考前练15 导数与函数的最值&考前练16 利用导数求解不等式恒成立问题(考前练)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

a2=(2e+a)(e-a). 令f(x)<0,解得0<x<ln2, ①若a=0,则f(x)=e,在(-∞，十c∞)上单调递增 .f(x)在（一∞，0）和(1n2,+∞)上单调递增，在(0,1n2)上单 ②若a>0,则由f(x)=0,得x=lna, 调递减。 ∴当x∈(-oo,lna)时，f(x)<0:当x∈(na,+∞)时， (2)f(x)=x(e-2a), f(x)>0, 当a≤0时，e-2a>0,故f(x)>0→x>0.∴.f(x)在(-o∞， .f(x)在（一c∞，lna)上单湖递减，在(lna,+∞）上单调 0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，x=0为极小值点，不 递增. 合题意 ③若a<0,则由f()=0,得x=lh(-受） 当a>0时，由了(x)=0,得x=0或x=ln2a. ∴当xe(-o,h(-号)）时f)<0:当xe(h(-号) “x=0是极大值点，lh2a>0,即a>2, 故a的取值范围是（分，十∞）】 +∞)时，f(x)>0, 2.解：1)当a=号时，f(x)=lhx-是x,函数的定义城为(0， “f(x)在(-∞，n(-号)）上单调递减，在(n(-号）， 十∞)上单调递增. 令广(x)=0,得x=2,于是当x变化时，f(x),f(x)的变化情 综上，当a-0时，f(x)在(-∞，十c∞)上单调递增；当a>0 况如下表 时，f(x)在（一o∞，na)上单调递减，在(na,十oo)上单调递 x (0,2) 2 (2,+∞) 增：当a<0时，f(x)在(-6o,lh(-号)上单调递减，在 (x)+ 0 K(r) ln2-1 4 (n(-受)，+o∞)上单调递增。 故f(x)在定义城上的极大值为f八x)大=f(2)=ln2-1,无 2.解：“f代x)=x一学在(0，十o∞)上单调递增， 极小值。 ∴f(x)-+aa≥0在(0，+四)上恒成立，记p(x) (2)由(1)知，函数的定义域为(0，+∞)，f(x)=上-a= e十a.x-a 1-匹(x>0) 则(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，9(x)=e+a. 当a≤0时，f(x)>0在(0，十∞)上恒成立，即函数在(0， 当a≥-1时，g(x)=e+a>1+a≥0，即g(x)在(0，+∞)上 十∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点， 单调递增， 当a>0时若xe(o,）,则fx)>0,若x(日，+∞)， e(x>g(0)=1-a2≥0，∴-1≤a≤1. 当a<-1时，令p'(x)=e+a=0,解得x=ln(-a), 则∫(x)<0,故函数在x=二处有极大值 当0<x<ln(-a)时，p(x)<0,g(x)在(0，ln(一a)上单调递 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值点：当a>0时，函数f(x) 减；当x>n(一a)时，p(x)>0,p(x)在(ln(-a),十∞)上单 有1个极大值点 调递增， 3.解：(1)fx=x+a.x2+br+2,.f(x)=3x2+2ar+b. ∴g(z)>g(ln(-a)=-2a+aln(-a)≥0，解得-e≤a< :函数f(x)在x■一1与x3处均取得极值， -1. |3×(-1)2+2a×(-1)+b=0, 综上，一e≤a≤1，即实数a的取值范围是[一e,1门. 得仁 3.解：(1)fx)=e-ax-1,∴f(x)=e-a. ÷3×3+2a×3+b-0, 此时f(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1), 若a≤0，则f(x)=e-a>0,即f(x)在R上单调递增； 由f(x)>0,得x<-1或x>3,由f(x)<0,得-1<x<3, 若a>0,令e-a≥0，解得x≥lna,即f(x)在[lna,十oo)上 f(x)在（一∞，一1）上单调递增，在（一1,3）上单调递减，在 单调递增。 (3,十∞)上单调递增， 综上，当a≤0时，f(x)的单周递增区间为R:当a>0时，f(x) 因此f(x)在x=一1处取得极大值，在x=3处取得极小值， 的单调递增区间为[na,十c∞). 符合题设，即所求实数a,b的值分别是一3，一9. (2)存在实数a满足条件. (2)由(1)知，f(x)在（一∞，一1）上单周递增，在（一1,3）上单 :f(x)=e-a≤0在(-2,3)上恒成立， 调递减，在(3，十∞)上单调递增， ∴a≥e在(-2,3)上恒成立. 若函数f(x)在区间(m,2m一1)上单调递减， ,-2<x<3,∴et<e<e,只需a≥e 则一1≤m<2m一1≤3，.1<m≤2，即所求实数n的取值范 当a=e时，在(-2,3)上，f(x)=e-e<0,即fx)在(-2， 围是(1,2. 3)上单调递减，.a≥e. 考前练15导数与函数的最值 故存在实数a∈[c,+o∞)，使f(x)在(-2,3)上单调递减. 1.解：(1)函数f(x)的定义域为R, 考前练14导数与函数的极值 f(x)=-x2+2x+3=-(x-3)(x+1) 1.解：(1)当a=1时，fx)=(x-1)e-2,f(x)=x(c-2) 令f(x)=0,得x=一1或x■3. 令f(x)>0,解得xr<0或x>n2; 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表所示. 91 x-o，-1) -1 (-1.3) 3 (3,十o∞) 当x>1时，k(x)>0恒成立， ∴.(x)在(1，+∞)上单调递增，则k(x)>(1)=1, (x) 0 0 ∴k≤1，即的取值范围是（一∞，1]. f(x) 10 2.解：(1)，a=2,.f(x)=(x+1)e,.f(0)=1, ∴，f(x)在区间[一1,3]上单调递增，在区间（一∞，一1）和(3， f(x)=(x+2)e,.f(0)=2, 十∞)上单调递诚， ∴所求切线方程为2x一y十1=0， (2)令(x)=fx)-g(x), 当x=-1时，)有极小值（一1）=一号当x=3时， 由题意，得h(x)≥0在x∈[0，十∞)上恒成立 f(x)有极大值f(3)=10 (2)由(1)可知，f(x)在区间[0,3]上单调递增，在区间[3,6]上 h()=(r+a-D)e--ar, 单调递减，.f(x)在区间[0,6]上的最大值为f(3)=10. ∴.h(x)=(x+a)(-1). 又f0)=1,f6)=-17,f6)<f(0), ①若a≥0，则当x∈[0，十o∞)时，h'(x)≥0，.函数h(x)在[0 ∴fx)在区间[0,6]上的最小值为f(6)=-17. +∞)上单调递增， 2.解：(1)由已知得切点为(1,0)，且f(x)=32-a, ∴.h(x)=h(0)=a-1,则a-1≥0，得a≥1 ÷0仁2 ②若a<0,则当x∈[0，一a)时，h'(x)≤0：当x∈（一a,十o∞） b=2. 时，h(x)>0, (2)由(1)知f(x)=x-3x十2，(x)■3x2-3, ∴函数h(x)在[0，一a)上单调递减，在（一a,十∞）上单湖递 当1≤x≤2时，f(x)≥0，此时函数f(x)单调递增： 增，h(x)==h(一a). 当一1≤x<1时，了(x)≤0，此时函数f(x)单调递减， 又：h(一a)<h(0)=a-1<0,.不合题意 综上，实数a的取值范围是[1，十c∞). .f(x)=f(1)=0. 又f-1)=4,f(2)=4,.f(x)=4 3.解：(1)f(x)=2x-1D(x-a .函数f(x)在区间[一1,2]上的最大值与最小值之和为4. 当导函数广(x)的零点x=a落在区间(1,2)内时，函数f八x) 3.解：(1)f(x)=2+co8x, 在区间[1,2]上就不是单调函数， ∴f(x)=2x-2inx0osx=2x-in2x,可得f(变）= a≤1或a≥2， ,.实数a的取值范围是（一o∞，1]U[2,+oo). f(受)-， (2)由题意知，不等式f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，即 “曲线y一)在点（受（受）》处的切线方程为y一号 x2-2x+a(lnx一x)≥0在区间[1，e]上有解。 (红一受)，即y=红一子，可得直线y=壮一千在x轴y轴 令ga)=xhx[1,小则p)=1--≥0， ∴，g(x)=x-nx在[1，e上单调递增， 上的截距分别为子，一一， ∴p(x)≥g(1)=1,x-lhx>0, “所求三角形的面积为宁×受×号-影 a<治在区1.止有解。 (2)由(1)得f(x)=2x-2 sin rcos=2x-sin2x.令u(x)= 令h)=2g,则N=红=1)+2-2山 x-Inx (z-In x) 2x-sin2x,则'(x)=2-2cos2x=2(1-c0s2x)≥0， x∈[1，e],x+2>2≥2lnx,(x)≥0，h(x)单调递增， ∴函数广(x)为增函数 当x∈[l,e时，h(xn=h(e=ee二2，a≤ee=2】 又：f(0)=0,当x∈[0，]时，f(x)≥0，∴函数f(x)在 e-1 e-1 [0,π]上单调递增， 实数a的取值范围是(-o∞，ce-2门 e-1 ∴函数f(x)在区间[0，]上的最大值为f(x)=x+1,最小值 为f0)=1. 考前练17利用导数证明不等式 考前练16利用导数求解不等式恒成立问题 1.(1)解：由f(x)=xe1-a.x+1,得f(x)=(x十1)e1-a. :曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线1的斜率为3c一2， 1.解：(1)fx)=xnx+1,x>0,f(x)=nx十1 ∴.f(2)=3e-a=3e-2,解得a=2, ∴当xe(o,)时fa)<0当x∈(，+)时，f>0, ∴.f(2)=2c-4+1=2e-3,故切线1的方程为y-(2e-3)= ∴函数f(x)在区间(o。)上单调递减，在区间 (3e-2)(x-2),即(3e-2)x-y-4e+1=0. (2)证明：由(1)，可得f(x)=re-1一2x+1,f(x)=(x+1)· (日，+∞）上单调递增。 e1-2, ∴.当x∈(-o∞，-1时，f(x)<0. (2)当x>1时，x)>x恒成立，∴nx+恒成立， 令g(x)=(x+1)e-1-2(x>-1), 则g'(x)=(x十2)c1>0, 构造函数k(x)=hx+子，x>1,求导可得发(x)=子 ∴.当x∈（一1，十∞）时，g(x)单调递增，即(x)单调递增 又：f(1)=0,.当x∈(-1,1)时，f(x)<0, 当x∈(1，十oo)时，f(x)>0, 92考前练15 导数与函数的最值 1.已知函数fx)=3女+x+3x+1 3.设函数f(x)=x2十cos2x. (1)求f(x)的单调区间和极值： (1)求曲线y=f(x)在点（受f(受）处的切线 (2)求f(x)在区间[0,6]上的最值. 与两坐标轴围成的三角形的面积： (2)求函数f(x)在区间[0，π]上的最大值和最 小值 2.已知函数f(x)=x3一a.x十b在x=1处的切 线方程为y=0. (1)求实数a,b的值： (2)求函数f(x)在区间[一1,2]上的最大值与 最小值之和. -16 考前练16利用导数求解不等式恒成立问题 1.(2022·江苏苏州模拟)已知函数f(x)= 3.已知函数f(x)=x2-(2a十1)x十alnx(a∈R). xIn x+1. (1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数，求实 (1)求函数f(x)的单调区间： 数a的取值范围： (2)若x>1时，函数f(x)>kx恒成立，求实 (2)函数g(x)=(1一a)x,若3xo∈[1，e]使得 数k的取值范围. f(xo)≥g(.x)成立，求实数a的取值范围. 2.已知函数fx)=(x+a-1De,g)=之x+ a.x,其中a为常数 (1)当a=2时，求函数f(x)在点(0，f(0)处 的切线方程； (2)若对任意的x∈[0，十∞)，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围. -17