6.2 圆的方程(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

意，点A关于，点P的对称点B(一a,2a一6)在上.代入 2、26,半径为/26，.图的方程为(x-4)°+(y一1)2=26. 的方程，得一a一3(2a一6)十10=0，解得a=4..A(4.0). 即x2+y2-8r-2y-9=0. ,A(4.0)在直线1上.直线1的方程为x十4y一4=0. 2.(x-2)2十y2=9解析：设圆心C(a,0)(a>0),由题意知 考向2 1.A解析：设点P的坐标为(a,b),则PQ中点的坐标为 2al_4⑤，解得a-2∴r=V2+(-5-3,故国C的标 5 5 (但，).“减P与Q1,-2)关于+y一1=0对格， 准方程为(x一2)+yY=9. 3.x2+y一2x=0解析：方法一：设圆的方程为x2十y+Dx十 Ey十F=0(D+E-4F>0).:国经过点(0,0).(1.1).(2. 2+2-1=0 得化8点P的坐标为3.0以， (F=0, 1D=-2, 2 0),.2十D十E十F=0,解得E=0, .圈的方程为十 2.C解析：设A(一4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则 (4+2D+F=0. F=0, 5y2-2x=0. 方法二：画出示意图如图所示， 。2 =2×二1+x y+2 解探=4, y=-2, 直线C的方程为y一 则△OAB为等腰直角三角形，故所求圆 2 的回心为(1,0)，半径为1，.所求圆的 1=号一3，即+y一10=0联立100解得 方程为(x一1)十y=1,即x十y 1y=2x, 2.x=0 .. 考点二 【高考这样考】 第二讲 圆的方程 2(2.-2,号一号中任意一个皆可）解桥：设点C到直线 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 AB的距离为d,由弦长公式得1AB=2、4一F, 题组一 1.A解析：圆(x+2)十y=5的圆心为（一2,0），则美于(0,0) 六5r-号×X2个1=号，解得d-5我-25 对称的圆的圈心为(2,0)，半径不变 由d=1+1L 2 2.D解析：设圆心C的坐标为(a,0).>0,则d-3中4-2. 春=，将际二我、2 /1十m 5 ”、1十m 5 得a=2..司C的方程为(x-2)2十2=4.即x2+V一4x=0. 2适，解得m=士号我m-士2 题组二 【备考这样练】 1.D解析：化圆的方程为标准方程，得(x一1)十(y十3)2=10， 考向1 ∴孩圈的圆心(1，一3)到直线x一y十2=0的距离为 1.3x十4y=0或x=0解析：圆C的圆心坐标为(2,1)，半径r 11-(-3)+2=6=32 2,当切线1的斜率不存在时，：x=0,显然到圆心的距离等于 、+(-1F~2 半径，x=0是圆的一条切线：当切线/的件率存在时，设针 2.A解析：d=21=2r=2于2=2.圆的方程为 /+1 率为，l:y=k,由同心到切线的距高等于半径得2坠-L VFI (x-2)2+(y+1)2=4. 3.C解析：图（一u)十y=2的圈心(a,0)到直线一y十1=0的 2解得=一是直线方程为3十=0综上，所求直我方 距离为d小.则d长一2=al≤2u+1≤2-3≤. 程为3.x十4y=0或x=0. 2 2.ACD解析：则(x-5)+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半 题组三 1.C解析：由两圆的标准方程可得O(a,b),n=2,O(0, 径为4.直线AB的方程为号十受=1，即x十2y-4=0同心 1D,n=1.划00|=√+T≥1=n一n,.两圆不可能 M到直线AB的距高为5+2X5-4=是=1山5>4. 内含 vT+25 5 2.1解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y= “点P到直线AB的距离的最小值为5-4<2，最大植为 占国心00)到直线的距离为d=是=V公-(8= 5 1,.a=1. 山面+4<10，故A选项正确，B选项错误.如图， 【方法清单·把控高考】 了 考点一 【高考这样考】 (x-1)十(y十1)2=5解析："点M在直线2x+y一1=0上， .设，点M水a,1一2a).又，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，，点M到 两点的距离相等且为半径R,即/(a一3)+(1一2a于= a+(-2a)=R..a2-6u十9+4a2-4a+1=5a2,解得 a=1,.M1,一1)，R=5,.⊙M的方程为(x一1)+(y十 1)2=5. 【备考这样练】 当∠PBA最大或最小时，PB与间M相切，连接MP,BM,可 1.B解析：由题意知周心(4.1)，圆的直径为、(5一3》+(6+4)下 知PM⊥PB,BMM=/(0-5)+(2-5)=/34,1MP= 32 4,由勾股定理可得|BP=、BM-MP平=3、2，故CD 7 25 选项正确。 为y=242一24 考向2 当切线为n时，易知切线方程为x=一1 1.C解析：设直线为l:ax十y+2一u=0,即1：a(.r-1)+y+2 【备考这样练】 =0,易知l过定点P(1,一2)，圆C的标准方程为x2十(y十 1,D解析：将x2十2mx十5y2十2一1=0化为标准方程得(x十 2)2=5,.圈心为C(0,一2)，半径为5，且P在圆C内，：当 m)十y=1,即圈心为（一m.0),半径为1.圆x十(y一2）=4 PC⊥AB时，圈心C到直线1的距离最大，此时AB取得最小 的司心为(0,2)，半径为2.，圈x2十(y一2)=4与周x十 2x十y2十㎡一1=0至少有三条公切线，.两圆的位置关系 值.易得PC=xm-=1.∴.AB引=2(5)-1P=4 故选C 为外切或相离，./m十4≥2十1，即m≥5，解得m∈（一6o, 2.C解析：由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圈心到直线1的 -5]U[5.+oo). 2.BD解析：：C:(x-1)2+(y-3)=11,C:(x+1)2+ 距离d= 片孩长为名所则当0时，孩关 (y一m)=4若圆C与x轴相切，副有m=2m=士2，故 取得最小值为2一m=2,解得m=士3. A错误：当m=一3时，1CC2|=、(1+1)+(3+3)下= 3.D解析：盟C的圆心为C(0,0),半径为2.对于A选项，若 2w10>2十√1工.两园相离，故B正确：由两圆有公共弦，两 1与国C相切，则m=2,可得m=状十4，故A错误：对 图的方程相减可得公共弦所在直线方程为4x+(6一2m)y十 k十1 m一2=0，故C错误：直线kx一y一2k+1=0过定点(2,1)，而 于B选项，若m一=1，则圈心C到直线l的距离为d= (2-1)+(1-3)=5<11,点(2,1)在圆C内那，∴.直线 ==1,此时1被闲C戴得的孩长为2/2一正=23， kx一y一2k+1=0与圆C始终有两个交点，故D正痛. √R+ 第三讲圆锥曲线的方程与性质 故B正确：对于C选项，若（与国C有公共点，别 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 2,可得m≤2√+1.即-2≤m≤2，故C正痛：对于D选 题组一 项，当k=m十1时，直线1的方程为y=(m十1)x十m,即 1.C解析：设另一焦点为F,利用描回的定义，BA十BF= m(x+1)+一)=0，由中二0可得{即直线 23,|CA+CF=23,使可求得△ABC的周长为4V3. xy=0, 过定点A(-1.-1),又（一1）产+（一1）<4.即点A在圆C 2.D解析：抛物线z=4y的准线方程为y=一1，根据抛物线 内，故直线1与圆C相交，故D正确 定义可知5=m十1，即n=4. 考点三 y 3AB解析：设双曲线的方程为子=1刷(=3， 【高考这样考】 y=-是十成)7一成=-1解析：周+少 7 2a<2c=6,∴.|2m-1<6,且2m-1≠0， 1的图心为00,0)，半径为1，国(r一3)2十(y一4)2=16的圈 一吾<m<号，且m≠号A出满足条件。 心为O(3.4),羊径为4，两四圆心距为、3+4=5.等于两 题组二 圆半径之和，故两圆外切，如图， 1.B解析：由=3.得p=6,且焦点在y抽正半轴上. 故x=12y. 2若-盖1皮号羞1解桥：0=5(=7 .=c2-a2=24 .34 当然点在x釉上时，双曲线方程为茶一兰 当焦点在y轴上时，双曲线方程为 2527-1, 3号+苦-1生10)将折：由超意知但： a-c=1. 当切线为1时，：km=青一=一子.设直线1的方程为 4 3 解得01则=正一2=3 y=- 星r+1(1>0).0到1的距离d= 3 t =1,解得 + 故精圆的标准方程为二 =1,焦点坐标为（士1,0） 3 题组三 = 六直线1的方程为y=一是计 1kC解折：由道意知心十5=0，解得a=2故一号 1 当切线为m时，设直线m的方程为kx十y十p=0,其中p> 2B解桥：由一a,支形得己=2X易p= 0,k0, 又抛物线的准线方程是y=l心…品，解得a=一子 =1. -+ k=一24” 解析：已知椭圆的焦，点在r轴上，故0<m2,根据椭圆 由题意得 3+4+p=4, 解得 .直线m的方程 25 、k+1 p24' 的几行性质得到高心为后一√ 、2业，解得m 3 33艺术生文化课考前100天数学 第二讲 圆的方程 ◆知识清单·精准记忆◆心 【基础梳理】 方法 1.圆的三种方程 位置 代数法：联立两圆 几何法：圆心距d与 (1)圆的标准方程：(x-a)2+(y一b)2=r2. 关系 方程，求方程组解 r1,n的大小关系 的情况 (2)圆的一般方程：x2十y2+Dx+Ey十F=0 外离 d>ntr 无解 (D2+E-4F>0) 外切 d=n+r 组实数解 (3)圆的直径式方程：(x一x1)(x一x2)+(y 相交 In-n<d<n+r 两组不同的实数解 y1)(y一y2)=0,圆的直径的两端点是A(x1, 内切 d=n-rl(r≠r) 一组实数解 0≤d<n-r y),B(x2y). 内含 无解 (rn1≠r2) 2.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的 提醒：两圆相交时公共弦的性质 半径r的大小关系（最重要）. 圆C1:x2+y2+Dx+Ey+F,=0与C: d<r台相交；d=r→相切：d>r→相离. x2+y2十D2x十E2y十F2=0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所 △>0台相交 在直线方程； (2)代数法： 判别式， △=0台相切 △=6-4ac (2)两國國心的连线垂直平分公共弦. △<0台相离 提醒：1.直线与圆相交时的弦长公式 【自主检测】 题组一求圆的方程 设圆的半径为R,圆心到弦的距离为d,则弦 1.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆 长l=2R-dF. 的标准方程为() 2.牢记3个相关结论 A.(x-2)+y2=5 (1)过圆x2十y2=2上一点P(xo,%)的圆的 B.x2+(y-2)2=5 切线方程为x0x十%y=r2. C.(x+2)+(y+2)2=5 (2)过圆(x-a)2+(y-b)=r2上一点P(xo, D.x2+(y+2)2=5 )的圆的切线方程为(x一a)(x一a)十 2.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴 (y%-b)(y-b)=2. 上，直线3.x十4y十4=0与圆C相切，则圆C 的方程为( (3)过圆x2+y=r2外一，点M(xo,y%)作圆的 A.x2+y2-2.x-3=0 两条切线，则两切，点所在直线方程为x。x十 B.x2+y2+4.x=0 %y=r2 C.x2+y2+2.x-3=0 3.圆与圆的位置关系 D.x2+y2-4x=0 设圆O:(x-a1)2十(y-b)2=片(n>0), 题组二直线与圆的位置关系 O2:(x-a2)2+(y-b2)=(r2>0). 1.(2024·北京卷)圆x2+y2-2x+6y=0的圆 76 专题六解析几何 心到直线x一y+2=0的距离为( B.[-1,3] A.2 B.2 C.[-3,1] C.3 D.3√2 D.(-∞，-3]U[1,+oo) 2.已知圆心坐标为(2，一1)的圆在直线x一y 题组三圆与圆的位置关系 1.(2023·山东枣庄模拟)已知圆O的方程为 1=0上截得的弦长为22，那么这个圆的方程 (x-a)2+(y一b)2=4,圆O的方程为x2十 为( ) A.(x-2)+(y+1)2=4 (y-b十1)2=1，其中a,b∈R,那么这两个圆 B.(x-2)2+(y+1)2=2 的位置关系不可能为( C.(x-2)2+(y+1)2=8 A.外离 B.外切 D.(x-2)2+(y+1)2=16 C.内含 D.内切 3.若直线x一y十1=0与圆(x-a)2十y2=2有 2.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0 公共点，则实数a的取值范围是( (a>0)的公共弦长为2、3，则a= A.[-3,-1] 方法清单·把控高考◆心 考点一 求圆的方程 3.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1， 【高考这样考】 1),(2,0)的圆的方程为 (2022·全国甲卷)设点M在直线2x十y 考点二 直线与圆的位置关系 1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M 【高考这样考】 的方程为 w(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l:x一my十 【方法规律】求圆的方程的基本方法是直接法 1=0与⊙C:(:x一1)十y2=4交于A,B两 和待定系数法，即确定圆心和半径，或者设出 点，写出清足“△ABC的面积为的m的一 圆的方程，得出方程中系数的方程组，通过解 个值 方程组确定系数 【方法规律】1，直线与圆相切问题的解题策路 【备考这样练】 直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径 1.(2023·重庆南开中学模拟)已知圆的内接正 垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于 方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别 切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选 是(5,6)，(3，一4)，则这个圆的方程为( 择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题， A.x2+y2+4x-2y+7=0 可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半 B.x2+y2-8.x-2y-9=0 径利用勾股定理计算， C.x2+y2+8.x+2y-6=0 2.求解圆的弦长的3种方法 D.x2+y2-4x+2y-5=0 根据半径、弦心距，半弦长构成的直角三 2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0, 角形，可得三者同的关系广=+号（共 5)在圆C上，且圆心到直线2x一y=0的距离 关系法 为与则圆C的标准方程为 中（为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直 线的距离)，进而求解 77 艺术生文化课考前100天数学 续表 考点三 圆与圆的位置关系 根据公式=√/1十x一求解（其中 【高考这样考】 公式法 1为弦长，，x为直线与圆相交所得两 D(2022·新高考I卷)写出与圆x2+y2=1和 交点的横坐标，k为直线的斜率) (x一3)2+(y一4)2=16都相切的一条直线的 联立直线与圆的方程，解方程组求出两交 方程： 距离法 点坐标，用两点间距离公式求解 【方法规律】(1)判断两圆的位置关系时常用 【备考这样练】 几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆 半径之间的关系，一般不采用代数法， ■考向1直线与圆相切问题 (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方 1.(2023·湖北·高三开学考试)已知圆C: (x一2)2+(y一1)=4，则过原点且与圆C相 程可由两圆的方程作差，消去x2,y2项得到. (3)处理两圆相切问题的两个步骤 切的直线方程为 ①定性：即必须准确把握是内切还是外切，若 2.(多选)(2021·新高考I卷)已知点P在圆 只是已知相切，则必须分两圆内切、外切两种 (x-5)2+(y-5)=16上，点A(4,0),B(0, 情况讨论， 2),则() ②转化：即将两圆相切的问题转化为两圆的 A.点P到直线AB的距离小于10 圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时） B.点P到直线AB的距离大于2 或两圆半径之和（外切时）. C.当∠PBA最小时，|PB引=3√2 【备考这样练】 D.当∠PBA最大时，|PB=3/2 1.(2023·山东济南模拟)若圆x2+(y-2)2=4 ■考向2直线与圆相交问题 与圆x2+2m.x十y2+m2一1=0至少有三条公 1.(2024·全国甲卷文)已知直线a.x十y十2 切线，则m的取值范围是( a=0与圆C:.x2+y2十4y一1=0交于A,B两 A.(-∞，-√5] 点，则|AB的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.6 B.[5,+oo) 2.(2021·北京卷)已知圆C:x2+y=4,直线l: C.[-5,w5] y=kx十m,当k变化时，l截得圆C弦长的最 D.(-∞，-5]U[v5,+o∞) 小值为2，则m=( 2.(多选)(2023·山东潍坊模拟)已知圆C1: A.±2 B.土2 (.x-1)2+(y-3)2=11与圆C2:x2+y2+ C.士3 D.±5 2.x一2my+m2一3=0，则下列说法正确的 3.(多选)(2023·江苏南通模拟)关于直线l: 是( y=x十m与圆C:x2十y=4,下列说法正确 A.若圆C2与x轴相切，则m=2 的是( B.若m=一3，则圆C与圆C2相离 A.若1与圆C相切，则m2一4k为定值 C.若圆C与圆C2有公共弦，则公共弦所在 B.若m2一k=1,则1被圆C截得的弦长为 的直线方程为4x十(6-2m)y十m+2=0 定值 D.直线kx一y一2k+1=0与圆C:始终有两 C.若l与圆C有公共点，则-2≤m≤2 个交点 D.若k=m十1，则l与圆C相交 -78