4.3 球的切、接问题(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

专题四空间向量与立体几何 第三讲 球的切、接问题 ◆◆知识清单·精准记忆◆◆ 【基础梳理】 【自主检测】 1.球的表面积与体积公式 题组一球的表面积、体积公式的简单运用 S=4r2,Ve=等r 1球的体积是，则此球的表面积是( 2.几个与球有关的切、接常用结论 A.12x B.16π (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, n肾 ①若球为正方体的外接球，则2R=/3a: 2.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球， ②若球为正方体的内切球，则2R=a: 这个大球的半径是 ③若球与正方体的各棱相切，则2R=√2a. 3.圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个实 (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a, 心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球， b,c,外接球的半径为R,则2R=va十十2」 (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比 测得容器的水面下降了号m,则这个铁球的 为31 表面积为 cm2. 3.解决与球的切、接问题的思维流程 题组二球的切、接问题 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截 1.表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积 面，将空间几何问题转化为平面几何问题求 为64π的球相切，则这个多面体的体积 解，其解题的思维流程如图。 为( 如果见内切球，那么球心到切点的邶高相 A.3Q B.Q D.2Q 定球心 等且为半径：如果是外接球，那么球心到 c.a 接点的离相等Ⅱ为半径 2.长方体的一个顶点处的三条棱长分别是3， 选淮最住角度作出截面（要使这个藏面尽 √3，√6，这个长方体的八个顶点都在同一个球 作截面 可能多的包含球、几何体的各种元索以及 休现这些元奈问的关系)，达到空间问题 面上，这个球的表面积是( 平面化的日的 A.12x B.18x C.36π D.6元 求半径、 根据作出面中的几何元素，建立关于 3.一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆 下结论 球的半径的方程，并求解 锥的内切球的表面积为( A. C.2π D.3π ◆方法清单·把控高考◆◆ 考点二 “相切”问题 ABCD1中，E,F分别为CD,AB,的中点， 【高考这样考】 则以EF为直径的球面与该正方体每条棱的 (2023·全国甲卷理)在正方体ABCD 交点总数为 45 艺术生文化课考前100天数学 【方法规律】处理与球有关内切问题的策略 (2)当球的内接多面体为共顶点的棱两两垂 解答此类问题时首先要找准切点，通过作载 直的三棱锥、共顶点的三个侧面两两垂直的 面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时 三棱锥或三组对棱互相垂直的三棱锥时，常 主要抓住多面体过球心的对角面来作， 构造长方体或正方体以确定球的直径. 【备考这样练】 【备考这样练】 1.在封闭的直三棱柱ABCA1B,C其内部有一 1.(2023·福建龙岩模拟)在三棱锥ABCD中， 个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC= CD=2√2，BC=AC=BD=AD=2,则此几何 8,AA1=3,则V的最大值是( 体外接球的表面积为( A.4π A.v2r 3 B.2 C.6π D.32x 3 C.82x 3 D.8元 2.已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，其 2.在三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形， 内部有一个球与四个面都相切，则棱锥的内 PA=PB=PC=3,PA⊥PB,则三棱锥 切球的半径为 PABC的外接球的体积为( 3.(全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 1多 B7 考点 “相接”问题 C.27v3π D.27π 【高考这样考】 3.已知直三棱柱ABCA,B,C的6个顶点都在 m(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1， 球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB⊥AC, 上、下底面边长分别为3√3和4√3，其顶点都 AA=12,则球O的半径为( 在同一球面上，则该球的表面积为( A.317 2 B.2、10 A.100元 B.128π C.144元 D.192π c号 D.310 【方法规律】处理与球有关相接问题的策略 4.(2023·全国乙卷文)已知点S,A,B,C均在半 (1)一个多面体的顶点都在球面上即为球的 径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三 外接间题，解决这类问题的关键是抓住外接 角形，SA⊥平面ABC,则SA 球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等 于球的半径 46【备考这样练】 考向1 BDBD即6=，BD=2c=瓜++7，解得a2c 1,C解析：如图，廷长CA到点D,使得AD=AC,连接DA: 对于A,AB=a,AD=b,AB=2AD.故A错误.对于B.过点 BD,则四边形ADAC为平行四边形，∴，∠DAB就是异面直 B作BE⊥AB于点E,易知BE⊥平而ABCD,AB与平 线BA与AC所成的角.又AD=AB=DB,.△ADB为 等边三角形，，∠DAB=60 面AB,GD所成角为∠BAE“am∠BAE=舌- 2 .∠BAE≠30°，故B错误.对于C,AC=+6=5c, CB=+=瓦，AC≠CB,故C错误.对于D,BD与平 面B,CC所成的角为∠DBCm∠DB,C-品-号-号， 而0<∠DBC<90,∴，∠DBC=45,故D正确. 考向3 1.30°解析：如图，连楼AC交BD于点O,连楼C)CD= CB,O为BD的中点，，COLBD.AC⊥BD,,∠COC是 第1题图 第2题图 二面角C1BD-C的平面角.在Rt△CCO中，CC=2,CO 2.D解析：如图，连接BC,PC,PB.AD∥BC,∠PBC (或其补角)为直线PB与AD,所成的角， 4C-厅，则G0-22.m2C0C-S支南图可知 ,BB⊥平而ABCD,,BB PC.文PC⊥BP,BB∩ 二面角G-BD-C为锐二面角，∴.∠COC=30 BP=B,BB,BPC平面PBB,,PC⊥平面PBB ∴PC⊥PB.设正方体的棱长为2，则BC=2V2.PC= 吉D品-E.PC-设-专∠PG-景 考向2 0 L,ABD解析：如图，连接BC,B.,DA∥B,C,,直线BC 与BC所成的角即为直线BC与 D 第1愿图 第2题图 DA,所成的角.四边形BBCC为 2.60°解析：如图，作O⊥平面ABCD,垂足为O.则VO⊥AB. 正方形，.BCLC,故直线C与 取AB的中点H,连接H,OH,则VH⊥AB.:VH∩O=V DA,所成的角为90”，故A正确.连提 .AB⊥平面VHO,.AB⊥OH.∠VHO为二面角VABC的 ACAB⊥平面BB,CC.BCC平 平面角，易求V肝=M2一AH=4,.VH=2.而OH= 面BB CC,·AB⊥，，RC⊥ BCAB∩BC=B,.C⊥平面 号-1∴∠WH0=60,故二面角ABC的大小为60. ABC又ACC平面ABC,.BC⊥CA,故B正确.连接 第三讲 球的切、接问题 AC.设AC∩B,D=O,连接B),BB⊥平面ABCD, 【知识清单·精准记忆】 COC平而ABGD,∴.COLBB.:CO⊥BD,BD∩ 【自主检测】 BB=B,.CO⊥平面BBDD,.∠CBO为直线C与平 题组一 面B那DD所成的角.授正方体的棱长为1，则CO= 21 1B解析：设球的丰径为R,由已知得分一警，解得R=2 C=反.血∠CO-2号直线BC与平面BBDD 故球的表面积S=4πR=16元 所成的角为30°，故C错误.：CC⊥平面ABCD,∴∠CBC为 2五解析：设大球的半径为R,则号R=2×冬xX1,期 直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC■45，故 R=2,∴R=2 D正确. 2.C解析：如图，在正方体ABCD-A,BCD中，AD∥BC, 3.100m解析：设谊铁球的丰径为则由题意得号元×广=× ∴直线BD与直线AD所成的角a=∠D,BC.:BC⊥平面 10×号，则产=，r=5这个铁球的表面积S=π× CDDC1,DC为DB在平面CDDC上的射影，，直线 BD与平面CDDC所成的角B=∠BDC又C⊥平面 5=100x(cm). 题组二 CDD,CC⊥DC∠Dc+∠BD,C-,即a+P 1.C解析：4R-64一R=4.V-3QR=青Q 2,A解析：由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其 长度为2,5，从而球的半径为5，则球的表面积为12元 3C解析：依题意，作出圆雏与球的轴戴 面，如图，设球的半径为r,易知抽截面三 角形边AB上的高为22，因此2区- 3 第2题图 第3题图 3.D解析：如国，不妨设AB=d,AD=6,AA=(,依题意及长 千，解= ,,,圆雏内切球的表面积 方体的结构特征可知，BD与平面ABD所成的角为 ∠BDB,BD与平面AABB所成的角为∠DBA,.sin30°= 为4r×(）'=2元 19 【方法清单·把控高考】 是三校锥外接球的球心，且外接球的半径R=OA=2,,外 考点一 提球的表面积为S=4πR=8元 【高考这样考】 2.B解析：：在三被维PABC中，△ABC为等边三角彩. 12解析：不妨设正方体的棱长为2，EF的中点为O,取AB, PA=PB=PC=3,.△PAB≌△PBC≌△PAC,,PA⊥PB. BB,的中点G,M,侧面BB,CC的中心为N,连接FG,G PA⊥PC,PC⊥PB.如图，以PA.PB.PC为过同一项点的 OM,ON,MN,如图，由题意可知，O为球 三条枚作正方体，则正方体的外接球同时也是三枚维PAB 心，在正方体中，EF=√FG十EG 的外接球.：正方体的体对角线长为√3+3+3=33. /2+2=22,即R=2.则球心O到 BB,的距离为(OM=/ON+MVW “其外接球率径R=3,周北三检维PABC的外接琼的标 2 √1+1=√2，.球O与被BB,相初， 球面与棱BB只有1个交点.同理，报据正方体的对称性知， -专×(）-2 2 其余各枚和球而也只有1个交点，，以E℉为直径的球面与被 正方体每条被的交点总数为12. 【备考这样练】 1.B解析：由AB LBC,AB=6,BC=8,得AC=10,要使球的体 积V最大，则球与直三被柱的部分面相切，若球与三个侧面相 C 切，设底面△ABC的内切国的半径为r,别号×6×8=号× (6十8十10)·，解得r=2,此时2r=4>3,不合题意.因此当 球与三校柱的上，下底面相切时，球的半径R最大，由2R=3, 第2题图 第3题图 得R=是.故球的最大体积V=青=要 3.C解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的 2.2-1解析：如图.过点P作PD⊥平 中点M又AM=BC-号，OM-=之AM:=6球0的年径 面ABC于点D,连接AD并廷长交B 于点E,连接PE△ABC是正三角形， .AE是BC边上的高和中线，D为 4.2解析：如图，将三棱锥SABC转化为直三棱柱SMN △ABC的中心.：AB=2/3,.SNr ABC,设△ABC的外接圈圆心为(O),半径为r,则2r 3w3,DE=1,PE-E.∴S=3×号×23×2+35=36+ AB sin∠ACBE =23,解得r=尽.设三校锥SABC的外接 35.PD-1三棱绿的体积V=号X33×1=3. 1,=2-1. 球球心为0，连接0A.00.则0A=2.00=号5A.04 “号36+35)=3厂2 0A+00,4=3+号s4,解得5A=2 号、解析：国维内半径最大的球即为国 雏的内切球，设其半径为如图，作出圆 雏的轴戴而△PAB,副△PAB的内切圆为 圆锥的内初球的大圈.在△PAB中 PA=PB=3,D为AB的中，点，AB=2,E 为切点，则PD=22,△PEO∽△PDB. 3 2 故其内切啡的体机为号（图）-号。 第四讲空间位置关系的证明与空间角问题 考点二 【知识清单·精准记忆】 【高考这样考】 【自主检测】 A解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径为，， 题组一 1.AB解析：M,N在直线1上，∴M衣=(1,1,3)，数向量(1， sn6o,2r=4 则2=3B n0,即n=3,片=4设球心到上下 1,3).(2.2,6)都是直线1的一个方向向量 底面的距离分别为山，山，球的半径为R,则山=/R一9， 2,D解析：AB=(-1,1,0),AC=(一1,0,1).设平面ABC的 1一-x十y=0, 山=1R-16,故d-山|=1或d十d=1.即|R-9 法向登为n=(红，)，则有{-王十：=0， 取x=一1，别y √R-161=1或R-9+√R-16=1,解得R=25,符合 一1，=一1.故平面ABC的一个法向量是（一1，-1，-1）. 题意，.球的表面积为S=4πR=100元 题组二 【备考这样练】 1.A解析：建立如图所示的空间直角坐标系，别D(0,0,3), 1,D解析：如图，O为CD的中点，根据 B(2,2.0),A(2,0.0).C(0.2,0).∴.B=(-2,-2.3).A0 题意，△BCD和△ACD都是直角三角 /D月 形，且OA=OB=O℃=OD=/2,.0 .:Q （(-2,2,0os(Bd.Ad= ·AC B证11M花=0. 20