6.1 直线方程(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

专题六 解析几何 第一讲直线方程 ◆知识清单·精准记忆◆ 【基础梳理】 续表 1.直线方程的五种形式 AB2-A2B1=0. 名称 方程 适用范围 k,=k好 B1C2-B,C1≠0 不含垂直于x轴 平行 且b≠b: AB2-A2B=0, 点斜式 y=5=k(x一x) 或 的直线 AC2-AC1≠0 不含垂直于x轴 斜截式 y=kr+b k,=k2且 A:B:-A2 B=BC2-B2C= 的直线 重合 b =b AC2-A2C1=0 y一出=x一x 不含平行于坐标轴 两点式 一y一无 提醒：(1)两直线平行的条件 的直线 (≠x2,y≠y) 直线：Ax十B:y十C=0与直线l2:Ax十 += 不含垂直于坐标轴 By十C2=0平行的充要条件是AB2一AB=0 截距式 和过原点的直线 且BC一BC1≠0（或A,C2-AC1≠0）. Ax+By+C=0 平面直角坐标系内 (2)两直线垂直的条件 般式 (A+B≠0) 的直线都适用 直线1：A1x十By十C=0与直线l2:Ax十 提醒：(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标 B2y十C2=0垂直的充要条件是A1A2十 值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一 B1B2=0. 个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满 (3)谨防两个易错，点 足题意 ①两条直线平行时，不要忘记它们的斜率可 (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程 能都不存在的情况. 为y=kx十b:当不确定直线的斜率是否存在 ②两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜牵 时，可设直线的方程为x=y十h. 不存在、另一条直线的斜率为零的情况。 2.两条直线的位置关系 3.三种距离 斜截式 般式 三种 条件 公式 Aix+By+C=0 距离 y=kx十hM, (A+B≠0)， 方程 两点间 A(x1,), ABI= y=kzx+b A2x十B2y十C=0 的距离 B(r2.y:) √(-0)+（必二边 (A量十B≠0) 相交 k1≠妇 A1B2-A2B1≠0 P(。)到直线 点到直线 |Axo十Bh十CI Ar+By+C=0 垂直 kk=一1 AA:+BB:=0 的距离 VA+B 的距离为d -73 艺术生文化课考前100天数学 续表 3.经过点(0，一2)，且在两坐标轴上的截距和为 直线Ax+By十 2的直线方程是( 两平行线 C=0到直线 d=IC-Cl 间的距离 Ax+By十C=0 VA+B 的距离为d C.+-1 提醒：(1)求点到直线的距离时，应先化直线 题组二两条直线的位置关系 方程为一般式。 (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化 1已知直线：y=r+2a,l:y=(a-3)r+1 为一般式，且x,y的系数对应相等. 若l∥l2,则a的值为( 【自主检测】 A.4 B.2 C.-2 D.±2 题组一 直线方程 2.已知两条直线2.x+3y-k=0和x-ky十12 1.已知直线的斜率的绝对值等于3，则直线( =0的交点在y轴上，则k的值是( 的倾斜角为( A.-24 B.6 A.60° B.30° C.士6 D.24 C.60°或120 D.30°或150 3.过点(2,1)且与直线x+3y+4=0垂直的直 2.若ac<0,b<0,则直线a.xr+by十c=0的图 线方程为 象只能是( 题组三距离问题 1.(多选)点P在直线3x十y-5=0上，且点P 到直线x一y一1=0的距离为2，则点P的坐 标为( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-1,2) 2.已知过点A(4,a)和B(5,b)的直线和直线y= x十m平行，则|AB1= 3.直线2x+2y十1=0和x十y十2=0之间的距 离是 ◆◆方法清单·把控高考 ◆ 考点一直线方程 【备考这样练】 【方法规律】求解直线方程的两种方法 1.(2023·湖北荆门期末)经过点P(2,一3)，且 倾斜角为45的直线方程为( 根据已知条件，选择适当的直线方程 直接法 A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 形式，直接写出直线方程 C.x-y+5=0 D.x-y-5=0 (1)设所求直线方程的某种形式： 2.(2023·湖北黄冈模拟)过点A(1,2)的直线在 待定系 (2)由条件建立所求参数的方程（组）： 两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程 数法 (3)解这个方程（组）求出参数： 为( (4)把参数的值代入所设直线方程 A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 74 专题六解析几何 C.2x-y=0或x-y+3=0 考点三 对称问题 D.2x-y=0或x-y+1=0 【方法规律】1.中心对称问题的解法 3若直线1的方程y=一名x一6中，ab>0,ac< (1)若点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为 x'=2a-x, 0,则此直线必不经过( P(x',y),则 A.第一象限 y=2b-. B.第二象限 (2)直线关于点的对称问题可转化为点关于 C.第三象限 D.第四象限 点的对称问题来解决， 考点二 两条直线的位置关系 2.轴对称问题的解法 【方法规律】一般地，设两条直线方程为l1:A1x十 (1)若点A(a,b)关于直线A.x十By十C=0 By+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 (B≠0)的对称点为A'(m,n),则 [AiB2-A2B=0,(AB2-A2B=0, (1)l∥L2= 或 BC2-B,C=0AC-AC2≠0： 有 (2)L1⊥l2台A1A2十B1B2=0. A.atm+B.bC=0. 2 2 【备考这样练】 (2)直线关于直线的对称问题可转化为点关 ■考向1两条直线的平行与垂直 于直线的对称问题来解决 1.(2023·湖南常德模拟)已知直线41：a.x一4y 3=0,l2:x-ay+1=0.则“a=2”是“l1∥l2” 【备考这样练】 考向1中心对称问题 的() A.充分不必要条件 1.若直线1：y=k(x一4)与直线l2关于点(2,1) B.必要不充分条件 对称，则直线2过定点() C.充要条件 A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.既不充分也不必要条件 D.(4,-2) 2.(2023·浙江杭州模拟)已知直线1的方程为 2.过点P(0,1)作直线，使它被直线l1:2x十 x十ay-2=0,直线l2的方程为2.x-y十1= y-8=0和l2:x一3y十10=0截得的线段被点 0,若1⊥2，则直线与l2的交点坐标 P平分，则直线L的方程为 为( ■考向2轴对称问题 1.已知点P与点Q(1,-2)关于直线x+y-1= A(-》 B.(0,1) 0对称，则点P的坐标为( C.(2,5) D(是》 A.(3,0) B.(-3,2) C.(-3,0) D.(-1,2) ■考向2两直线位置关系与距离问题 2.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所 1.写出一条与直线x一2y十3=0平行且距离大 在的直线，若点A,B的坐标分别是（一4,2）， 于5的直线方程： (3,1),则点C的坐标为() 2.若P,Q分别为直线3x+4y一12=0与6.x+ A.(-2,4) B.(-2,-4) 8y十5=0上任意一点，则|PQ|的最小值 C.(2,4) D.(2,-4) 为 -75设B公司长途客车准点为事件N,则P(-多器-名 题组三 1.AC 故A公司长途客车准点的概率为导，B公司长途客车准点的 解析：设点P的坐标为(a,5-3a),则d仁a一5-a)-= 2 √2，解得a=1或a=2,点P的坐标为(1,2)或(2，-1). 概率为好 2.2解析：km-合及-6一a=l, (2)列出2×2列联表如下： .AB=/(⑤-4)+(b-a)=√2. 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 3.32 解析：先将2x十2y十1=0化为x十y十号=0，则两平 210 30 240 32 合计 450 50 500 行线问的距离为d √2 4 X=500X20X30-210X202≈3.205>2.706. 260×240×450×50 【方法清单·把控高考】 根据临界值表可知，有90%的把握认为甲，乙两城之间的长途 考点一 客车是否准点与客车所属公司有关 【备考这样练】 1.D解析：倾斜角为45的直线的斜率为tan45°=1，又该直线 2.解：(1)2×2列联表如下： 经过点P(2,一3)，·用点斜式求得直线的方程为y十3 满意 年赖 合计 x-2,即x-y-5=0. 情况 50岁以下 50岁或50岁以上 2.D解析：当直线过原点时，满足题意，直线方程为y=2x,即 满意 95 55 150 21一)0：当直线不过原点时，设直线方程为音+之。-1， -a 不满意 25 25 o 合计 120 80 200 直线过1,2)，心日-吕=10=-1心直孩方程为工 y+1-0.综上，所求直线方程为2x一y=0或x-y+1=0. “:本市5G手机用户对5G网络清意的概率约为8-是 (2)零假设为H,:本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在 3.C解析：由y=一云x-云，ab>0,ac<0,知直线斜率k= 50岁以下无关. 一号<0，在y轴上的栽距为一云>0，心此直线必不经过第 根据列联表中的数据，计算可得 三象限。 X-20090原8》-≈2.78<8.841-五4 120×80×150×50 考点二 【备考这样练】 根据小概率值a=0.05的独立性检验原则，没有充分证据 考向1 推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即认为本市5G手机 1.A解析：若l∥l2,则有一a十4=0，解得a=土2.当a=2 用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关。 时，4：2x-4y-3=0,4:x-2y十1=0，l∥1：当a=-2时， 专题六 解析几何 4:2x+4y+3=0,4:x+2y+1=0,4∥，.若4∥k,a= 第一讲 直线方程 士2，“α=2”是“l1∥2”的充分不必要条件. 【知识清单·精准记忆】 2.B解析：”真线的方程为x十ay一2=0，直线2的方程为 【自主检测】 2x-y十1=0，且4⊥k4,.2-a=0,解得a=2,.直线4的方 题组一 L.C解析：设直线l的倾斛角为a,由题意知|tana=√3，即 为十3y2-由2将释金度4 tana=√3或tana=一√3，.直线l的领斜角为60°或120°. 与2的交点坐标为(0,1). 2.C解析：由ac<0,bc<0,得abc2>0,.ab>0,斜率k= 考向2 1.x一2y十9■0（答案不唯一）解析：设该直线方程为x一2y十 一号<0.又纵藏距一无>0，C项满足题嘉。 6=0,由距离公式可知3-b5,解得K-2成b>8,则该 3.D解析：设直线在x轴上的戴距为a,由题意知，直线在y轴 5 直线可以为x一2y十9=0. 上的裁距为-2，-2+a=2,解得a=4.故直线方程为子 =1 2器 解析：“=音≠写“两直线年行，将直线3z+ 4y-12=0化为6x+8y一24=0.由题意可知|PQ1的最小位 题组二 1.C解析：：4∥l2,.a2一3=1，.a=士2.又：l∥a,两直线 为这两条平行直线间的距离，中器。-器Q的最 √6+8 4与4不能重合，2a≠1，即a≠2，∴a=-2 小值为器 2.C解析：'两条直线2x+3y一k=0和x一ky十12=0的交点 考点三 他物g清去6，可 【备考这样练】 在y轴上，设交点为(0，b),. 考向1 得k=土6. 1.B解析：由题知：直线1过定点(4,0)，则由条件可知，直线2 3.3x-y一5=0解析：与x十3y十4=0垂直的直线可设为 所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线2所过定 3xy十m=0,代入(2,1)得m=-5,.所求直线方程为3x 点为(0,2) y-5=0. 2.x十4y一4=0解析：设1与l的交点为A(a,8一2a),则由题 31 意知，点A关于点P的对称点B(一a,2a一6)在上，代入2 2√26，半径为√26，圆的方程为(x-4)+(y-1)2=26, 的方程，得-a-3(2a一6)十10=0，解得a=4,.A(4,0) 即x2+y2-8x-2y-9=0. :A(4,0)在直线1上，.直线l的方程为x十4y一4=0. 2.(x一2)2十y2=9解析：设哥心C(a,0)(a>0),由题意知 考向2 1.A解析：设点P的坐标为(a,b),则PQ中点的坐标为 2a-5,解得a=2,∴r√2+（一5）=3，故圆C的标 √5 5 (空，)：减P与Q1,-2)关于x+y-1=0对格， 准方程为(x-2)2+y2=9. ÷告. 3.士+2-2x=0解析：方法一：设圆的方程为x2十y2+Dx十 Ey+F=0(D+E-4F>0).圆经过点(0,0)，(1,1)，(2， 空+2-1=0， 得68点P的多标为3.0以， F=0, D=-2, 2 0),∴，2+D+E+F=0,解得{E■0，∴.圆的方程为x+ 2.C解析：设A(一4,2)关于直线y■2x的对称点为(x,y),则 4+2D+F=0, F=0, (y2×2=-1, y2-2x=0. x十4 解得/x=4, 方法二：画出示意图如图所示， 2=2×-4中， 1y=-2, ·直线C的方程为y一 则△OAB为等腰直角三角形，故所求司 (2 2 的圆心为(1,0)，半径为1，，所求圆的 1-号一30，中+y一10=0联立100解得 方程为(x-1)2+y=1,即2+y y=2x, 2x■0. x-2C2,4. 考点二 5y=4, 【高考这样考】 第二讲 圆的方程 2(2,-2,空一2中任意-个皆可）解析：设点C到直线 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 AB的距离为d,由弦长公式得|AB引=2√4一d正， 题组一 1.A解析：国(x十2)2十y=5的圈心为（一2,0），别关于(0,0) 六S6=号×dX2一子=号，解得d=我d=2 对称的司的圈心为(2,0)，半径不变 由d=1+1⊥=2 2.D解析：设图心C的坐标为(a,0),a>0,则d=3a+4=2, √1+m 5 √1+m 5 得a=2,,团C的方程为(x一2)2十y=4,即x十2一4x=0. 25,解得m=土壳或m=士2， 5 题组二 【备考这样练】 1.D解析：化圆的方程为标准方程，得(x一1)十(y十3)2=10， 考向1 .该圆的圆心(1，一3)到直线x一y十2=0的距离为 1.3x十4y=0或x=0解析：圆C的周心坐标为(2,1)，半径r 1-(-3)+2-5-32, 2,当切线的斜率不存在时，：x=0,显然到圆心的距离等于 √/I+(-1)√2 半径，x=0是固的一条切线：当切线【的钟率存在时，设斜 2.A解析：d=2+1二1=2，r=2牛2=2圆的方程为 /1+1 率为，l4y一红，由国心到切线的距离等子率径得2-1 √+I (x-2)+(y+1)2=4 3.C解析：圆(x一a)十y=2的圈心(a,0)到直线x一y十1=0的 2,郎得=一是直战方程为3x十4=0，棕上，所求直战方 距离为d,则dk,一2 latll<2台1la+1≤2=-3a1. 程为3x十4y=0或x=0. √2 2.ACD解析：圆(x-5)2+(y一5)2=16的圆心为M(5,5),半 题组三 1.C解析：由两圆的标准方程可得O(a,b),n=2,O(0,b 径为4，直线AB的方程为号+之=1，脚x十2y一4=0，圆心 2 1),n=1,则100|=√瓜+万≥1=万一n,∴两圈不可能 M到直线AB的距离为5+2X5二4=是=1山5>4， 内含 /+25 5 2.1解析：济两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y= “点P到直线AB的距离的最小值为15-4<2，最大值为 日国心(0,0)到直线的距离为d=日=V公-3- 5 1,a=1. 115+4I0,故A选项正确，B选项错误.知图， 5 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 (x一1)2十(y十1)2=5解析："点M在直线2x十y一1=0上， 设点Ma,l-2a.又点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，点M到 两点的距离相等且为半径R,即√(a-3)+(1一2a了= √a+(-2a)=R,∴.a2-6a+9+4a2-4a+1=5d2,解得 4=1,.M1,-1),R=5,∴.⊙M的方程为(x-1)2+(y+ 1)2=5. 【备考这样练】 当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP,BM,可 1.B解析：由题意知图心(4,1)，黑的查径为√/(5一3》十(6十4) 知PMLPB,|BM|=√(0-5)+(2-5=√34,1MPI= 32