7.3 导数的简单应用(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第三讲 导数的简单应用 知识清单·精准记忆◆心 【基础梳理】 5.用充要条件诠释导数与函数单调性的关系 1.导数的几何意义 (1)f(x)>0(<0)是f(.x)在区间(a,b)内单 函数f(x)在点xo处的导数是曲线f(x)在点 调递增（减）的充分不必要条件 P(x,f(xn)处的切线的斜率，因此曲线f(x) (2)f(.x)≥0（≤0）是f(.x)在区间(a,b)内单 在点P处的切线的斜率k一f(x),相应的切 调递增（减）的必要不充分条件 线方程为y-f(xo)=f(x)·(x一x). (3)若f(x)在区间(a,b)的任意子区间内都 2.基本初等函数的8个导数公式 不恒等于零，则(x)≥0（≤0）是f(x)在区 (1)C=0: 间(a,b)内单调递增（减）的充要条件。 (2)(x)'=ax-1: 6.函数的极值、最值 (1)设函数f(x)在点x附近有定义，如果对 (3)(sin x)'=cos x附近所有的点x,都有f(x)<f(xo),那么 (4)(cos x)'=-sin x; f(x)是函数的一个极大值，记作y做大值= (5)(a)'=alna: f(x);如果对x附近所有的点x,都有 (6)(e)'=e; f(x)>f(x),那么f(xa)是函数的一个极小 (7)(logr)=ln a 1 值，记作y小情=f(x).极大值与极小值统称 为极值。 (8)(nx)/=1 (2)将函数y=f(x)在[a,b们内的各极值与端 3.导数四则运算法则 点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一 (1)[f(x)±g(x)]'=f(x)土g'(x): 个是最大值，最小的一个是最小值。 (2)[f(x)·g(x)]'=f(x)·g(x)+f(x)· 7.谨记3个注意点 g'(x): (1)极值点不是点，若函数f(x)在处取得极 (3)「/x)7 f(x)·g(x)-fx)·g'(x 大值，则为极大值点，极大值为f():在x Lg(x) [g(x)] 处取得极小值，则x为极小值点，极小值为 (g(x)≠0). f(2).极大值与极小值之间无确定的大小关系. 4.复合函数的导数 (2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数 复合函数y=∫(g(x)的导数和函数y= 定不是单调函数 f(u),u=g(x)的导数间的关系为yr'=y· (3)f(x)=0是x。为f(x)的极值点的必要 w',即y对x的导数等于y对u的导数与u 不充分条件.例如，f(x)=x3,f(0)=0,但 对x的导数的乘积. x=0不是极值点. 100 专题七函数与导数 【自主检测】 3若函数A(x)=2x一在[1，十o∞)上是增函 题组一导数的运算与几何意义 数，则实数k的取值范围是() 1.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足 A.[-2,+o∞) B.[2,+o∞) f(x)=2xf(e)+lnx,则f(e)等于( C.(-∞，-2] D.(-o∞，2] A.1 B.-1 C.-e1 D.-e 题组三导数与函数的极值、最值 2.(2021·金国甲卷)曲线y=千2在点（-1， 1,已知函数f(x),g(x)均为[4，b们上的可导函数， 一3)处的切线方程为 在[a,b]上连续且f(x)<g'(x),则f(x) 3.曲线y=lnx十x+1的一条切线的斜率为2， g(x)的最大值为( 则该切线的方程为 A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) 题组二导数与函数的单调性 C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a） L函数y=r-hx的单调递减区间 2.若函数y=2x3-6x2-18.x十7，则下列结论正 确的是( ) 为( A.在x=一1处取得极大值17，在x=3处取 A.(-1,1 B.(0,1) 得极小值一47 C.[1,十∞) D.(0,+o∞) B.在x=一1处取得极小值17，在x=3处取 2.已知函数f(x)=元+lnx,则有( 得极大值一47 A.f(e)<f(3)<f(2) C.在x=一1处取得极小值一17，在x=3处 B.f(3)<f(e)<f(2) 取得极大值47 C.f(e)<f(2)<f(3) D.以上都不对 D.f(2)<f(e)<f(3) ◆◆方法清单·把控高考◆◆ 考点三 导数的几何意义 【备考这样练】 【高考这样考】 1.曲线f(x)=x2-x+3在点P处的切线平行 审(2024·新高考I卷)若曲线y=e十x在点 于直线y=2x一1，则点P的坐标为( (0,1)处的切线也是曲线y=In(x+1)十a的 A.(1,3) B.(-1,3) 切线，则a= C.(1,3)或(-1,3) D.(1,-3) 【方法规律】1.求函数的导数要准确地把函数 2.(2022·湖南雅礼中学模拟)已知f(x)为偶函 拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用 数，当x≤0时，f(x)=e1一x,则曲线y= 运算法则求导， f(x)在点(1,2)处的切线斜率是( 2.利用导数的几何意义解题，主要是利用导 A.1 B.2 数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转 C.e D.-e2-1 化，其中关键是确定切点的坐标 -101 艺术生文化课考前100天数学 3(2023·全国甲卷文)曲线y=千在点 数的单调性，再由单调性比较大小或解不等 式问题. (1,)处的切线方程为( 3.常见构造的辅助函数 A.y=e By=号 ()-f().g()-R(-) C.y=e 4 D.y-gr+e g(r)=K(r) 4 g)=f(r)lnz.g(r）)=f In x 4.(2024·全国甲卷文)设函数f(x)= 【备考这样练】 g+2sim工，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 ■考向1与函数单调区间有关的问题 1+x2 1.已知m是实数.函数f(x)=x2(x一m),若 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 f'(一1)=一1，则函数f(x)的单调递增区间 () 是() A日 B号 A(-专o c n号 B0,) 考点二 利用导数研究函数的单调性 C.(-∞，- 【高考这样考】 )，(0，+∞) 野(2024·全国甲卷文)曲线y=x3一3.x与y= D.(-0,-3U0,+o∞) 一(x一1)十a在(0，十∞)上有两个不同的交 2.已知函数f(x)=2x2-lnx,若f(.x)在区间 点，则实数a的取值范围为 (2m,m十1)上单调递增，则m的取值范围 【方法规律】1.利用函数的单调性求参数的取 是( 值范围的思路 (1)由函数在区间[a,b们上单调递增（或递减） A[) B[+) 可知f(x)≥0（或(x)≤0）在区间[a,b们上 c[2 D.[0,1) 恒成立 (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成 3.(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列 立问题. 性质①②③的函数f(x): (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使 ①f(x1x)=f(x1)f(x2):②当x∈(0，+o∞) f(x)在整个区间恒等于0，若f(x)恒等于 时，f(x)>0:③f(x)是奇函数 0,则参数的这个值应舍去：若只有在个别处 ■考向2利用导数比较大小或解不等式 有f(x)=0,则参数可取这个值. 1已知a=鸟2,6=e=2.718…为自然对数 e 2.利用导数解不等式或比较大小的思路 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或 的底数)，c= 3,则a,6c的大小关系 求解不等式的问题转化为先利用导数研究函 为( -102 专题七函数与导数 A.abc B.a>cb 【备考这样练】 C.bac D.b>c>a 1.(2022·全国甲卷)当x=1时，函数f(x)= 2.函数f(x)是定义在(0，十∞)上的可导函数， alnx+取得最大值-2，则f(2)=（) f(x)为其导函数.若xf(x)十f(x) e'(x-2)且f(3)=0,则不等式f(x)<0的解 A.-1 B- C.? D.1 集为( ) 2.(多选)设(x)为函数f(x)的导函数，已知 A.(0,2) B.(0,3) x2f(x)+xf(x)=nx,f1)=号，则下列结 C.(2,3) D.(3,+6∞) 论不正确的是() 考点目 导数与函数的极值、最值 A.xf(x)在(0，十o∞)上单调递增 【高考这样考】 B.xf(x)在(0，十o∞)上单调递减 (多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)= C.xfx)在(0，十∞)上有极大值号 alnx十b+S(a≠0)既有极大值也有极小 D.xfx)在0，十∞)上有极小值2 值，则( 3.(2022·全国乙卷)函数f(x)=cosx+(x十 A.be0 B.ab0 1)sinx十1在区间[0,2x]上的最小值、最大值 C.b+8ac>0 D.ac<0 分别为( 【方法规律】利用导数研究函数的极值、最值 A一受受 B受号 的注意事项 (1)不能忽视函数的定义域 C-5+2 n-经5+2 (2)f(x)=0是可导函数在x=x处取得极 4.(多选)(2024·新高考I卷)设数f(x)= 值的必要不充分条件 (x一1)2·(x一4)，则( (3)函数的极小值不一定比极大值小. A.x=3是f(x)的极小值点 (4)函数在区间(a,b)上有唯一极值点，则这 B.当0<x<1时，f(x)<f(x) 个极值点也是最大（小）值点，此结论在导数 C.当1<x<2时，-4<f(2.x-1)<0 的实际应用中经常用到 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) -103simx-3cosx=2sim(r-5)小心f(8)=2sim(是-吾） 2.D解析：在(0，+o0)上了r)=+>0.fx)在0. -2sin=-2. 十oo)上为增数，'2<c<3.,f(2)<f(e)<f(3). 考点五 3.A解折：)=2+点=2十女，：h(r)在[1，十e)上是增 【高考这样考】 ACD解析：由题意可知，1w∈[60,90].L,∈[50,60].1= 画数（≥0在[1十6o)上旋成立.2十≥0在[1. 40.对于选项A,可知l,-L=20×1gA-20×gA=20× 十00)上恒成立，.k≥一2在[1，十00)上她成立，.≥一2. 题组三 gA.1≥LL-L=20X1g2≥0，即gA≥0 1.A解析：令F(x)=f(x)一g(x).∴.F(x)=f(x)一g'(x)< 0,.F(x)<0,.F(x)在[a,b们上单调递减，.F(x)m= :么≥1且p>0,可得≥p,故A正确，对于选项B.可 f(a)-g(a1, 2.A解析：y=6x一12r一18，令y=0,解得x=一1，x2=3. 知L-L=20×g2-20×lg会=20×g么.：L 当x变化时，了(x),f(x)的支化情况见下表： B (-0,-10 -1 (-1.3) 3 (3,十o) h=h,-0≥10.则0Xs发>10.中s会≥号会≥ ((r) + 0 、10且：，p>0,可得p≥、10p,当且仅当Lw=50时，等 f(r) 极大值 4 极小值 号成立，故B错送.对子选项C.:Ln=20X1g2=40,即 ∴.当x=一1时，/(x)取得极大值为/（一1）=17，当x=3时， P. f(x)取得极小值为f(3)=一47. g2=2,可得2=100，即A=100A,故C正确.对于选项D. 【方法清单·把控高考】 考点一 由选项A可知1n-1=20×gA,且Ln-一1n≤90-50=40. 【高考这样考】 1n2解析：由题，令fx)=e+x,别f(x)=e+1,∴.f(0) 则20XgA≤40，即g么≤2，可得2≤100，且A,p>0 =2,.曲线y=e+x在点(0,1)处的切线方程为y=2x十1， B. ∴p≤100p,故D正确. 令x)=lnr+lD+a,则gu)=设直线y=2r+1与 【备考这样练】 1.C解析：由题意，得1=5+lgV=4.9, 南线y8)相切于点面则-2，得五-一之期 .lgV=-0.1, v=10=元*2*0.8 1 y=2x+1=0.∴0=h(-号+1)+a∴a=h2 【备考这样练】 2.A解析：由题意，得40=10十100-10)e”e”=子，两 1.C解析：f(x)=3r-1,令f(x)=2,则3.-1=2，解得 x=1或r=-1,.P(1,3)或（一1.3）.经检验，点(1,3)，(-1. 边取自然对数，得-5k=h号=一h3,“k=3≈ 3)均不在直线y=2x一1上，∴.点(1,3)，（一1,3）均特合题含， 2.B解析：设x>0,则一xr<0,f(一x)=e1十x,又f(x)为偶 1.099≈0.22. 盛数，.f(x)=心1十x,副对应导函数为(x》=e1十1， 5 .了(1)=2，即所求的切线斜率为2. 3D解折：由题意，得高-21高-15苏5不交，则 aC解析：设曲线y-品在点(1，受)处的切线方程为y 2.1lnN,=3.15lnN,即2lnN,=3lnN.∴N=Ng. 第三讲导数的简单应用 号-一.y所y-- e (.x+1) 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 (1.受)处的切线方程为y-是十 e 1.C解桥：f)=2fe)+是f)=-e 4.A解析：f广(ax)=c+26os)1+x)-(e+2sin·2x 25证y叶2-0解折：y--2号 (1+x) (r+2)9 f(0)=3,.曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1 2当=-1时y=一3，y1-1=5所求切线方程 =3(x一0)，抑3x一y十1=0，初线与两坐标轴的交，点分别为 为y+3=5(x+1),即5.x-y十2=0. (0,1),(一子，0)切线与两坐标轴所国成的三角形的面积 3.2x一y=0解析：设初，点坐标为(x,ln6十十1).由题意， 1 得少=士十1，则该切线的斜率为士十1=2，解得石=1∴切 考点二 点坐标为(1.2)，.该切线的方程为y-2=2(r-1),即 【高考这样考】 2x-y=0. (一2,1)解析：令x一3x=一(x-1)+a,则a=x一3r十 题组二 (x一1)2，设h(x)=2-3.x十(x-1)2,则h'(x)=3一3十 1B解折：y=合-h>0=-士曰 2x-1)=(3.x十5)(x-1),,x>0..3.x+5>0,当0<x<1 时，h'(x)<0:当x>1时，h(x)>0..h(x)在(1，十o)上单 (x0),令y<0.解得0<x<1,.函数的单调递减区间为 调递增，在(0,1)上单调道减.：曲线y=x一3x与y= (0,1). 一(x一1)十a在(0，十o∞)上有两个不同的交点，h(0)=1, h(1》=一2，.a的取值范围为（一2,1）. 【备考这样练】 n,由g(x)>0,得>1：由g(x)<0,得0<x<1,故g(x 考向1 在，十∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，故当x=1时， 1.C解析：，f(x)=3x2-2mr,.(一1)=3+2m=一1，解 得m=-2,∴f(r)=3x2+4m.由f(.x)=3.r+4r>0,解得 函数)=f)取得极小值为)=f)= <-青我>0：即)的单润适增区间是(-，一者） 3.D解析：f(x)=一sinx十simx十(x十1)cosx=(x+1)c0sx, ∴fx)在区间(0，受）和（经，2x)上，fx)>0,即fx)单调 (0,十∞). 2.A解析：：”f(x)■22一nr的定义城为(0，十∞)，(x) 递增：在区间（受，）上，了(x)<0,即f(x)单词递减.又 4红一子，由f>0:得r一子>0：解释>合f)的 0)=2m)=2.(受）=受+2，/(）=-（警+1）+1= 单调递增区间为（告，十）由于)在区同(2m,m+1上 十1>2m 一要f)在区间[0,2x]上的最小维为-要最大位 单调递增，则(2m,m十1)C(号，十∞）小 为5+2 是<㎡<1.周北，实数m的取值花国是[，小 4,ACD解析：，f（x=(x一1)2(x-4),.f(x)m2(r-1)(x 一4)十(x-1)=3(x-1)(x一3).今(x)=0,解得x=1或 3.f(x)=子(x∈R)(答案不唯一）解析：对于f(x)=x(xE x=3,当<1或x>3时，f(x)>0:当1<x<3时，f(r) R),f()=()2=·=f)f().满是①：(x) 0,.函数f(x)的单调逆增区间为（一0,1），(3，十9)，单调 2r,当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,满足②：f(一x)=一2.x= 递减区间为(1.3)，故x=1是函数f(x)的极大值点·x=3是 一f(x),f(r)是奇函数，满足③.周此f(x)=x2(.x∈R)特合 品数f(x)的极小值点，.A正确. 题意。 当0<x<1时，x-=x(1-x)>0,即0<2<x<1,文函数 考向2 f(x)在(0,1)上单调递增，f()f(x),.B错误. 1.C解析：令f)=血兰了(x)=1血上.当xr∈(0.e 当1r2时，1<2x一1<3，函数f（x)在（门，3）上单调道减 .一4=f(3)<f(2x-1)f(1)=0..C正确. 时(r)>0,f(x)=血单调递增：当r∈(e,十o)时， 当-1<x<0时，f2-x)-f(x)=(2-x-1)2(2-x-4) (x-1)y产(x-4)=(x-1)2(-x-2)-(x-1(x-4)=(x f(x)<0.代x)=兰单调通减.：a=2_2n2=血4 1)2(-2x+2)=-2(x-1)>0,.f(2-x)>f(x)..D正 4 确.综上，速ACD, f4.h=1-血e=fec=2n3_9=f(9).fe)> 第四讲导数的综合应用 e 9 9 f(4)>f(9),p>a>c 第一课时利用导数研究函数的单调性、极值与最值 2.B解析：令g(x)=xf(x),则g(x)=x了(x)十(x)= 【方法清单·把控高考】 e(r2),可知当r∈(0,2)时，g(x)是单调诚函数，且0 考点一 f(0)+f(0)=e(0-2)=-2<0.即f(0)<0:当x∈(2， 【高考这样考】 十∞)时，(x)是单调增函数，又f(3)=0,则(3)=3f(3) 解：(1)设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=21nx-2x+1-c 0.:不等式fx)<0的解集就是xf代x)<0的解集，不等式 其定义城为(0，十，h'(x)=2一2. 的解集为(0,3). 考点三 当0<xr<1时，h'(x)>0:当x>1时，h'(x)<0, 【高考这样考】 ,h(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，十∞)上单调 BCD解析：菡数f(x)的定义战为(0，十6o),求导得f(x)= 递减. 兰子一=一之，：品数既有板大值也有板 从而当x=1时，h(x)取得极大值，也是最大值，最大值为h(1) 小值，.函数f(x)在(0，十©)上有两个变号零点，而a≠0， 故当且仅当-1-≤0，即≥一1时，fx)≤2x+c, 因此方程ax2一br一2=0有2个不相等的正根，，于是 .c的取值范围为[一1，十∞). △=F十8ac>0 (2g(0=）@=2hlh,x∈(0，aU(a. 工一2 x-a n+=名>0·p形+8c>0.b0,c<0,是然ak0. 十o). 2(+na-nx）2(1-是+n) g(x)= 即<0，故A错误，BCD正确， (x-a) (.x-a) 【备考这样练】 取c=-1,得h(x)=2nx-2x十2，h(1)=0, 1.B解析：，函数f(x)的定义域为(0，+》，.依题可知， 则由(1)知，当r≠1时，h(x)<0,即1一x+nr<0, -6=-2a-= f1)=-2,f(1)=0,而/(x)=a-b 放当x∈(0.aU(a,+∞)时.l-兰+n兰<0， 0,即a=6-2f)=-是十号，周北画数)在(0， 从而g'(x)<0, .g(x)在区间(0，a),(a,+oo)上单调递减 1)上单调递增，在(1，十○)上单洞递减，x=1时取最大值，满 【备考这样练】 足道意，即有f2)=-1计号=一之 解：函数的定义域为(0，十©)， 2.AC解析：由r了(x)+xfx)一lnr,得r>0,则xf(x)十 f(x)=ar-(a+1)+1-ar-a+Dz+1 fx)=,即[xx]'=三.设gr)=xfx,则R(x) (ar-1)(r-1D 45