考前练35 空间几何体的表面积和体积&考前练36 与球相关的切接问题(考前练)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

考前练35 空间儿何体的表面积和体积 1.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为 8.《九章算术》中给出了一个圆锥体积近似计算 一个半圆，则该圆锥的母线长为() 公式：V≈P×希其中1为底面周长，A为圆 A.2 B.22 C.4 D.42 2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O2, 锥的高.它实际上是将圆锥体积公式中的圆 过直线O,O2的平面截该圆柱所得的截面是面 周率近似取为3得到的，若圆锥体积近似公式 积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( 为V~×号×五，则相当于圆周率的近似取 A.122π B.12π C.82π D.10元 值为( ) 3.以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转 A号 B号 c曾 一周，所得到的几何体的体积为() 9.如图，正方体的棱长为2， A.2π B.8 c D 以其所有面的中心为顶点 4.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回 的多面体的体积 舱在着陆场预定区域成功着陆，三名航天员 为 安全出舱.神舟十三号返回舱外形呈钟形钝 头体，若将其近似地看作圆台，其高为2.5m, 10.某圆柱的侧面展开图是 下底面圆的直径为2.8m,上底面圆的直径为 面积为16的正方形，则该圆柱一个底面的面 1m,则可估算其体积约为( )(π≈3.14) 积为 A.3.6m B.7.6m 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D中， C.22.8m D.34.4m3 E,F,G,H分别为棱AB,BC,CD,DA的中 5.设某圆锥的底面半径和高分别为r和h,且 点，将该正方体挖去两个四分之一圆锥得到 r=五，它的体积是12x,则h=( ) 如图所示的几何体，则该几何体的体积 A.1 B.2 C.3 D.4 为 6.若圆台的上、下底面面积分别为4,16，则圆台 中截面的面积为( A.10B.8 C.9 D.8√2 7.某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石 凳是由正方体石料截去八 个一样的四面体得到的， 如图所示.如果一张石凳 的体积是0.18m3,那么 12.若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的 原正方体石料的体积 扇环，且扇环的面积为4π，圆台上、下底面圆 是() 的半径分别为r,r2(r<r2),则r2一 A.0.196m3 B.0.216m3 = C.0.225m3 D.0.234m3 -37 考前练36与球相关的切接问题 1.已知棱长为1的正方体的所有顶点均在一个 7.如图，在圆柱内有一个球，该 球的球面上，则该球的表面积是() 球与圆柱的上、下底面及母 A. B.2 C.3π D.4π 线均相切，已知圆柱的底面 2.已知某圆柱的内切球半径为？，则该圆柱的侧 半径为3，则圆柱的体积 面积为() 为 A.49x 8.在球面上有四点P,A,B,C,若PA,PB,PC 2 B.49π C147x 2 D.147π 3.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的 两两垂直，且PA=PB=PC=a,则这个球的 球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则 表面积是 该圆台的体积为() 9.防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐 A61πB.62π C.63元 D.64π 桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染.某家庭 4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球 预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆 的体积时构造的一个和谐优美的几何体，它 是指同一正方体分别从纵、横两方向所作的 放在桌面上的四只等大的、直径为12cm的碗 两个内切圆柱的公共部分组成的几何体（如 (防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计) 图)，刘徽研究发现，牟合方盖的体积V1与对 完全罩住，则所选防蝇罩的半径至少为 应正方体的内切球的体积V2满足πV1=4V2, cm.(结果取整数) 则棱长为2的正方体对应的牟合方盖的体积 10.古希腊数学家阿基米德的基 为() 碑上刻着他认为最满意的一 ARCHIMEDES A.gs B.9 C. n 个数学发现.如图，一个“圆柱 容球”的几何图形，即圆柱容 3:2 器里放了一个球.该球顶天立 地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体 第4题图 第5题图 积的子，并且球的表面积也是圆柱表面积的 5.(多选)如图，已知圆锥S0的轴截面是边长为 6的正三角形，在圆锥内部放置一个球，则球 景若圆柱的表面积是24，现在向圆柱和球 的表面积的值可能为() 的缝隙里注水，则最多可以注人的水的体积 A.12√3元 B.4√3π 为 C.3π D.12m 11.已知一个棱长为2的正方体玻璃容器内（不 6.已知A,B,C均在球O的球面上运动，且满足 计玻璃的厚度)放置一个正四面体（六条棱 ∠AOB=5,若三棱锥O-ABC体积的最大值 长均相等的三棱锥)，若正四面体能绕着它 为6，则球O的体积为() 的中心（即正四面体内切球的球心）任意转 A.12元 B.48π 动，则正四面体棱长的最大值为 C.323π D.64V3π -382"-3>0, 12.2解析："圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，.圆台 又c4<0,G>0,故<c3<c<0<c<4<. 的母线长为2-2=2m一2n,圆台的铜面积为 综上，使得T,>号皮立的最小正整数n的值为5， 考前练35空间儿何体的表而积和体积 2m+2m×(2n-2n)=2x(-)=4m,∴i-=2. 2 考前练36与球相关的切接问题 1.B解析：由题意知圆维的底面周长为22元设圆维的母线长 为l,则xl=22π，解得=2、2. 1.C解析：棱长为1的正方体，其体对角线长为√3，而正方体的 2.B解析：设国柱的轴戴面的边长为x,由x=8,得x■2√2， 外接球直径即为正方体的体对角线，故外接球中径为∴该 .Sx4=2Sa十5m=2xX(W2)2+2xX√2×2W2=12π 3.B解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周所 球的表西称为S4R=×(停)广-3 得几何体是以2为底面圆半径，2为高的圆柱.由圆柱的体积 2.B解析：由题意，得这圆柱底面国的半径为子，圈柱的高为 公式得V=π×2×2=8r,,所得到的几何体的体积为8π. 4.B解析：易得圈台的上底面圆的半径是0.5m,高是2.5m, 7,∴该国柱的侧面积为2x×子×7=49元 下底面圆的丰径是14m,V=寻动(++)≈}× 3.A解析：球的直径为10，半径为5，圜台的下底面岸径为5， 3.14×2.5×(0.52+0.5×1.4十1.42)≈7.6(m). “国台的高为V5一不=3，“国台的体积为子×(4十4X 5D解析：设圆维的体积为V,由体积公式可得V=了矿九 5+52)×3=61π. 4.B解析：正方体的棱长a■2，正方体内初球的半径rm1,内 “=子，国维的体积是12，…号x…(h)'·h=12,解 切球体积V=经，则V-华-马。 π3 得h=4 5.BCD解析：设球O的表面积最大，则球O 6.C解析：如图，将司台补成圆维，设圆台上底 与圆维相切，球O的半径为r,如图，作出组 面中心O到國筇顶，点的距离为h,國台的高 合体的轴戴面.，围维S)的轴藏而是边长 为2红，中栽面面积为S,则京=十，垫 16 0 为6的正三角形，∴.S可■33，在Rt△SOC 中，OC=r,∠0SC=30°，可得S0=2x.又A 理，得h=2红又京=h中，六记 4 40 S0十O0=S0,∴，2r+r=3√5，解得r■√3，.球O的表而积 (21士z,解得S=9. 为S=4x×(W3)?=12π，即圆维内部放置一个球，球的表面积的 7,B解析：如图，设还原后正方体的棱长为 最大值为12π，结合选项，可得放置球的表面积可能为B,C,D a,则正方体的体积为a,每一个正四面体 6.C解析：如图，当点C往于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最 大，设球O的半径为R,此时VoAr=Vawe 题高可得a-8X袋-0.18→d=0.216. 2 8,D解析：设圆维底面半径为r高为h,则l=2,3矿h= 24月，“球0的体积为V-4-323元 3 是2ra=要 7.54π解析：设圆柱的底面半径为T,球的半径为R,由条件有 R=r=3,圆柱的高为2R,.司柱的体积为X2R= 9.专解析：由题意，知所给的几何体是被长均为巨的入面体 2x2■54x 8.3@2解析：依题意，补成正方体如图所示， 它是由两个有公共底面的正四枚锥组合而成的，正四棱锥的 高为1，这个入面体的体积为2Va=2×号X(巨)2× 1=分 10.4解析：：留柱的侧面展开图是面积为16的正方形，“诚 圆柱的底面圆的周长为4，因此半径为2，故该圆柱一个底 则四面体PABC的外接球，也是正方体的外接球，∴，球的半径为 西的西软为S=矿=：（保）广-是 Vatata 3 受0，球的表面积为红×（停。）广=3 11.8一了解析：该几何体为正方体花去两个四分之一圈维， 9.15解析：依题意，知防蝇罩的半径至少为 “圆维的底面丰径R=1,高A=2,V=2-号×号×xX 6+12+12 2 =6+62≈15(cm). 1×2=8-3 10,誓解斩：设球的丰径为，则球的表面 -104 积为加-号×2红解得一2…国柱的底面丰径为2，高为4 4,.EN=2.过点M作CD的垂线，垂足为P,连接BP,则 六最多可以注入的水的体积为X2X4音xX21 MP=3 CP=是Bf=MP+BP-(慢)'+（受'+ 31 2=7,,BM=√7，∴.BM≠EN,连接BD,BE.四边形AB 125 解析：一个正四面体可以在一个棱长为2的正方体内 CD为正方形，∴，N为BD的中点，即EN,MB均在平而BDE 绕着正四面体的中心任意转动，说明正四面体最大时为诚正 内，.直线BM,EN是相交直线 方体内切球的内接正四面体，诚正方体内切球的半径为1.设 解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为1，由题知πl 该球的内接正方体的棱长为a,则3a=2,解得a=23,而 3,即1=3m设母线与底面的夹角为0，则c0s0=千=子 球的内接正四面体的棱长为内接正方体的校长的√瓦倍，即 解析：如图，取BC的中，点E,连接 为25。 02 4 SE,DE,则∠SDE(或其补角)为异面直 考前练37点、直线、平面之间的位置关系 线SD与AB所成的角， 1.B解析：MN∥平面PAD,MNC平面PAC,平面PAD∩ 由题知SE=SD=√/12一4=22，DE=2, 平面PAC=PA,,MN∥PA 2.A解析：若aLa,则a垂真于a内所有直线，周此，命题“若 oos∠SDE8+4-82 2X22×24 a⊥a,则a垂直于a内无数条直线”正确，a垂直于a内无数条 11.①②为条件，③为结论解析：①②为条件，③为结论，命题 直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可 正确.若l∥B,l中B,过作平面Y,与平面B相交于直线a,则 以在平面a内，即不能报出a⊥a,∴，“a⊥a”是“a垂直于a内无 ∥a.lLa,∴a⊥a又aCA,∴a⊥R②③为条件，①为结 数条直线”的充分不必要条件， 论，命题错误.如图①，长方体中l∥B,a⊥B,但是【不垂直于 3.B解析：a∩B=l,∴lCa,lCB,则l与a平行或相交，l与b a.①③为条件，②为结论，命题错误.如图②，1⊥a,a⊥3， 平行或相交.又a,b为并面直线，∴，l不能与a,b同时平行，即 ∴.l∥B或CR L与a,b可能都相交，也可能与一条相交，A,C,D错误 4,D解析：对于A,当m∥a,m∥m时，n∥a或n在平面a内，故 A错误：对于B,当m∥a,n∥a时，m,n可能平行，可能相交， 也可能异面，故B错误；对于C,当m⊥a,n⊥m时，H∥a或n 在平面a内，救C错误：对于D,当mL,n⊥a时，由垂直于同 一平面的两条直线平行，可得m∥n,故D正确. 0 5.ABD解析：若aLa,a∥3，则a⊥B,又b⊥B,.a∥b,故A正 考前练38线面平行、垂直问题 确，若a⊥a,a⊥b,则bCa或b∥a,∴.存在直线nCa,使得 1.证明：：AB⊥平面PAD,AEC平面PAD,∴AE⊥AB m∥b.文b⊥B,m⊥B,∴.a⊥B,故B正璃：若a⊥a,a⊥b,则 又AB∥CD,.AE⊥CD. bCa或b∥a又a∥B3,.bC3或b∥B,故C错误：若a∩B=a, ,AD=AP,E是PD的中点，，AE⊥PD a∥b,则b∥a或b∥B,故D正确. 又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD,.AE⊥平面PCD 6.C解析：如图，在正方体ABCD-A1B1CD 'MN⊥AB,AB∥CD,.MN⊥CD. 中，，"AD∥BC,,,直线BD与直线AD所 又MN_LPC,PC∩CD=C,PC,CDC平面PCD, 成的角a为∠D1BC.,BC⊥平面CDDC, ∴，MN⊥平面PCD,∴.AE∥MN. .DC为D1B在平面CDDC上的射影， 2.证明：(1)E,F分别是AC,BC的中点，.EF∥AB 直线BD与平面CDDC所成的角B为 又EF平面ABC,AB,C平面ABC,,EF∥平而ABC」 ∠BDC又BC⊥平面CDDC∴.BC⊥D (2):BC⊥平面ABC,ABC平面ABC,.BC⊥AB. C,∠DBC+∠BD,C-5,即a+P- ,AB⊥AC,BCC平面AB1C,ACC平面ABC,B CnAC=C, .AB⊥平面ABC 7.A解析：已知，点P在侧面CDD1C及其 D 又：ABC平面ABB,.平面ABC⊥平面ABB. 边界上运动，BP⊥AC,由三垂线定理得 3.解：(1)'在正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=2, AC⊥平面BDC,可得动点P的轨迹为 AB=√2 线段C1D,正方体的棱长为1，可得点C J 到线段CD的距离为d=受，则PC∈ 侧面的离√公-()= ,∴正四棱锥S-ABCD 22 [d.cc]=「9，il 的表面积S=4×号×反×空+巨×反=27+2 8.B解析：如图，取CD的中点O,连接 (2)存在.如图，取SD的中点Q,过点 ON,EO.△ECD为正三角形，.EO⊥ Q作PC的平行线交SC于点E,连接 CD.文平面EBCD⊥平面ABCD,平面 BQ.BE. ECD∩平面ABCD=CD,∴.EOL平面 在△BDQ中，有BQ∥PO ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则 又SP=3PD,则PQ=PD EO=√3，ON=1,∴，EN=EY+ON= 'POC平面PAC,BQ丈平面PAC, ∴BQ∥平面PAC 105