4.2 空间中点、直线、平面的位置关系(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

专题四空间向量与立体几何 第二讲 空间中点、直线、平面的位置关系 ◆ 知识清单·精准记忆◆心 【基础梳理】 ③面面垂直的判定定理：l⊥a,lC3→a⊥3. 1.四个基本事实 ④面面垂直的性质定理：a⊥3，a∩3=a,l⊥a, (1)基本事实1：过不在同一条直线上的三点 lC3→l⊥a. 有且只有一个平面， 拓展：平行关系中的三个重要结论 (2)基本事实2：如果一条直线上的两点在一 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 个平面内，那么这条直线在此平面内. a⊥a,a⊥3，则a∥3. (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一 (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若 个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 a∥3,3∥Y,则a∥Y 公共直线， (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 (4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直 a⊥a,b⊥a,则a∥b. 线互相平行. 4.空间角 2.三个推论 (1)异面直线所成的角 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有 定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点 且只有一个平面. O作直线a'∥a,b∥b,把a'与b所成的锐角（直 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 角)叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. 平面， 范围：0，引 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个 (2)直线与平面所成的角 平面， 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影 3.八大定理 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成 (1)与平行相关的定理 的角.若一条直线垂直于平面，则它们所成的 ①线面平行的判定定理 角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面 aa,bCa,a∥b→a∥a. 内，则它们所成的角是0的角， ②线面平行的性质定理 a∥a,aC3,a∩3=b→a∥b. 范周：[0，引 ③面面平行的判定定理 (2)二面角的有关概念 aCB,bC3.anb=P,a∥a,b∥a→3∥a. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组 ④面面平行的性质定理 成的图形叫做二面角， a∥B,any=a,8ny=b→a∥b. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点， (2)与垂直有关的定理 以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直 ①线面垂直的判定定理 于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫 l⊥a,l⊥b,a∩b=O,aCa,bCa→l⊥a. 做二面角的平面角. ②线面垂直的性质定理：a⊥a,b⊥a→a∥b. 范围：[0，π] 艺术生文化课考前100天数学 【自主检测】 题组二空间角 题组一空间位置关系 1.如图，在直三棱柱ABCA1B,C,中，∠ABC= 1.(2024·天津卷)若m,n为两条不同的直线，a 90°，AB=BC=1,则异面直线BC,与AC所 为一个平面，则下列结论中正确的是( ) 成角的大小为( A.若m∥a,n∥a,则m⊥n B.若m∥a,n∥a,则m∥n C.若m∥a,n⊥a,则m⊥n D.若m∥a,n⊥a,则m与n相交 2.设a,3y为三个不同的平面，m,n是两条不同的 直线，在命题“若x∩3=m,nCy,且 A.45 B.60° 则m∥”中的横线处填入下列三组条件中的 C.30 D.90 组，使该命题为真命题， 2.AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C ①a∥y,nC3:②m∥y,n∥3：③n∥3，mCY. 是圆上一点（不同于A,B)且PA=AC,则二 可以填人的条件有( 面角PBCA的大小为( A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3.(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)已知g,3 是空间中两个不同的平面，m,n是空间中两 条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的 A.60° B.30° 是() C.45° D.15 A.若m⊥a,n⊥a,则m∥n 3.在长方体ABCD-A1BCD中，AB=2, B.若m∥a,m∥3，则a∥3 C.若a⊥3，m∥3，则m⊥a BC=AA1=1,则BD,与平面AB,CD1所 成角的大小为 D.若a∥3，m⊥a,则m⊥3 ◆方法清单·把控高考 考点一 空间位置关系的判断 C.①②③ D.①③④ 【高考这样考】 【方法规律】判新与空间位置关系有关的命题 可(2024·全国甲卷文)设a,B为两个不同的平 真假的方法 面，m,n为两条不同的直线，且a∩3=m,下述 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、 四个命题： 面面垂直的判定定理和性质定理进行判断. ①若m∥n,则na或n∥3： (2)借助反证法，当从正面入手较难时，可利 ②若m⊥，则n⊥a或n⊥3： 用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾 ③若n∥a,且n∥B,则m∥： 的命题，进而作出判新 ④若n与a,3所成的角相等，则m⊥n. (3)借助空间几何模型，如从长方体模型、四 其中所有真命题的序号是 面体模型等模型中观察线面位置关系，结合 A.①③ B.②④ 有关定理，进行肯定或否定 -42 专题四空间向量与立体几何 【备考这样练】 2.已知平面a,3满足a⊥3，a∩3=l,过平面a和 ■考向1线线、线面、面面的平行 B外的一点P作直线m⊥，则“m∥a”是“m⊥ 1.如图，点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱 3”的( 上，且是所在棱的中点，则下列图中直线PQ A.充分不必要条件 与RS平行的是 (填序号). B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点巴 空间角 【高考这样考】 (2023·全国乙卷理)已知△ABC为等腰直角 三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形 若二面角CABD为150°，则直线CD与平面 ABC所成角的正切值为( 2.如图是正方体的平面展开图， A B号 c n号 【方法规律】(1)求解异面直线所成角有两种 方法：平移法、向量法，应用时应注意异面直 线所成角的范围。 (2)用向量法求解斜线与平面所成角的问题， 在这个正方体中，①BM∥平面DE:②CN∥ 关键是确定斜线的一个方向向量a和平面的 平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面 一个法向量b,再通过计算线面角的向量公式 BDE∥平面NCF. 以上四个命题中，正确命题的序号是 如9=msab1=8治0是斜线与平百 ■考向2线线、线面、面面的垂直 所成的角)求解，要特别注意a和b的夹角与 1.(2023·河北石家庄模拟)如图，PA垂直于矩 线面角的关系。 形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂 (3)利用向量法求二面角的大小时，应注意二 直的平面是( 面角的大小与两法向量夹角大小的关系，它 们之间可能相等，也可能互补，故应在分清关 系的情况下求解，避免出现错误. (4)计算二面角的关键是作出二面角的平面 角，方法较为灵活，可以通过“割”或“补”找二 A.平面ABCD 面角的平面角.对于无棱二面角，可以先找出 B.平面PBC 棱或借助于向量法求解，也可以利用射影面 C.平面PAD D.平面PAB 积公式cos0=三求解. S -43 艺术生文化课考前100天数学 【备考这样练】 A牙 B晋 ■考向1异面直线所成的角 1.在直三棱柱ABCA1BC,中，若∠BAC c D. 90°，AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC 3.(2022·全国甲卷)在长方体ABCD-A,B,CD 所成的角等于( 中，已知BD与平面ABCD和平面AA,B,B A.30 B.45 所成的角均为30°，则() C.60° D.90 A.AB=2AD 2.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A:BCD B.AB与平面AB1C1D所成的角为30 中，P为BD的中点，则直线PB与AD1所 C.AC=CB 成的角为( D.B1D与平面BB,CC所成的角为45 A号 B晋 ■考向3二面角 1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若 c n若 AB=AD=23,CC=2,则二面角 ■考向2直线与平面所成的角 C-BDC的大小为 1.(多选)(2022·新高考I卷)已知正方体 ABCD-A1B,CD,则() A.直线BC1与DA1所成的角为90° B.直线BC1与CA:所成的角为90 C.直线BC与平面BB,DD所成的角为45 2.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长 D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45 为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长 2.(2022·山东滨州二模)在正方体ABCD 为5的等腰三角形，则二面角VABC的大 A,BCD,中，设直线BD与直线AD所成的 小为 角为a,直线BD1与平面CDDC1所成的角 为3，则a十B=( -448票中方-%解得0E=m且()）'=是-是>品 所成的角.在Rt△BDB中 BB 1 2 tan∠BD,B=BD 则 3 Q,谷，即>06，故以AG为轴可能对称放夏底面直径为1 ∠BDB.=30°. 【方法清单·把控高考】 2m的圆柱，若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上，下底 考点一 面均相切，设圈柱的底面圆心O,与正方体的下底面的切点为 【高考这样考】 M,可知AG10M.0M-0.6m,对m∠CAG-怎 A 解析：a∩3=m,则mCa,mC3对于①，若m∥n,则n∥a 或n∥3，①正确：对于②，若m⊥，则可能n∥a或n与a相交 器即方一器解得0-06反m长据对称进可如因 或n二a,②错误：对于③，若n∥a,且n∥3，则n∥m,③正确： 柱的高为/5-2×0.6,2≈1.732-1.2×1.414≈0.035(m). 对于④，n与m所成的角可以为0，受]内的任意角，④错送. 0.0350.01,,能够祓整体放入正方体内，故D正确， 故达A 【备考这样练】 【备考这样练】 1.B解折：司拉的侧面积为2x×号×2.5=20x(m):国锥的母 考向1 1.①②解析：根据正方体的结构特征，可得①D②中RS与PQ 线长为、3+（受了 8 =6,侧面积为x×2×5=20x(m) 均是平行直线，①中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是 并西直线。 .建造孩毡帐常要毛毡20x十20x=40r(m) 2.①②③①解析：如图，以ABCD为下底面还原正方体， 2.C解析：如图，依题意可知枚台的 H 高为MV=157.5一148.5=9(m), ∴.增加的水量即为棱台的体积V, 棱台上底面积S=140.0km2= 140X10m,下底面积S= 180.0km=180x10mV=34(S+S+/Ss)=3× 则易判定四个命题都是正确的， 9×(140×10+180×10+/140×180×10F)=3×(320+ 考向2 607)×10≈(96+18×2.65)×10=1.437×10≈1.4× 1.C解析：PA⊥平面ABCD.,.PA⊥CD.四边形ABCD 10(m3）. 为矩形，.CD⊥AD,.CD⊥平而PAD,.平面PCD⊥平 3.118,8解析：由题知挖去的四棱维的底面是一个菱形，对角 面PAD. 线类分别为6m和4m,故Veu=言×号×4X6X3 2.C解析：当m∥a时，过m作平面Y∩a=n,则m∥n,结合a⊥ 月，得n上3.从而m上3：当m⊥3时，在a内作克线n⊥(，结合 12(cm).又V*作=6×6×4=144(cm),.模型的体积为 a⊥3，得程⊥3.，.m∥又m丈a,Ca,∴.ma(图略). V#一V的m“a=144一12=132(cm),.制作该模型所需 考点二 原料的质量为132×0.9=118.8(g). 【高考这样考】 第二讲空间中点、直线、平面的位置关系 C解析：如图，取AB的中点E,连接CE,DE.:△ABC是等 【知识清单·精淮记忆】 腰直角三角形，且AB为斜边，，.CE⊥AB.又△ABD是等边 【自主检测】 三角形，.DE LAB,,.∠CED为二面角CABD的平面角， 题组一 即∠CED=150.°CENDE=E.CE 1,C解析：对于A,B.若m∥a,n∥c,别m与n可能平行、相交 DEC平面CDE..AB⊥平面CDE 或异面，放A,B错误：对于C,D,若m∥a,⊥a,别m⊥n,且m 义ABC平面ABC,.平面CDE⊥平 与程可能相交，也可能异而，故C正确，D错误 面ABC,,平面CDE∩平面ABC 4 2.C解析：由面面平行的性质定理可知，故①正确：当n∥3m二 CE,直线CDC平而CDE,.直线CD Y时，n和m在同一平面内，且没有公共点，m∥n,故③正确. 在平面ABC内的射影为直线CE 3.AD解析：垂直于问一个平面的两条直线相互平行，故A正 ,∠DCE为直线CD与平面ABC所 确：当m∥a,m∥B时，平面a与平面3不一定平行，故B错误 成的角.令AB=2,则CE=1,DE=5.在△CDE中，由余弦 由a3,m∥a得m可能在平面a内，故C错误：两平而平行， 定理得CD=√/CE+DE一2CE·DEeosa∠CED 其中一个平而的垂线一定垂直于另外一个平面，故D正确 题组二 √+⑤)-2×1×两×(-）=7，由正孩定理得 1.A解析：，BC∥B,C·∠ACB为异面直线B,C与AC所 成角（或它的补角）.，∠ABC=90°，AB=BC=1,∴.∠ACB= DE Sn∠万—。pm∠E—万2厉·证然 CD 45..异而直线BC与AC所成角为45. 2.C解析：，PAL平而ABC,.PA BC易得BC⊥AC ∠DE是能角，·.cos∠DCE=/一in∠DCE= ∴.BC⊥平而PAC,∴.BC⊥PC,∴.∠PCA为二面角PBCA 的平而角.在Rt△PAC中，PA=AC,.∠PCA=45°. √一()一2直线D与丰西x所底角的正切 3.30°解析：如图，连接BD,则BD是BD在平面 ABCD上的射影，则∠BDB是BD与平面ABCD 值为 18 【备考这样练】 考向1 BDBD即6=，BD=2c=瓜++7，解得a2c 1,C解析：如图，廷长CA到点D,使得AD=AC,连接DA: 对于A,AB=a,AD=b,AB=2AD.故A错误.对于B.过点 BD,则四边形ADAC为平行四边形，∴，∠DAB就是异面直 B作BE⊥AB于点E,易知BE⊥平而ABCD,AB与平 线BA与AC所成的角.又AD=AB=DB,.△ADB为 等边三角形，，∠DAB=60 面AB,GD所成角为∠BAE“am∠BAE=舌- 2 .∠BAE≠30°，故B错误.对于C,AC=+6=5c, CB=+=瓦，AC≠CB,故C错误.对于D,BD与平 面B,CC所成的角为∠DBCm∠DB,C-品-号-号， 而0<∠DBC<90,∴，∠DBC=45,故D正确. 考向3 1.30°解析：如图，连楼AC交BD于点O,连楼C)CD= CB,O为BD的中点，，COLBD.AC⊥BD,,∠COC是 第1题图 第2题图 二面角C1BD-C的平面角.在Rt△CCO中，CC=2,CO 2.D解析：如图，连接BC,PC,PB.AD∥BC,∠PBC (或其补角)为直线PB与AD,所成的角， 4C-厅，则G0-22.m2C0C-S支南图可知 ,BB⊥平而ABCD,,BB PC.文PC⊥BP,BB∩ 二面角G-BD-C为锐二面角，∴.∠COC=30 BP=B,BB,BPC平面PBB,,PC⊥平面PBB ∴PC⊥PB.设正方体的棱长为2，则BC=2V2.PC= 吉D品-E.PC-设-专∠PG-景 考向2 0 L,ABD解析：如图，连接BC,B.,DA∥B,C,,直线BC 与BC所成的角即为直线BC与 D 第1愿图 第2题图 DA,所成的角.四边形BBCC为 2.60°解析：如图，作O⊥平面ABCD,垂足为O.则VO⊥AB. 正方形，.BCLC,故直线C与 取AB的中点H,连接H,OH,则VH⊥AB.:VH∩O=V DA,所成的角为90”，故A正确.连提 .AB⊥平面VHO,.AB⊥OH.∠VHO为二面角VABC的 ACAB⊥平面BB,CC.BCC平 平面角，易求V肝=M2一AH=4,.VH=2.而OH= 面BB CC,·AB⊥，，RC⊥ BCAB∩BC=B,.C⊥平面 号-1∴∠WH0=60,故二面角ABC的大小为60. ABC又ACC平面ABC,.BC⊥CA,故B正确.连接 第三讲 球的切、接问题 AC.设AC∩B,D=O,连接B),BB⊥平面ABCD, 【知识清单·精准记忆】 COC平而ABGD,∴.COLBB.:CO⊥BD,BD∩ 【自主检测】 BB=B,.CO⊥平面BBDD,.∠CBO为直线C与平 题组一 面B那DD所成的角.授正方体的棱长为1，则CO= 21 1B解析：设球的丰径为R,由已知得分一警，解得R=2 C=反.血∠CO-2号直线BC与平面BBDD 故球的表面积S=4πR=16元 所成的角为30°，故C错误.：CC⊥平面ABCD,∴∠CBC为 2五解析：设大球的半径为R,则号R=2×冬xX1,期 直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC■45，故 R=2,∴R=2 D正确. 2.C解析：如图，在正方体ABCD-A,BCD中，AD∥BC, 3.100m解析：设谊铁球的丰径为则由题意得号元×广=× ∴直线BD与直线AD所成的角a=∠D,BC.:BC⊥平面 10×号，则产=，r=5这个铁球的表面积S=π× CDDC1,DC为DB在平面CDDC上的射影，，直线 BD与平面CDDC所成的角B=∠BDC又C⊥平面 5=100x(cm). 题组二 CDD,CC⊥DC∠Dc+∠BD,C-,即a+P 1.C解析：4R-64一R=4.V-3QR=青Q 2,A解析：由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其 长度为2,5，从而球的半径为5，则球的表面积为12元 3C解析：依题意，作出圆雏与球的轴戴 面，如图，设球的半径为r,易知抽截面三 角形边AB上的高为22，因此2区- 3 第2题图 第3题图 3.D解析：如国，不妨设AB=d,AD=6,AA=(,依题意及长 千，解= ,,,圆雏内切球的表面积 方体的结构特征可知，BD与平面ABD所成的角为 ∠BDB,BD与平面AABB所成的角为∠DBA,.sin30°= 为4r×(）'=2元 19