考前练31 数列的基本运算&考前练32 分组法与并项法求和(考前练)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

考前练31 数列的基本运算 1.已知数列{am}的前n项和S.=n(n∈N·),则 S:=6,则S=() {an}的通项公式为( A.7 B.8 C.9 D.10 A.a=2n B.a,=2n-1 9.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法 1,n=1, 通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶 C.an=3n-2 D.a 2n,n≥2 等差数列前后两项之差不相等，但是逐项差 2.已知数列{am}为等差数列，且a1=1,a=9,则 数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶 数列{an}的前5项和是( 等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积 A.15 B.20 C.25 D.35 术”，现有高阶等差数列，其前6项分别为1， 3.已知公差不为0的等差数列{a.}中，a2十a4= 6,13,24,41,66,则该数列的第7项为() a6,ag=a6,则ao=( A.91 B.99 C.101 D.113 A号 B.5 C.10 D.40 10.(多选)设等差数列{am}的前n项和为Sn,公 差为d,已知4=12，S2>0,a<0, 4.已知数列{an}是等比数列，T.是其前n项之 则( 积，若as·a6=a,则T的值是( A.Ss=60 A.1 B.2 C.3 D.4 5.设等差数列{an}的前n项和是Sm,若a2< B-4KdK-号 一a1<a1,则必定有( C.a6>0 A.S1>0且S12<0 D.S。<0时，n的最小值为13 B.S1<0且S12<0 1L.已知等差数列{an}的前n项和为S。,若2a,= C.S1>0且S12>0 ag十4，则S= D.S1<0且S12>0 12.写出一个公差为3且“前3项之和小于第3 6.在正项等比数列{an}中，a2a4一16，a4十a5= 项”的等差数列an= 24,则数列{a.}的通项公式为( 13.记S为等差数列{an}的前n项和.若a1= A.an=2-1 B.a=2" 一2，a2十a8=2,则S1o= C.an=3" D.an=3"- 14.设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6十a;= 7.已知数列{a.}的前n项和为Sn,且am+1=an十 1,则S2 ·若a<0,则使得不等 2-1,a1=2,若S。≥128，则n的最小值 式S.<0成立的最小整数n 为() 15.在数列{an}中，an>0,且前n项和Sn满足 A.5 B.6 C.7 D.8 4Sw=(a,十1)(n∈N·),则数列{an}的通项 8.记S.为等比数列{am}的前n项和，若S2=4, 公式为 -33 考前练32分组法与并项法求和 1.已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2aw一2. 3.已知数列{an}的前n项和为S。,a1=1,a2=3, (1)求数列{a}的通项公式： 且am+1=2an-am-1(n≥2). ann=2k-1 (1)求数列{a.}的通项公式； (2)若bn= k∈N”,求数列{bn} logza'n=2k (2)设bn=(一1)Sm,求数列{bn}的前n项 的前2n项和T2. 和T 2.已知正项数列{an},a1=2,aaw+1=2a后一 1aw+1+21an (1)求数列{a.}的通项公式 (2)若cm=au·b,bn= 2r-4,n=2k-1·k∈ 4-1,n=2k N),{c}的前n项和为Tm,求T2m. -34a-21cosa,b)-日i治-茶-分又0≤a, 8.D解析：由已知可得a+1一i=i(a.一iD,图此数列(a,一i》是 以a1一i=i为首项，以i为公比的等比数列，a细一i=i·单= b)≤，a与b的夹角为5 i10=一1，故a0=-1十i 9D解折：=名-品=1+i:的盒部为1 2(1+i) 12.14解析：？P是BC的中点，∴市=驴-A=号C |x=√2,2=2i为纯虚数，z=1一i,.正确的结论是D Bi:AD=BC=2,AB=4,∠ABC=吾，A店·A市 10.B解析：[f(a)]=(cosa+isin a)=cosa+2 isin acos a十 -.(2成-函)=脐-号成.=16-2×2× isin'a=cos'a-sin'a+isin 2a=cos 2a+isin 2a=f(2a). 11.B 4×7=14. 解折：=-20，-又南线女 3=1表示以A(3,0)为圆心，1为半径的圈，∴|AZ=5,故 13.5一1解析：建立如图所示的平面直角 Z1与Z之间的最小距离为5一1=4. 坐标系，~=是(A+AC,P为C 12.D 解析：设x=x十i(x,y∈R),则x十(y-2)i=1, 的中点.P(2,1D,D0,2),B(2,0),∴P市 .√+(y-2=1,即x2+(y-2)产=1，∴复数x对应的 (0,-1),PD=(-2,1),Pi1=5,Pi.P币=-1. 点的轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圈，.z==2十1 3,.复平面内文对应的点到原点距离的最大值是3 14.号解析：：DE=2EF,DE分别是边AB,BC的中点， -5i .-5i(2-iD」 18.AD解桥：x=22年2号=-i(2-D=一1-2i,虚 :D亦=是成=花，周此亦=茄+亦=是A店+ 部为一2，故A正确：=一1十21，故B错误*在复平面内对 子A花又B心-A花-A,△ABC是边长为1的等边三角形， 应的，点位于第三象限，故C错误：|■|x■(w5)'■25， 故D正确 亦.-(2+A)花-A)=-号1+ 14.AC解析：，x=a十bi,z=a-bi,.x十z=2a∈R,x一x= 子-花.恋=-+-}C·a1· 2ER=+0∈R音-按-管 2当a=0时，是∈R,当a0时，是ER,故 a+ A,C正确，B,D错误. 15.[受，名]解折：由a6=子，la-6=3,得G+-受 15.ABD解析：复数云在复平面内对应的点的坐标为（一2， .a十bl=4.由(a-c)·(b-e)=a·b-e·(a+b)十c2= 1,该点位于第二象限，故A正确：安=名开 -2,得1c+5=c(a+b)≤1cl·a+b=4cl,化简可 一2+已2-D一号-吉，故B正确：由道意可得- -2-i 得4c-16c+15≤0，解得号≤≤号 +2i=(x-1)+(y+2)i,又|-1+2i=2,则(x-1)2+ 考前练30复数及其运算 (y十2)2=4，故C错误：-1+2i=-3+3i,则1知-1+ 1.A解析：，a,b∈R,a+b十2ai=2i,,.a+b=0,2a=2,解得 2=√(-3)+3=32，.a-1|=1(-1+2i) a=1,b=-1. (1-1+2i)≤1-1+2i+-1+2i1=2+32,故D 2.B解析：：(1十2)x=1+i,x=1,y=2z=2,.lx+i= 正确。 /1+2=√5. 考前练31数列的基本运算 3.D解析：(z-2)i=1+i,z=1中i+2=3-i,则z(3, 1.B解析：，S=W,.当2时，a.=S一S-1=7一(n一1)2 1 21-1当n=1时，a1=S=1,上式成立，an=2m-L -1),故021=√3+(-1=√10. 2.C解析：教列{a}的前5项和为s=5aa）_5X10=25. 4.D解析：由x=3十i,可知x=3一i,,(x十D=(3一D(3+i十 2 2 i)=9+6i-3i-27=11+3i 5,A解析：*=2生-2士a二=2a+1a=2)1:复数 3A解析：设数列的公差为d,则由已知得ad十十3-a十5d, la+8-(a+5d, ati (a+i)(a-i) a2+1 =的实*与金将相年，2a+1=0一2解得a=-3 由于d0,故解得a=d-子iaw-号+号×9=哥 4.A解析：数列{a}是等比数列，设公比为q,由as·a6=a 6.A解析：设x=x十yi,x,y∈R,则z=x-yi,由z十3=4十 得a1g·ag=ag,即ad=1,即a4=1,由等比数列的性质 5i,得(x+yi)+3=4(xyi)+5i,即(x+3)+yi=4x+(5 可得，T,=aarasarasarar=a=1. 4i,于是得十3-解得工=y=1,则=1十i对应的，点 5.A解析：由题意，知a1十a1>0,a2十a1=a1十a1a0, ly=5-4y, 为(1,1)，∴在复平面内复数z对应的点在第一象限 ÷S=1a,+a>0,Sa=12a,+a<0. 2 7,A解折：由5十m1+mi,得m一3=1十i,则m=1,n 6.A解析：设等比数列{a,}的公比为q,由题意可知，对任意的 n∈N°，a,>0,g>0.由等比中项的性质可得a=a·a=16, -√3，故x=1一31 解得as=4,'.a4十a=ag(q十)=4(q十gd)=24,整理可得 101 +q-6=0.q>0,∴g=2,图此a=ag8=4×28=2"-1 又a1=2,.数列{a.}是以2为首项，2为公比的等比数列， 7.C解析：数列{a)的前n项和为S.,且a4=a,十2，a= ∴a=2X2-1=2. 2.当n=1时，a2=3,当n=2时，a1=5,…,41=65,∴S= (n一2)·21，=2k-1 a1十at+…十a=134.由于S=69,当n=7时，满足 (2)由(1)可得，c.=ab.= (EN), 1(4-)·2",n=2k S.≥128 ∴ca.十c1=(4-2n)·2+(2m-1-2)·2-+1=2,6x-4十 8.A解析：S。为等比数列{a。}的前n项和，，S,S一Sa, c-3=(4-2n+2)·22-8十(21-3-2)·2-+1=2-2， S一S成等比数列.S=4,S一S=6-4=2,.S一S= 1,.S=1+5=1+6=7. 则色+土=4 "ca-g十c2-a 9.C解析：由题意可知，1,6,13,24,41,66，…的逐项差组成的 又：0+c=-2+2×2=2, 数列为5,7,11,17,25，…，这个数列的逐项差组成的数列为 Tn=(c+c)+(g十c)+(q十c)+…+(c1十c), 2,4,6,8,10,…是等差数列，则该数列的第7项为10+25十 则T.=2+2+2++20_21二42_4=4， 66=101. 1-4 3 10.ACD解析：由题意，得S=12×4型=12×49>0，则 ∴T.-4-4 2 2 3 a十a>0.又am<0,aw>0,故C正确：S=13×4十au= 3.解：(1)由an1=2a。一a。-1(n2≥2)，得a+t-a,=a,一a- 2 又a=1,ag=3,则aa一a=2,(a+1一a,}是各项为2的常 13a<0,故D正确：由a=a1+2d=12,得a1=12-2d, 数列，即a+1一a=2, 1a,=a+6d=12+4d<0, ∴{a}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a.=2m-1. a=a+5d=12+3d>0,解得-琴<d<-3,故B错 (2)由1)可得S=1+2m-卫=d,6.=(-10m. a:+a:=24+7d>0, 误：S=5a1+10d=5(12-2d)十10d=60,故A正确. 当n为偶数时，T.=(b+4)十（十b)十十(6-1十b.)= 11.36解析：as+a=2a,∴2a,-am=a=4,因此S= (-1+2)+(-3+4)+…+[-(n-1)*+m]=(2-1)× 9(a十a）=9a6=36. (2+1)+(4-3)×(4+3)++[-(n一1)][n+(n-1)] 2 12.3m一9（答案不唯一）解析：要满足“前3项之和小于第3 1+2+3+4+…+(m-1)+n=mm1D 2 项”，则a1十a2十a1<a1,即a1十a2<0,则不妨设a1=一6， 当n为奇数时，n十1为偶数，T=T4一64一+》+2- a2=一3，则a.=一6+(n-1)×3=3n-9. 2 13.25解析：设等差数列(a.}的公差为d,则ag十a=2a1十 (n+1)=-n(n+1) 2 6d-2.:a=-2,∴d=1.÷So=10×(-2)+10yX9× 2 综上，T,=-1)m(n+1少 1=25. 2 14.613解析：a6十a=1,.S.=6(au十a,)=6.a<0, 考前练33 裂项相消法求和 a6>0,.{a}为递减数列.又Su=6>0,S=13a,<0, 1.(1)证明：由a1一a.+301a.=0,得1-=3，故数列 .i=13. datl an 15.a.=2n一1解析：当n=1时，4S=(a1十1)2，解得a1=1,当 (侵}是以3为公差的等差数列 n≥2时，由4S。=(a,十1)2=a2+2a.十1，得4S-1=a1+ 2a.-1+1,两式相减得4Sn-4S-1=a一a2-1十2a。-2a-1= (2)解：由(1)得2=1+(m-1)d=2+3(-1)=3m-1. a。Q1 4a,整理得(a,十ar-i)(a.-a-1-2)=0.a>0,a, a-1-2=0,即an-a-1=2.又a1=1,故数列(a}是首项为 则a=3m百1 1,公差为2的等差数列，∴a.=1十2(n-1)=2n-1 考前练32分组法与并项法求和 6-32w-3n+2-号(32 1.解：(1)由S.=2a.-2,① 得S,-1=2an-4-2(n≥2)，② ①-②得a,=2a.-2a-1,∴.a.=2a-1(n≥2). 3）-专（侵-3）23+2 由a1=S=241-2,得a1=2, ∴.{a.}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a.=2 2解：1)a=8,5-空-1-14=5-受-2=2 2,n=2k-1EN (2)b.=n,m=2k, 当m≥2时a.=S-S4=岁--1-（受-n) T2,=(6十b+4+…+b-1)+(十6++…十)= 即a+1=3a.十2. 又aa=8=31十2，∴.a+1=3a.十2，n∈N”, (2+2+23+…+2-)+(2+4+6++2m)=2X1=42+ 1一4 a+1+1=3(a.十1)， 2+四xa-号+号×4++n .数列{a,十1}是等比数列，且首项为a1十1=3，公比为3， 2 a.十1=3×3=3"，a.=3°-1. 2.解：(1)由aa+1=2a-an+1+2na,得(a+1-2an)(a.十 2×3 n)=0,则a+1=2a. (2)2X3 a.a+1(3”-10(3*-1)3”-3-- -102