红解得一2…国柱的底面丰径为2，高为4 4,.EN=2.过点M作CD的垂线，垂足为P,连接BP,则 六最多可以注入的水的体积为X2X4音xX21 MP=3 CP=是Bf=MP+BP-(慢)'+（受'+ 31 2=7,,BM=√7，∴.BM≠EN,连接BD,BE.四边形AB 125 解析：一个正四面体可以在一个棱长为2的正方体内 CD为正方形，∴，N为BD的中点，即EN,MB均在平而BDE 绕着正四面体的中心任意转动，说明正四面体最大时为诚正 内，.直线BM,EN是相交直线 方体内切球的内接正四面体，诚正方体内切球的半径为1.设 解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为1，由题知πl 该球的内接正方体的棱长为a,则3a=2,解得a=23,而 3,即1=3m设母线与底面的夹角为0，则c0s0=千=子 球的内接正四面体的棱长为内接正方体的校长的√瓦倍，即 解析：如图，取BC的中，点E,连接 为25。 02 4 SE,DE,则∠SDE(或其补角)为异面直 考前练37点、直线、平面之间的位置关系 线SD与AB所成的角， 1.B解析：MN∥平面PAD,MNC平面PAC,平面PAD∩ 由题知SE=SD=√/12一4=22，DE=2, 平面PAC=PA,,MN∥PA 2.A解析：若aLa,则a垂真于a内所有直线，周此，命题“若 oos∠SDE8+4-82 2X22×24 a⊥a,则a垂直于a内无数条直线”正确，a垂直于a内无数条 11.①②为条件，③为结论解析：①②为条件，③为结论，命题 直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可 正确.若l∥B,l中B,过作平面Y,与平面B相交于直线a,则 以在平面a内，即不能报出a⊥a,∴，“a⊥a”是“a垂直于a内无 ∥a.lLa,∴a⊥a又aCA,∴a⊥R②③为条件，①为结 数条直线”的充分不必要条件， 论，命题错误.如图①，长方体中l∥B,a⊥B,但是【不垂直于 3.B解析：a∩B=l,∴lCa,lCB,则l与a平行或相交，l与b a.①③为条件，②为结论，命题错误.如图②，1⊥a,a⊥3， 平行或相交.又a,b为并面直线，∴，l不能与a,b同时平行，即 ∴.l∥B或CR L与a,b可能都相交，也可能与一条相交，A,C,D错误 4,D解析：对于A,当m∥a,m∥m时，n∥a或n在平面a内，故 A错误：对于B,当m∥a,n∥a时，m,n可能平行，可能相交， 也可能异面，故B错误；对于C,当m⊥a,n⊥m时，H∥a或n 在平面a内，救C错误：对于D,当mL,n⊥a时，由垂直于同 一平面的两条直线平行，可得m∥n,故D正确. 0 5.ABD解析：若aLa,a∥3，则a⊥B,又b⊥B,.a∥b,故A正 考前练38线面平行、垂直问题 确，若a⊥a,a⊥b,则bCa或b∥a,∴.存在直线nCa,使得 1.证明：：AB⊥平面PAD,AEC平面PAD,∴AE⊥AB m∥b.文b⊥B,m⊥B,∴.a⊥B,故B正璃：若a⊥a,a⊥b,则 又AB∥CD,.AE⊥CD. bCa或b∥a又a∥B3,.bC3或b∥B,故C错误：若a∩B=a, ,AD=AP,E是PD的中点，，AE⊥PD a∥b,则b∥a或b∥B,故D正确. 又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD,.AE⊥平面PCD 6.C解析：如图，在正方体ABCD-A1B1CD 'MN⊥AB,AB∥CD,.MN⊥CD. 中，，"AD∥BC,,,直线BD与直线AD所 又MN_LPC,PC∩CD=C,PC,CDC平面PCD, 成的角a为∠D1BC.,BC⊥平面CDDC, ∴，MN⊥平面PCD,∴.AE∥MN. .DC为D1B在平面CDDC上的射影， 2.证明：(1)E,F分别是AC,BC的中点，.EF∥AB 直线BD与平面CDDC所成的角B为 又EF平面ABC,AB,C平面ABC,,EF∥平而ABC」 ∠BDC又BC⊥平面CDDC∴.BC⊥D (2):BC⊥平面ABC,ABC平面ABC,.BC⊥AB. C,∠DBC+∠BD,C-5,即a+P- ,AB⊥AC,BCC平面AB1C,ACC平面ABC,B CnAC=C, .AB⊥平面ABC 7.A解析：已知，点P在侧面CDD1C及其 D 又：ABC平面ABB,.平面ABC⊥平面ABB. 边界上运动，BP⊥AC,由三垂线定理得 3.解：(1)'在正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=2, AC⊥平面BDC,可得动点P的轨迹为 AB=√2 线段C1D,正方体的棱长为1，可得点C J 到线段CD的距离为d=受，则PC∈ 侧面的离√公-()= ,∴正四棱锥S-ABCD 22 [d.cc]=「9，il 的表面积S=4×号×反×空+巨×反=27+2 8.B解析：如图，取CD的中点O,连接 (2)存在.如图，取SD的中点Q,过点 ON,EO.△ECD为正三角形，.EO⊥ Q作PC的平行线交SC于点E,连接 CD.文平面EBCD⊥平面ABCD,平面 BQ.BE. ECD∩平面ABCD=CD,∴.EOL平面 在△BDQ中，有BQ∥PO ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则 又SP=3PD,则PQ=PD EO=√3，ON=1,∴，EN=EY+ON= 'POC平面PAC,BQ丈平面PAC, ∴BQ∥平面PAC 105 E,F分别为AD,CD的中点， ∴.EF∥AC,即题图②中有EF∥AC 又：QE∥PC,PCC平面PAC,QE寸平面PAC, 又EFC平面PEF,AC文平面PEF,.AC∥平面PEF ∴.QE∥平面PAC (2)解：如图，取EF的中点O,连接OP,OB ,'BONQE=Q,.平面BEQ∥平面PAC,∴.BE∥平面PAC 分析知，OP⊥EF,OB⊥EF 考前练39直线与平面所成的角 又平面PEF⊥平面ABCFE,平面PEF∩平面ABCFE=EF, 1.解：(1)以O为坐标原点，O,O元，OA POC平面PEF, 的方向分别为x轴、y轴、：轴的正方 .PO⊥平面ABCFE 向，建立如图所示的空间直角坐标系， AB=4, 则A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0) .PF=AE=PE=2,EO=OP=OF=√2，OB=3N2 AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3), 以O为坐标原点，OE,OB,OP所在直线为 0i=(2,0,0).取a=AB=(2,0,-3), x轴、y轴、x轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 2 则O00,0),P(0,0,2),B(0,32,0), 六点B到直线AC的距离为y一a-√B一号= E(2,0,0),A(22,2,0), 21 (2)设n=(x,y,z)是平面ABC的法向量， ∴B亦(0，-32，N2),E=(2,2,0),Ep=(-2,0w2). AB·n=0,.2x-3z=0, 设平面PAE的法向量为n=(xy,), aC.m=0.÷3y-3-0, 则 则2x+Ey-0,取1，则)=-1=1， 取=2，得-3m=（3,22. -√2x十2z=0, y=2, ∴n=(1,-1,1D 设直线OB与平面ABC所成的角为0， ∴os(Bi,m》= 0×1+(-32)×(-1)+2×1 则血g=1c成，ml=OBa OB·n 63/17 √+(-3w2)+(W2)2×√下+(-1)+1 2X/1717 =2W30 :直线OB与平面ABC所成角的正弦值为3 15 2.(1)证明：如图，连接AC,交BD于点O,易知O为AC的中点， 故直线PB与平面PAE所成角的正弦值为3@ 15 连接MO. 考前练40平面与平面所成的角 M,O分别为PC,AC的中点，.PA∥MO 1.(1)证明：在直三棱柱ABCA:B,C中，CC⊥平面ABC,ACC ,'PA庄平面BMD,MOC平面BMD,.PA∥平面BMD 平面ABC,∴.CC LAC (2)解：如图，取BC的中点H,连接AH. 又AC⊥BC,CC,BCC平而BCCB且CC∩BC=C, :四边形ABCD为菱形，∠ABC=号， ,AC⊥平面BCCB. ,'CEC平而BCCB,.ACLC E ,AH⊥AD 以A为坐标原点，分别以AH,AD, (2)解：如图，以C为坐标原点，CA,CB, AP所在直线为x轴y轴、：轴，建立B CC所在直线分别为x轴、y轴、x轴建立 空间直角坐标系， 如图所示的空间直角坐标系， 由AC⊥BC,AB=2BC=2,可得AC= 则A(0,0,0),B(√5，一1,0)，C(3,1,0),P(0,0,5), 5,则A(√3,0,0)，E(0,1,1),C(0,0, M停). 2),B(0,1,0) 设平面ADC的法向量为m■(x,y,z), ∴i=(停号）-02,0.元-51,3. AE=(-3,1,1),AC=(-3,0,2), 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), A正·m=0, 即 -3x+y+z=0, 由：武0得 2y-0, AC·m=0 -3x+2x=0, m·P心-0,3x+y-3z=0. 令z=5,则x=2y=3,∴m=(23,W3). 取x=1,则x=1,.m=(1,0,1). ,AC⊥平面BCCB:, 设直线AM与平面PBC所成的角为0，则 ∴.CA=(W3,0,0)为平面ECB的一个法向量， ×1+×0+×1 Cdi·m sin 8-Icos(m,AM)| =42 ∴.cos(CA,m〉= 23=0 1CA1Im3×√10 51 ∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为 即二面角ABC,B的余弦值为 7 2.(1)证明：，四边形BDEF为矩形，，BF⊥BD, 3.(1)证明：在题图①中，连接AC(图路). 又，AC⊥BF,AC,BD为平面ABCD内两条相交直线 106考前练37点、直线、平面之间的位置关系 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，M,N分别为 6.在正方体ABCD-A1B1C,D1中，设直线BD AC,PC上的点，且MN∥平面PAD. 与直线AD所成的角为a,直线BD,与平面 则() CDD,C所成的角为3，则a十B=() A B c. D.2 3 7.已知点P在正方体ABCD-ABC,D,的侧面 CDDC及边界上运动，并保持BP⊥AC.若 A.MN∥PD B.MN∥PA 正方体的棱长为1，则PC长度的取值范围 C.MN∥AD D.以上均有可能 是() 2.若a和a分别为空间中的直线和平面，则“a A[ B.[2,2] a”是“a垂直于a内无数条直线”的( A.充分不必要条件 C.[2,22] D.[1,2] B.必要不充分条件 8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD C.充要条件 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD,M是 D.既不充分也不必要条件 线段ED的中点，则( 3.若异面直线a,b分别在平面a,3内，且a∩B 1,则直线1() A.与直线a,b都相交 B.至少与a,b中的一条相交 C.至多与a,b中的一条相交 D.与a,b中的一条相交，另一条平行 A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 4.设m,n是不同的直线，a是平面，则下列说法 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 正确的是( C.BM-EN,且直线BM,EN是异面直线 A.若m∥a,m∥n,则n∥a D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 B.若ma,n∥a,则m∥n 9.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与 C.若m⊥a,nLm,则n∥c 底面夹角的余弦值为 D.若m⊥a,n⊥a,则m∥n 10.正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为 5.(多选)已知a,b表示两条不同的直线，a,3表 23,D为棱AC的中点，则异面直线SD与 示两个不同的平面，下列说法正确的 AB所成角的余弦值为 是() 11.已知直线1不在a,3内，给出下列三个论断： A.若a⊥a,b⊥3a∥3，则a∥b ①l⊥&；②l∥B:③a⊥3.以其中的两个论断 B.若a⊥a,b⊥3，a⊥b,则a⊥3 作为条件，余下的一个论断作为结论，写出 C.若a⊥a,a⊥b,a∥3，则b∥3 一个正确的命题： .(填序号) D.若a∩3=a,a∥b,则b∥a或b∥3 -39 考前练38线面平行、垂直问题 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD 3.如图，在正四棱锥S-ABCD中，SA=SB= 是矩形，AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD SC=SD=2,AB=√2，P为侧棱SD上的点， 的中点，M,N分别在AB,PC上，且MN⊥ 且SP=3PD. AB,MN⊥PC.证明：AE∥MN. (1)求正四棱锥S-ABCD的表面积 (2)在侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥ D 平面PACy若存在，求瓷的值：若不存在，试 说明理由. 2.在三棱柱ABCA1B,C中，AB⊥AC,BC⊥平 面ABC,E,F分别是AC,BC的中点. (1)求证：EF∥平面ABC: (2)求证：平面AB1C⊥平面ABB. -40