任务强化练19 立体几何的综合问题(强化练)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

Eo,号，号）∴D=(0.0a,Di=ta,0 设平面EBM的法向量为n:=(2,边，)， 则0·证-0即33”二0. 1/5n一为=0 由(1)知，DE⊥平面PC,故D正是平而PBC的一个法向量， 且Dt-(o,号，受) 令为=3.=5，a=-1.∴m=(5.3,-1). 设平面PBD的法向量为n=(x,y,, 设二面角FB4E的平面角为0，.|co%引=cos(n1,n)| 由成：=0得 ax=0, m·:=山 nm13 Db·n=0, 即/0， r十ay=0, .r十ay=0 取y=1,得=(-l,0) 0e[0,.血>0，即m0=V个-0=5 DE. 六三面角FBE的正弦值为授 2 任务强化练19立体儿何的综合问题 1.(1)证明：在直角梯形AOOC中，AC=(AO-CO)+ 解得t=a,即AD=a 01(1=20, 6.解：(1)方法一（利用线面平行判定定理）： .在三棱锥O-ABC中，AC=A①十OC, M为AD的中点，BC∥AD.且AD=4,BC=2,∴BC∥MD, ∴.A00C 且BC=MD, 又AO⊥OB.CO∩OB=O,OC,OBC平面OBC. .四边形BCDM为平行四边形， .AO⊥平面BOC .BM∥CD, 又，AOC平面AOB,∴.平面AOB⊥平面BC 又CDC平面DE,BM过平面CDE,',BM∥平面CDE (2)解：由(1)知AO⊥(OC,AO⊥OB,又B)⊥OC 方法二（利用面面平行的性质）： 以O为坐标原点，以心.O心.0的方向分 'EF∥AD.BC∥AD,.EF∥BC. 别作为x轴，y轴，￥轴的正方向，建立如 又EF=BC=2,∴.四边形BCEF为平行四边形. 图空间直角坐标系Oxy, ∴BF∥CE,又CEC平面CDE,BF过平面CDE,∴.BF∥平 A(0,0,4),B(0,2,0),C(2,0,0),则 面CDE 元=(2,0.0). ,'M为AD的中点，且AD=4,,EF∥MD,且EF=MD, 设n=(x,y,)为平面ABC的法向量， .四边形MDEF为平行四边形， AB=(0.2.-4),BC=(2.-2.0). ',FM∥ED,又EDC平面CDE,FM过平面CDE .FM∥平面CDE. 由：可得8 ln·BC=0. :BF,FMC平面BMF,BF∩FM=F,∴.平面BMF∥平 令x=2,则n=(2,2,1). 面CDE 设直线OC与平面ABC所成角为0， 又BMC平面BMF,∴.BM∥平面CDE 则sim0=交，m。2 (2)取AM的中点O,连接BO.F). o1n3' 由(1)方法一可知，BM=CD=AB=2.'AM=2. ∴直线0C与平面AC所成角的正弦值为导 ∴.BOLAD,且BO=3. 2.(1)证明：如图①，取AB的中点O,连接PO.DO 由(I)方法二知四边形MDEF为平行四边形，FM=ED 'PA=PB.∴.PO⊥AB. =、10, 又平面PAB⊥平面ACD,平面PAB∩平面ABCD=AB, 又AF=I0,.FOLAM, PCOC平面PAB..POL平面ABCD, 方法一：ECC平面ABCD.POLEC. 又OA=M=1,.FO=、FA-0川=3， 在正方形ABCD中，O,E分别为ABAD的中点， 又FB=2w3,.B+FF=FB, ∴.△DAO≌△CDE,则∠ODE=∠ECD. ,FOOB,即OB,OD,OF两两垂直 又∠ECD+∠DEC=90°， 分别以OB,OD,OF所在直线为x,y,:轴建立如图所示的空 .∠DEC+∠ODE=90, 间直角坐标系， ,EC⊥OD,OD∩PO=O,OD,PC平面POD. .CE⊥平面POD.又PDC平面POD..CE⊥PD 则F(0,0,3),B(5,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3),则Mi= (3,-1,0),Mf=(0,-1.3),ME=(0.1,3). 0 方法二：取CD的中点G,连接OG,则OB.OP,OG两两垂直， 设平面FBM的法向量为n1=(西州·)， 则：-0即3-=0， ∴分别以OB,(OG,(OP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图 ②所示的空间直角坐标系 n,·M亦-0，甲-y+3=0. 设AB=2,则C1,2,0),P(0,03).E(-1,1,0),D(-1.2. 令3为=3.x1=5,a=1m1=(3,3,1). 0)∴.CE=(-2.-1.0),Pd=(-1.2,-5), 67 则CE·Pd=2-2=0.∴.CE⊥PD. 4.解：(1)以D为原点，DA为x轴.DC为y轴，DD为轴，建 (2)解：如图③，由(1)中方法二得空 立空间直角坐标系如图所示， 间直角坐标系，易知PE=(一1,1， -5),A币=(1,0,3)，d (-2,2,0),Bd=(-2,1,0). 设亦=aB动(0<a<1),则B球= (-2A.2a.0).E亦-Bd-BE=(-2x 十2,2-1,0). 设平面PEF的法向量为n=(x,y,2),则 n…pE=0. m.EF=0. 则A(2,0.2),C(0,4.0),E(2,1,0),D(0,0,0) 即 一x十y-5=0, AC=(-2.4,-2),D=(2.0,2),DE-(2,1.0). (-2x十2)x+(2X-1)y=0. 设平面A:ED的法向量为n=(x,y,), 令y1.则m-(毁22】 1 则0：度0即2十2s=0 设直线AP与平而PEF所成的角为8。 {m.DE=0.12z+y=0, 则sin0=|cos(AP,m1= A下·n 令x=1,则y=-2,2=-1,故n=(1,-2,-1), APm ..losAc-Inc 1-2-8+2 2 1 ,4+16+X1+市= 2()+1+( 5 故AC与平面A,ED所成角的正弦值为子 3(2-2A) (2)由(1)可知，A(2,0,0),C(0,4,2),∴.A=(-2,4,2). “整理得9联-6似+1=0，解得=专 假设存在这样的点P,设P(x,y,2,由题意可知(x一2)°+ ,在BD上存在点F,使得直线AP与平面PEF成角的正弦 心-2y=}Fd=(-2y3,2. 值为，此时F为靠近点B的三等分点，即BF=号BD, :FP⊥AC,.Fd.AC=-2(x-2)+4(y-3)+4=0, 3.解：(1)如图①，取MB的中点为P,连接DP.PN ∴.x=2y-2. ,MN=CV,MP=BP,∴.NP∥BC 又DE∥BC,∴.NP∥DE,即N,E,D,P四点共面. 又-2y+y-2- 又EN∥平面BMD,ENC平面NEDP,平面NEDP∩平面 MBD=DP,∴EN∥PD,即NEDP为平行四边形， 5y-20y+9-0,解得 (含)或 ∴NP=DE,则DE-号BC,甲X=之 当点P坐标为(2+号2+得2)时，FP1AC, 此时点P到直线A,片的距离为停 任务强化练20概率 1.C解折：PA)=1-P)=1-号-号P(AB)= PAPB)=号0，PD+PBD=号1.率件A与B相 (2)如图，取DE的中点O,连接O,则)⊥DE 互位立，不互斥、不对主 ,平面MDE⊥平面DECB,平面MDE∩平面DECB=DE, 2.B解析：4个都不亮的概率为(1一0.8)=0.0016，只有1个 且M)⊥DE,∴.M)⊥平面DECB 亮的概率为4×0.8×(1一0.8)1=0.0256，·至少有两个能 建立空间直角坐标系， 正常照明的概幸是1一0.0016一0.0256=0.9728. 设BC=2,则M(0,0,31),D(1,0,0),B(1,3(1一1)，0)， 3.B解析：由题意可知，任选一只为合格口罩分第一次检险合 ∴Md=(.0,-/3A),Di=(1-a3(1-A).0). 格和经过精加工后检验合格两种情况，，∴.得到合格口罩的概 设平面BMD的法向量为m=(x,y,z) 率为0.8+-0.8)×0.3=0.86. 则m·d--3=0. x=5, 4,B解析：由已知可得这家健身房的总好评率为 即 m·Di=(1-).x+3(1-a)y=0, x=-5y 840×95%+1260×85光=89%. 840+1260 令=5，即m=(3,一1,1). 又平面EMD的一个法向量为n=(0,1,0). 5.B解析：用A表示“甲取到语文书”，B表示“乙取到语文书”， .cos(m.n)= 则PB)=P(AP(BIA)+P)PBA=是×号+号X 即随着入值的变化，二面角B-MDE的大小不变， 6.A解析：设所求概率为P,则0.75P=0.6,解得P=0.8. 51 7.C解析：根据A,B,C事件的互斥性可得，每一次试验中，事 ∴二三面角BMDE的正弦值为2酒 件C发生的概率为号，设事件A,B,C发生的次数分别为随机 68任务强化练19立体儿何的综合问题 【基础保分练】 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 1.如图，在直角梯形AO,O2C中，AO∥CO2, 正方形，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥ AO⊥OO2,OO2=4,CO2=2,AO=4,B是 底面ABCD,E为AD的中点， 线段OO2的中点，将△ABO,△BCO2分别 (1)求证：CE⊥PD. 沿AB,BC向上折起，使O,O2重合于点O, (2)在线段BD(不包括端点)上是否存在点 得到三棱锥O-ABC. F,使直线AP与平面PEF所成角的正弦值 (1)证明：平面AOB⊥平面BOC; (2)求直线OC与平面ABC所成角的正弦值. 为？若存在，确定点F的位置：若不存在， 请说明理由 -38 【能力提分练】 4.(2023·广东茂名模拟)某市在滨海文化中心 3.(2023·福建福州屏东中学高三开学考试)如 有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格， 图①，在等边△ABC中，D,E分别为边AB, 截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合， AC上的动点且满足DE∥BC,记瓷-X将 如图，在长方体ABCD-A1BCD1中，AB= 4,AD=AA1=2,圆台下底圆心O为AB的中 △ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得 点，直径为2，圆与直线AB交于点E,F,圆台 平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC得到 上底的圆心O在AB上，直径为1. 图②，N为MC的中点. D (1)当EN∥平面MBD时，求λ的值. (2)试探究：随着入值的变化，二面角BMDE 0 D 的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如 “0“ 果不改变，请求出二面角BMD-E的正弦值 (1)求AC与平面A,ED所成角的正弦值， 大小 (2)圆台上底圆周上是否存在一点P使得 FP⊥AC1?若存在，求点P到直线A1B1的 距离；若不存在，请说明理由 39