5.3 离散型随机变量的分布列、均值与方差(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第三讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差 ◆知识清单·精准记忆◆心 【基础梳理】 M≤N,≤N,则m=max{0,n-N+M},r 1.离散型随机变量的分布列 min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可 式的形式，那么称随机变量X服从超几何 能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值 分布： x,的概率P(X=x,)=p,i=1,2,…,n为X (3)二项分布的均值与方差 的概率分布列，简称分布列.也可以用表格表 如果X一B(n,p),那么E(X)=np,D(X) 示如下： p(1-p): X 3.离散型随机变量的均值与方差 P (1)离散型随机变量的均值 ①定义：若离散型随机变量X的分布列为 (2)性质：①p≥0，i=1,2,…,: ②p1十p十…十pn=l. 提醒：判断所求离散型随机变量的分布列是 否正确，可用p:≥0，i=1,2,…,n及p1十p2十 则称E(X)=石p十xp十十z色=之xp, …十pn=1检验. 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望 2.常见的离散型随机变量的分布列 简称期望 (1)两点分布 ②意义：均值是随机变量可能取值关于取值 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表 概率的加权平均数，它综合了随机变量的取 示“成功”，A表示“失败”，定义X= 值和取值的概率，反映了随机变量取值的平 1,A发生， 若P(A)=p,则P(A)=1一p,那 均水平 0,A发生， (2)离散型随机变量的方差 么X的分布列如下表所示， ①方差和标准差的定义：设离散型随机变量 0 X的分布列为 称X服从两点分布或0一1分布. (2)超几何分布 我们称D(X)=(x1一E(X))p,十(x2 ①定义：一般地，假设一批产品共有N件，其 中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件 EX)p+…+(x。-E(X)p,=2(x E(X)2p:为随机变量X的方差，有时也记为 (不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次 品数，则X的分布列为P(X=k)=C,C Var(X),并称√D(X)为随机变量X的标准 C 差，记为o(X). k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N°， ②方差和标准差的意义：随机变量的方差和 62 专题五概率与统计 标准差都可以度量随机变量取值与其均值的 2.已知随机变量X的分布列为 偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度， X 0 1 2 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中： 1 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 3 (3)均值与方差的性质 设Y=2X+3,则DY)=( ①E(aX+b)=aE(X)+b: ②D(aX+b)=aD(X. A.S B号 c号 【自主检测】 3.某船队若出海后天气好，可获得5000元：若 题组一离散型随机变量的分布列及其性质 出海后天气坏，将损失2000元：若不出海也 1.某一随机变量X的概率分布列如下表，且 要损失1000元.根据预测知天气好的概率为 0.6,则出海的期望效益是( ) m十2n=1.2,则m 号的值为( ) A.2000元 B.2200元 1 3 C.2400元 D.2600元 0.1 0.1 题组三二项分布与超几何分布 1.袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中 A.-0.2B.0.2 C.0.1 D.-0.1 有10个白球，5个红球，从袋中任取1个球，记 2.随机变量X所有可能取值的集合是{一2,0， 下颜色后放回.若连续取三次，用X表示取出 35,且P(X=-2)=,P(X=3)=2 红球的个数，则E(X)十D(X)=( PX=5)=2·则P(X=0)的值为( A.2 B号 c号 2.从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个 A.0 白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个 题组二离散型随机变量的均值与方差 红球，随机变量X的概率分布列如下： 1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分.已知他命中的概率为0.8，则 罚球一次得分X的均值是( ) A.0.2 B.0.8 C.1 D.0 则1，x2,xa的值分别为 ◆方法清单·把控高考 考点一 离散型随机变量分布列及其性质 某些特定事件的概率. 【高考这样考】 (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否 正确。 【方法规律】离散型随机变量的分布列性质的 【备考这样练】 应用 1.(2023·江苏宿迁模拟)袋中有大小相同的 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的 5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在 取值范围或值， 在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设 (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率 两个球的号码之和为随机变量X,则X所有 等于它取这个范围内各个值的概率之和”求 63 艺术生文化课考前100天数学 可能取值的个数是() 2.(多选)设离散型随机变量X的分布列为 A.5 B.9 C.10 D.25 0 2 3 4 2设随机变量X的分布列为P(X=)=名= P 0.4 0.1 0.2 0.2 1,2,3),则P(X=2)等于( 若离散型随机变量Y满足Y一2X十1，则下列 A号 Bo c 结果正确的是() D. A.q=0.1 3.设随机变量X的分布列为 B.E(X)=2,D(X)=1.4 X 1 2 3 C.E(X)=2.D(X)=1.8 P D.E(Y)=5,DY)=7.2 6 3.(2023·湖北宜都二中高三开学考试)已知离 则P(X-3=1)等于( 散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3， A名 8多 c 且P(X≥1)=号，PX=3)=合若X的数学 考点已 求离散型随机变量的均值与方差 【高考这样考】 期望E(X)=号，则D(4X-3)=( (2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数 A.19 B.16 C. 字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取 二项分布与超几何分布 3张，记所抽取卡片上数字的最小值为X,则 考点三 P(X=2) ,E(X)= 【方法规律】1.二项分布的解题策路 【方法规律】求离散型随机变量X的均值与方 (1)在根据n重伯努利试验求二项分布的有 差的步骤 关问题时，关键是理清事件与事件之间的关 (1)理解X的意义，写出X可能的全部值： 系，确定二项分布的试验次数”和变量的概 (2)求X取每个值的概率； 率，从而求得概率 (3)写出X的分布列： (2)求随机变量：的期望与方差时，可首先分 (4)由均值的定义求E(X): 析是否服从二项分布，如果一B(,p),那 (5)由方差的定义求D(X). 么用公式E()=np,D()=np(1一p)求解， 【备考这样练】 可大大减少计算量 1.(2023·山东济南历城二中模拟)从一批含有 2.关于超几何分布 13件正品，2件次品的产品中不放回地抽 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随 3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为X,则 机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分 E(5X+1)=( 布的特征： A.2 B.1 C.3 D.4 ①考查对象分两类； ②已知各类对象的个数： ③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布. -64 专题五概率与统计 (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类 有乘观光车登顶，本地游客中有行乘观光车 别的小球等概率模型，其实质是古典概型， 登顶，乘观光车登顶的票价为20元.若某天 【备考这样练】 有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这 1.已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验 天的登顶观日出项目的营运票价收入 员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正 品数为X,则E(X)=( 是( A.4800元 B.5600元 A.2 B.1 C.6400元 D.7200元 c号 D.3 4.为了弘扬中华民族敬老爱老的传统美德，切 2.已知随机变量X,刀满足2X十)=9，且X~ 实关爱社区老年人的身体健康，社区卫生服 B(8,p),E(X)=2,则E(),D()分别 务中心联合医院为老年人进行免费体检，并 是() 送上健康的祝福.已知重阳节当天，医院彩超 A.5,3 B.5,6 室接待了80岁以上的老年人5位，70岁到 C.8,3 D.8,6 80岁之间的老年人3位，为了进一步了解各 3.自5月初，岳麓山之巅观日出在网络上走红 年龄阶段老年人的健康情况，现从8人中随 后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看 机抽取3人，则抽取的3人中80岁以上的老 日出，登顶游客中外地游客占三，外地游客中 年人人数的数学期望为 65度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误 2.AB解析：由线性回归方程y=0.8十u可得变量y与x呈正相 (0-10×+0-1×+(2-1)×3=号∴DY) 美，故选项A正确：由表中数据可得z=2牛1十7十0+15十22 D2X+3)=4D0=号 10,y=81+9.4+2+4.4+185+2=14.4,故样本点的 3.B解析：出海的期望效蓝E(X)=5000×0.6+(1一0.6)× (一2000)=3000-800=2200（元）. 中心为(10,14.4)，故选项B正确：将样本，点的中心(10,14.4) 题组三 代入y=0.8x十a,可得14.1=0.8×10+a,解得a=6.4,故选 项C不正确：将x=16代入回归方程，可得y=0.8×16十 1.C解析：由题意，知每次取到红球的机率为子，易得X一 6.4=19.2,故选项D不正确。 B(3,3）BX0=3×言=1.DX)=3×号×号=号， 3.D解折：当r=6时，=-1+lh300=h0=心=30. e B0+DD=喜 考点四 【备考这样练】 2.0.1,0.6,0.3解析：X的可能取值为0,1,2，P(X=0) 1.D解析：a+b=60,c十d=50.a+e=60,h+d=50,ad-bc=40X 8-a1.PX-1)-9=a.6,PX=2-g-a8 C n(ad-c） 30-20×2D=80.n=110.故X=a+b(cD(a+0+d 【方法清单·把控高考】 110×800 考点一 60X50X60X50≈7.822<10,828，故爱好跳绳与性刷无关，这 【备考这样练】 个结论犯错误的概率不超过0.001。 1,B解析：，取球是在有放回条件下进行的，，.每次抽取的球 2.解：(1)填写如下列联表： 号均可能是1,2,3,4,5中某一个，故两次抽取球号码之和X 优级品 非优级品 的可能取值是2,3,4.5,6,7,8,9,10，共9个 甲车间 26 24 2.C解析：由分布列的性质，得1+2+3=1.解得a=3, 乙车间 70 30 P(X=2)=23 21 则完整的2×2列联表如下： 优绒品非优级品 合计 2B解析：根据分车列的性质，得行十m十片十日=1，则m 甲车间26 24 50 子，随机变量X的分布列为 乙车间70 30 100 合计96 5利 2 3 4 150 ×-150X6×30-70×24 96X54×50×100 =4.6875. ,4.6875>3.841,∴可以认为甲，乙两车间产品的优级品率 PX-3=D=PX=4)+PX=2- 存在差异，此排断犯错误的概率不大于0.05： ,4,6875<6.635,.不能认为甲，乙两车间产品的优级品率 考点二 存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【高考这样考】 96=0.64 (2)由题意可知刀= 号解析：从写有教学1,2.2,3,45,6的7张卡片中任 35 取3张有C种取法，其中所袖取的卡片上的数字的最小值为 又p+1.65N =2=0.5+1.65×1 0,5×1-0.d≈ 150 2的取法有(C+CC)种，：P(X=2)-C+CC_16 35 0.5 0.5+1.65×12.27≈0.57， 由已知可得X的取值有1,2,3,4， ∴D>p+1.65V卫，∴能认为生产线智能化升级改造 PX=--P(X=2)=PX=3)-g- PX-4)- 1 后，该工厂产品的优级品率提高了： 第三讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差 【知识清单·精准记忆】 B0-1×+2×+3x毫+4x-号 【自主检测】 【备考这样练】 题组一 1.C解折：X的可能取位为0,1,2P(X=0)-是-器 1.B解析：由离散型随机变量分布列的性质可得m十n十0.2= 1.又m十20=1.2，解得m=月=0.4.故m-号=0.2 PX-)-e-是PX-2)-e-高 2.C解析：：PX=-2)十P(X=0)十P(X=3)十P(X=5)=1. X的分布列为 即+PX=-0+号+z-1.PX=0)= X 题组二 P 1.B解析：，P(X=1)■0.8，P(X=0)=0.2,.E(X)■1× 0.8+0×0.2=0.8. ,E(X)=0X 器+1×号+2×需 5E(5X+1)= 2.A解析：E(X)=0×号+1×号+2X号=1.DX) 5EX3+1=5×2+1=3. 5 27 2.ACD解析：由离散型随机变量X的分布列的性质得g=1一 P(X=1)=P(AA:A)+P(AIA:A)+P(AA:A)= 0.4-0.1-0.2-0.2=0.1,E(X)=0×0.1+1×0.4十2× 0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-22×0.1+(1-2)2× Q.4x0.5X0.5+0.6×a.5X0.5+0.6x0.5x0,5-号， 0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)°×0.2=1.8. P(X-2)=P(AA:A)+P(A AA)+P(AA A)= ,离散型随机变量Y满足Y=2X+1,,E(Y)=2E(X)十1 0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0 7 5,DY)=4D(X)=7.2. 3.A解析：由题知P(X=0)=3,设P(X=1)=,则P(X= P(X-3)-PIAAA).40.5x0.- ,X的分布列为 2-a,图此B0=0×号+1×a+2×(号-a）+3× 2)= X 0 2 3 -解得a= ·因此离最型随机变量X的分布列如下 10 X 0 2 3 50X0=0x品+1×号+2×易+3x品-号 P (3)丙获得冠军的概率估计值最大. 【备考这样练】 别D0=3×(0-)°+号×(1-)+×(2 1.解：(1)X■2就是某局双方10t10平后，两人又打了2个球 广+日×(3-)广=8周此D4X-3》=16D0=1g 该局比赛结束，则这2个球均由甲得分或均由乙得分 故P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5. 考点三 (2)X=4且甲获胜，就是某局双方10：10平后，两人又打了 【备考这样练】 4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、 LA解析：X可能取1,2,3，其对应的概率为PX=1)=CC 乙各得1分，后两球均为甲得分 因此所求概率为 P0x-2--号x-是- C 5E(X)=1X [0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1. 2,解：(1)设部件1,2,3需要调整分别为事件A,B,C, 号+2x号+3×号-2 由题知P(A)=0.1,P(B)=0.2,P(C)=0.3,各部件的状态 相互独立， 2.B解析：由已知E(0=8p=2,得p=}∴DX0=8× ,部件1,2都不需要调整的概率为 PAB)=P(A)P(D)=0.9X0.8=0.72. }×(1-）-又由2X+T9择T-2X+9E列 故部件1,2中至少有1个需要调整的概率为1一PAB)=0.28. -2E(X)+9=-2×2+9=5.D(7)=(-2)yD(X)=4× (2)X可取0,1,2,3， P(X=0)=PABC)=PA)P(B)P(C)=0.9×0.8×0.7 是-6 0.504. 3.C解析：从登顶观日出的人中任选一人，他是乘规完牟登顶的 P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(A BC) 能P一号×十号×时光丰睿运公司这天的 =0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3= 0.398. 顶观日出项日的带适票价微入是120×是×20=60（无元. P(X=3)=P(AB)=0.1×0.2X0.3=0.006. P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=0.092. 4 解析：用随机变量X表示抽取的3人中80岁以上的老年 ,X的分布列为 人人数，则X可能的取值为0.1,2.3，且PX=k)=C,C 0 1 2 3 P 0.504 0.398 0.092 0.006 (k=0,1,2,3), ,随机变量X的分布列为 E(X)=0×0.504+1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6. 考点二 0 3 【高考这样考】 15 30 0 解：(1)方法一（正面计算）：记“随机抽取一份保单，索赔次数 56 56 56 不少于2”为事件A, 00=0x+1+2x器+3x-号 由索赔次数不少于2，知索赔次数为2,3,4， 第四讲概率、离散型随机变量的分布列 PA=000-=1080- 1000 【方法清单·把控高考】 (2)(1)由题知X的所有可能取值为0.4，一0.4，一1.2， 考点一 -2.0.-2.6. 【高考这样考】 则PX-,4=2=0,8. 解：(1)由频率估计概率可得，甲获得优秀的概率为0.4 (2)由条件得，乙获得优秀的概率为0,5，丙获得优秀的概率为 PX=-04=8=-a1 0.5.设甲获得优秀为事件A,乙获得优秀为事件A,丙获得 60 优秀为事件A: PX=-1.2)=1000=0.06, PX=0)=P有石不)=0.6X0.5X0.=易 30 P(X=-2.0)=100=0.03. -28