任务强化练16 球的切、接问题(强化练)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

任务强化练16 球的切、接问题 【基础保分练】 6.已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥 1.若棱长为25的正方体的顶点都在同一球面 的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则 上，则该球的表面积为( 这个球的体积等于( ) A.12m B.24π C.36π D.144元 A品 器 2.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直 C.16π D.32π 径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积 7.表面积为16π的球的内接正方体的体积为 为( 8.如图，在圆柱O,O2内有一个球O,该球与圆柱 A.π B 的上、下底面及母线均相切.记圆柱OO2的 c n牙 体积为V,球O的体积为V,则兰的值是 3.据《九章算术》记载，“整臑”为四个面都是直 角三角形的三棱锥.如图，现有一个“鳖糯”， PA⊥底面ABC,AB⊥BC,且PA=AB BC=2,则三棱锥外接球的表面积为() 9.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩 形ABCD折成一个直二面角BACD,则四 面体ABCD的外接球的体积为 A.10元 B.12元 10.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均 C.14π D.16x 为3，则其外接球的体积是 4.(2023·福建福州模拟)表面积为83的正四 【能力提分练】 面体的外接球的表面积为( 11.(2023·福建宁德模拟)已知三棱锥PABC A.43元 B.12π 中，PA⊥底面ABC,PA=AB=AC=2, ∠BAC=120°，则三棱锥PABC的外接球 C.8π D.46π 的表面积为( 5.已知圆柱的母线长是2，它的两个底面圆周在 A.12π B.16π 直径为2√的同一个球的球面上，则该圆柱的 C.20π D.24元 表面积为( 12.已知一个圆锥的母线长为2√6，侧面展开图 A.4v5π B.(8+6、3)π C.10v3π D.(10+45)π 是圆心角为2产的扇形。则该圆能的外按球 -32 的体积为( A.3 A.36元 B.48π &号 C.36 D.24v2 C.1 13.张衡是我国东汉时期伟大的天文学家，数学 15.(2023·湖北黄冈中学模拟)若一个正六棱 家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于 柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的 八分之五.已知三棱锥ABCD的每个顶点 外接球和内切球的表面积的比值为( ) 都在球O的球面上，AB⊥底面BCD,BCI A.2:1 B.3:2 CD,且AB=CD=√3，BC=2,利用张衡的结 C.73 D.7:4 论可得球O的表面积为( 16.已知正四面体PABC的表面积为S,此四面 A.30 B.10√10 体的内切球的表面积为S,侧 C.33 D.12/10 17.在三棱锥PABC中，AB=BC=√/15，AC 14.已知△ABC是面积为的等边三角形，且 6,PC⊥平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外 其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积 接球表面积为 为16π，则点O到平面ABC的距离为( -331.气解折：知图，在正方体ABCD-A,BGD中，E为校 9.125x解析：由题意，知球心到四个顶点的距离相等，“球心 AA1的中点，AB=1, 在对角线AC上，且其羊径为AC长度的一岸，矩形对角线 则0G=0G+0C=1+名=是，0E=0A+AE=+ AC=5,则V=青xx(停)广-1 6 音-是，BG=AG+AE=2+片=是，0G+0E 10.9 解析：三枚雏的三个侧面两两垂直，且侧校长均为√3，可 2 EC,∴.OE⊥OC,文BD⊥平面ACC1A1,OCC平面 将三被维补形成正方体，从而其外接球的直径为3，半径为 ACCA,.BD⊥OC,且OE∩BD=O,∴.OC⊥平面BDE, 故所求外接球的体积V=弩×（受）”-要 3 且Sm=壹BD0E=}×恒×号-，即平面a我孩正 11.C解析：将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球 方体所得藏西图形的面积为气。 O,D,D为上下底面的外心，O为DD的中点，AD为底面外接圈 的半径，由余孩定理得BC√AB+AC-2AB·ACoos120°- 任务强化练16球的切、接问题 2√/3 2,3,由正按定理释2AD=sn20=4由OD=1,AD=2, 1.C解析：设外接球的半径为R,易知2R■√3X2√3■6， 得AO√5，，球O的表面积为S■4π2■20元 ∴.R=3,于是表面积S=4πR=36元 2.B解析：设圆柱的底面圆半径为，则P=-(合)”-是 ÷圆柱的体积V=子X1-要 3.B解析：如图，将三棱锥补形为正方体， 第11题图 第12题图 P Q 12.A解析：设圆锥的底面半径为r,由侧面展开图是圈心角为 D--- 23的璃形，得2一2rX2后，解得=22.作出国维的轴 3 我面如图所示，设圆维的高为h,则h=√(2W6)°-(22)=4 剩外接球半径RS-AP+AB+BC4士4+4 设诚圆维的外提球的球心为O,半径为R,则R 2 2 2 √h-R)+7,即R=√(4-R)+(2W2),解得R=3, √3，三棱锥外接球表面积S=4x2=4π×3=12元 “该圆维的外接球的体积为4R=36元 4B解析：设正四面体的检长为a,剥根据题意可得号。×4= 3 13.B解析：：BC⊥CD,.BD=7又AB⊥底面BCD,∴球O 8√5，解得a=2√2.该正四面体的外接球与棱长为2的正方体 的球心为侧棱AD的中，点，从而球O的直径为√I0.利用张 的外接球的半径相等，正方休的外接球幸径为√3，故该正四面 衡的站论可得荒-音，则=而，“球0的表面取为4× 体外接球的表面积S=4πX(/3)子=12元 5.D解析：由题可知，圆柱的母线长=2，则圆柱的底面圆的半 (）'=10x=101 径为r=√(W6)2-1=√5，∴.圆柱的表面积为S=2x+ 2xrl=2Xx×(W5)2+2x×√5×2=(10+45)元 14.C解折：由等边三角彩ABC的面积为，得停A 6.B解析：如图，作轴截面，圈锥的抽藏面 是等康三角形PAB,△PAB的外接圆是 3得AB=3,则△ABC的外接国半径r=号×号AB 4 2 球的大司，设该锥的外接球的半径为 停AB-瓜，设球的半径为R,则南球的表面积为16，得 R,依题意，得R=(3一R)2十(3)'，解得 4xR=16x,得R=2,则球心O到平面ABC的距离d= R=2,·所求球的体积V=号R= √R-7=1. 3元×2=32元 15.C解析：如图，O,O分别为底面中心，O为O1O的中点，D 3元 为AB的中点，设正六棱柱的底面边长为2，若正六棱柱有内 7.643解析：设表面积为16x的球的率径为，则4=16示， 切球，则OO=OD■√3，即内切球的半径r■√，OA■ O十OA=7,即外接球的半径R=√7，则该正六棱柱的外 解得=2.设内接正方体的被长为a,剩V3a=2r,a=看 接球和内初球的表面枫的比值，4πR：4=R 2=7￥3. 内接正方体的体款V--(信)广-4 91 8号解析：设圃柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱 OO2的底面圆的半径为R,高为2R, 始-- 3xR 21 一63 16.63 解析：设正四面体的被长为4，则正四面体的表面积为 iDi=(2,0,-2)…(1,-号，1)=0， S=4××公-Bd,其内切球丰径r为正四面体高的子 Pi⊥Di,∴PB⊥DM (2)解：Pi·AD=(2,0,-2)·(0,2,0)=0, 即一×得。-得，因光内球表面软为=- Pi⊥Ad,∴PBLAD. 又PB⊥DM,DMOAD=D,DM,ADC平面AMD, 爱-是- ∴.PB⊥平面ADMN, 即P站为平面ADMN的一个法向量. 6 4 1n.婴解析：由题可知，△ABC中AC边上的高为V5了- 路.随-离儒支后子 设直线BD和平面ADMN所成的角为8， 6,球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D.设 DA=DB=DC=x,则t=3+(W6-x},解得x=5y5】 则sm0=os(Pi,D市1= 心-2+(9)-空+1一婴（其中R为三校维外接球的 :BD与平面ADMN所成的角为若 3.(1)解：取AC的中点O,则OB⊥AC.以O为原点，Oi,O范为 半径)，∴外接球的表面积S=nR=婴 x,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 任务强化练17空间位置关系的证明 与线面角问题 1.解：(1)由题意得，EF∥MC,且EF=MC,∴.四边形EFCM是 平行四边形， .EM∥FC 又CFC平面BCF,EM过平面BCF,∴.EM∥平面BCF. (2)取DM的中点O,连接OA,OE,:AB∥MC,且AB=MC, 四边形AMCB是平行四边形， ∴.AM=BC=/I0, 又AD=√1D,故△ADM是等腰三角形，同理△EDM是等腰 则O0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),B(03,0),M(0,w3, 三角形， 3),∴AB=(-1,3,0),AC=(-2,0,0),Ai=(-1,5, 可得OA LDM,OE1DM,OA=√AD-(DY-3, √3). 2 设平面MAC的法向量为n, 0E√ED--5, 则：a0取=01，-. {n·AM=0, 又AE=23,∴.OA2十OE=A,故OA⊥OE. 又OA⊥DM,OE∩DM=O,OE,DMC平面EDM, ..cos(AB,n)=/3 6 2XW24 ∴.OA⊥平面EDM 易知Saw=之X2XW5=月. 故AB与平面MAC所成角的正弦值为5 在△ADE中，08∠DEA=4+12-10-3 (2)证明：由(1)得A(1,0,25),C(-1,0,23) 2×2X2√/34 则AC=(-2,0,0),A1M=(-13,-√3). 血DEA=平，sm=x×2x25x平= 4 2 设平看C的育是为圆信：不 设点M到平面ADE的距离为d,由VMe=VAaM, 取m=(0,1,1),则m·n=0,即m⊥n, 得号sam·d-3Sam·0A,得d-6里 故平面MAC⊥平面MAC 13 4.(1)证明：设AC与BD相交于点O,连接FO 故点M到平面ADE的距离为5区 四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD. 13 O为AC的中点，FA=FC,.AC⊥FO 2.(1)证明：如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系， 又FONBD=O,BDC平面BDEF,FOC平面BDEF, .AC⊥平面BDEF (2)解：连接DF 四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60, ,△BDF为等边三角形. O为BD的中点，.FO⊥BD 又AC⊥FO,ACOBD=O,BDC平面ABCD,ACC平面ABCD, .FO⊥平面ABCD, 设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0), ,OA,OB,OF两两互相垂直 c21,0M(1,21) 如图，以O为坐标原点，OA,OB,OF所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 64