4.1 空间图形的表面积与体积(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

专题四空间向量与立体几何 第一讲 空间图形的表面积与体积 ◆◆知识清单·精准记忆◆◆ 【基础梳理】 【自主检测】 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 题组一空间几何体的表面积、侧面积 圆柱 圆锥 圆台 1.圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长 为6，则其表面积为( 侧面 2下 A72 B.42π 1 展开图 C.67x D.72x 2.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧 侧面积 S柱到 S饰倒 S台侧一 面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积为( ) 公式 =2xrl =xrl π(r1十r2)l A.12 B.48 C.64 D.72 提醒：几何体的表面积和侧面积的注意点 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O, (1)几何体的侧面积是（各个）侧面面积之和， 过直线OO2的平面截该圆柱所得的截面是 而表面积是侧面积与所有底面面积之和 面积为8的正方形，则该圆柱的表面积 (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 为( 2.柱、锥、台的表面积和体积 A.12N2π B.12π 几何体 表面积 体积 C.8v2π D.10π 柱体（棱柱 S表置和=S十2SE V=Sh 4.已知四面体ABCD的各面均为等边三角形，且 和圆柱) 棱长为2，则该四面体的表面积为 题组二空间几何体的体积 锥体（棱锥 S表面积=Sw十Sg V=- 1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π， 和圆锥) 那么该圆柱的体积为( A. B.2π 台体（棱台 S表面假=Sg十S上十 V-3S+5 C.4x D.8π 和圆台) St +√StSr)h 2.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则 该棱台的体积是( 提醒：求几何体的体积时，要注意利用分割、 A.18+62 B.6+2√2 补形与等体积法。 C.24 D.18 一37 艺术生文化课考前100天数学 3.若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的 体积是 4.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点 的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩 下的几何体的体积的比为 ◆◆方法清单·把控高考◆。 考点一 空间几何体的表面积和侧面积 边长为2，下底面边长为4，高为3，则其表面 【高考这样考】 积为() 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O2, A.36 B.12√10+20 过直线OO2的平面截该圆柱所得的截面是 C.12W13+20 D.48 面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 ■考向2旋转体的表面积 () 1.(2022·山东菏泽二模)陀螺是我国民间常见 A.12√2π B.12x 的娱乐健身工具，如图所示是一个陀螺的立 C.82π D.10元 体结构图.已知底面圆的直径AB=16cm,圆 【方法规律】空间几何体表面积的求解方法 柱体部分的高BC=8cm,圆锥体部分的高 (1)求多面体的表面积时，把各个面的面积相 CD=6cm,则这个陀螺的表面积是() 加即可 (2)求简单旋转体的表面积时，代入公式直接 求解 (3)求组合体的表面积时，注意重合部分的 处理 【备考这样练】 -'D ■考向1多面体的表面积 A.192 cm2 B.252πcm2 1.(2023·江苏南通模拟)如图，正四棱锥S C.272πcm D.336πcm ABCD的侧棱长为1，若底面周长为4，则这 2.(2022·河北衡水二模)已知某圆台的高为 个棱锥的侧面积为( √7，上底面半径为2，下底面半径为2√2，则 其侧面展开图的面积为() A.9π B.62π C.9√2x D.8√2x 考点三 空间几何体的体积 A.5 B.5 C,3+1 【高考这样考】 2 D.√3+1 (2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱 2.(2023·江苏徐州模拟)已知正四棱台上底面 锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底 38 专题四空间向量与立体几何 面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的 均为1，且A1A⊥底面ABC,则三棱锥 体积为 B,-ABC1的体积为( ) 【方法规律】空间几何体体积的求解方法 (1)求规则几何体的体积：公式法 (2)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方 法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何 体的某一面上 (3)求不规则几何体的体积：常用分割或补形 A号 B③ 4 的思想，将不规则几何体转化为规则几何体 以易于求解。 c D.6 【备考这样练】 ■考向3割补法求几何体体积 ■考向1公式法求几何体体积 1.(2023·全国甲卷文)在三棱锥P-ABC中， 1.(2024·新高考I卷)已知圆柱和圆锥的底面 △ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2, 半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3， PC=√6，则该棱锥的体积为( 则圆锥的体积为( A.1 B.5 A.2√3π B.3√3π C.2 D.3 C.63π D.9√3x 2.(2024·天津卷)一个五面体ABC-DEF如图 2.(2023·山东潍坊模拟)以边长为2的正方 所示.已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距 形的一边所在直线为轴旋转一周，所得到的 离为1，AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体 几何体的体积为( ) 的体积为( A.2 B.8π c n 3.(2023·全国乙卷理)已知圆锥PO的底面半 径为3，O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母 A.③ 线，∠AOB=120°.若△PAB的面积等于 6 B3+号 9y3,则该圆锥的体积为( ) D331 4 42 A.x B.√6π 3.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所 C.3π D.3√6π 4.(2024·全国甲卷文)已知圆台甲、乙的上底 截，剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b, 那么圆柱被截后剩下部分的体积是 面半径均为，下底面半径均为r2,圆台的母 线长分别为2(r2一n),3(r2一r1),则圆台甲 与乙的体积之比为 一考向2等积转化法求几何体体积 如图，已知三棱柱ABCA:BC1的所有棱长 -39 艺术生文化课考前100天数学 4.(2023·山东临沂模拟)如图，在多面体 2.(2022·新高考I卷)南水北调工程缓解了北 ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1 方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水 的正方形，且△ADE,△BCF均为正三角形， 蓄入某水库.当该水库水位为海拔148.5m EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积 时，相应水面的面积为140.0km;当该水库 为 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看 作一个棱台，则当该水库水位从海拔148.5m上 升到157.5m时，增加的水量约为（√7≈ 2.65)() 考点三 空间几何体表面积、体积的实际应用 A.1.0×10°m 【高考这样考】 B.1.2×10m 甲（多选）(2023·新高考I卷)下列物体中，能 C.1.4×10°m 够被整体放入棱长为1（单位：m)的正方体容 D.1.6×10m 器（容器壁厚度忽略不计）内的有() 3.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模 A.直径为0.99m的球 型.如图，该模型为长方体ABCD-ABCD,挖 B.所有棱长均为1.4m的四面体 去四棱锥O-EFGH后所得的几何体.其中O为 C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱 长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中 D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱 点，AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所 【方法规律】解决空间几何体表面积、体积实 用原料密度为0.9g/cm3,不考虑打印损耗， 际应用问题的关键是抽象出立体图形，并能 制作该模型所需原料的质量为 g D 准确运用公式求解 【备考这样练】 1.毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部为 木架结构，外部由毛毡围拢，建造和搬迁都很 方便，适合牧业和游牧生活.如图，某毡帐可 视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高 为3m,圆柱的高为2.5m,底面直径为8m, 则建造该毡帐需要的毛毡面积为( A.36πm B.40πm2 C.46πm D.50πm2 40则△ABC不存在，'.条件①不符合要求，故不选择条件①. 若选②，由题知simB-V个一c0sB_35, con B-sin B 2 14 sin B 又品品B即2 b b ,.b=3. 1-(1-2) 2sin 2 cos 2 又C=x-(A十B),,'.sinC=sin(A+B)=sin AcosB十 cos Asin B=5×l3-1×33_53 2×142×1414 0<B<0<号<0<m号 se-咖c-号x7x8x0-15 4 若选@，由题知e…停-9c=5 。的取值范围是（一合，1）小 由d2=∥+2-2 becos A得，49=8+25+56，即(b+8)(b-3) 专题四 空间向量与立体几何 =0, 解得b-3(负值舍去). 第一讲空间图形的表面积与体积 e=smA=×3X5×号-152 【知识清单·精准记忆】 2 4 【自主检测】 考点三 题组一 【高考这样考】 1.C解析：S.-x(3十4十3×6十4×6)■67x sin 2B 2sin Bcos B sin B 解：(1DmA=1+c0s2B2c0B0s, 2.D解析：该六校柱的6个侧而是全等的矩形，则S=6X (3×4)=72. ..sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cos C= 3.B解析：设圆柱的轴裁面的边长为x,则由x2=8,得x 合而0<B<受B=吾 22,Su=2S+SW=2Xx×(W2)2+2rXW2×22=12元 (2)由1)知smB=-cosC>0,∴受<C<,0<B<登 4.4,3解析：：四面体ABCD的各面均为等边三角形，且校长 nB=-msC-im(C-受）∴C-受+BA=变-2B, 为2S6m=号×2X2×-B该回面体的表西积S sin A+sin'B cos 2B+1-cos B 4S△m=43. cos B 题组二 (2cos B-1)+1-cos B-4cos'B+2 1,B解析：设圆柱的底面半径为，则圆柱的母线长为2r,由题 cos'B cos B-5 意，得Sxg=2r×2r=4π2=4开，.r=1,∴.V国银=π72× ≥2v8-5-42-5. 2r=2m2=2元 当且仅当B=号时，取等号，抄的最小值 2B解析：V=吉(S+SS+S)h=号×2+V2X+4)× c2 为4V2-5. 3=6+22. 【备考这样练】 312x解析：由已知可得国维的高人=4，Vu=弓xXX 1.解：(1)由bsin A=4(sin Acos C.+cos Asin C) 4=12m. =4sin(A十C)=4sinB,得bsin A=4sinB. 4.1:47解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截 由正弦定现，得ab=4b,解得a=4. 2h市·衣-号，得msA-号 出棱维的体款V=号×号×名aXbX合c=病k,制 由余弦定理，得c,+16-是，则8+-25 48ac=4 下的几何体的体和V:=c一 48abc,V Va 2bc 25=8+C2≥2bc,.(b+c)2=8+2+2bc=25+2b≤50， =147. 【方法清单·把控高考】 b≤5（当且仅当=-号时，取等号）， 考点一 【高考这样考】 ∴△ABC周长的最大值为4十5√2. B解析：过直线OO的平面戴该圆柱所得的戴面为圈柱的 2,解：)bsin-ainB, 轴裁面，设底面半径为r,母线长为L,”轴栽面是面积为8的 2 正方形，.2r==22,r=2,.圆柱的表面积为2rl+2x2 =sin Asin B. =8π+4r=12x Be0,snB≠0，as分=2sn含ms分 【备考这样练】 考向1 A∈0,0s0∴-= 1.B解析：正四枚锥的侧校长为1，底面周长为4，这个棱 锥的侧面积是四个边长为1的等边三角形的面积之和，'，这 0<<登含-吾A- 个棱锥的侧面积5=4×（是×1×m60'）一3. (2)由正弦定理，得一_血A-血C_动骨一sm(-B) 2.B解析：如图，设正四枚台上、下底面的中心为O,O,CD为 sin B sin B 侧面上的钟高，过点C作CE⊥OD交边OD于点E,,OO 16 =3,0C=1,OD=2,∴.CD=√9+I= 0 积，三被娘ABBC的高为号，底面积为子，故其体积为 √/0，正四棱台的上、下底面的面积为S =2”十42=20，正四棱台的侧面积为S 吉×号×号-得 2告×V而X4=12而，则共表面教为 考向3 S=5+S=20+12/10. 1.A解析：如图，取AB的中点E,连接PE,CE 考向2 ,△ABC是边长为2的等边三角形， PA=PB=2,,PE⊥AB,CE⊥AB. 1.C解析：由题意可得圆维体的母线长为1=√6+8=10， 又PE,CEC平面PEC,PEOCE=E, ,.圆维体的侧面积为10X8x=80π，回柱体的侧面积为16xX AB⊥平面PEC 8=128x,圆柱的底面积为πX8=64π，，此陀螺的表面积为 80π+128x+64π=272x(cm). 又PE=CE=2x号-5，C=6, 2.C解析：由题意易知母线长为√(7)+(2√2一√2)=3，且 ∴，PC=PE十CE,即PE⊥CE, 上底面司周长为2√2π，下底面圆周长为4√2π，易知展开图为 V生aaAe=VsE十VE=号SAe·AB=子× 司环的一部分，圆环所在的小国半径为3，别大间丰径为6， 面积S=}×6X4vEx-号×3X22x=9E元 合×5×w5×2=1. 考点二 2C解析：制补法：AD,BE,CF两两平行，且两两之间的距 【高考这样考】 离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个 1 底面为梯形的四校锥，其中三棱柱的体积等于校长均为1的 28解折：方法一中国，“号-合而我去的正回被维的高 为3，原正四棱锥的高为6，.原正 直三榄桂的体积，回校维的高为号底面是上底为1、下底为 四棱银的体积为号×(4×4)×6 2高为1的梯形，故该五面体的体积V=是×1×号×1十 32,藏去的正四被维的体积为号× 号×号×号-9t选C 2 (2×2)×3=4,,.枚台的体积为32 3.心g十D解析：两个同样的该几何体能耕接成一个高为 4=28. 2 方法二：枝台的体积为号×3×(16+4+6X④)=28， a十的图柱，则拼接成的圆柱的体积V=π(a十b),.所求几 【备考这样练】 何体的体积为矿(a十 2 考向1 1,B解析：设圆柱和圆维的底面半径均为r,:它们的高均为 4号 解析：如图，分别过点A,B作EF的 √3，且侧面积相等，∴.2rX3=r√(3)2+，得2=9， 垂线，垂是分别为G,H,连接DG,CH, 国维的体教V-宁×厅-3元故选B 马求得BG=HF=号，AG=GD=BH 2.B解析：以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周 HC-号，则△BHC中BC边上的高k-号5m=Sm 所得几何体是以2为底面图半径，高为2的圆柱.由圆柱的体 积公式得V=πX2X2=8π，∴.所得到的几何体的体积为8π 3.B解析：在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√3，如 图，取AB的中点C,连接OC,PC,割 4 OC⊥AB,PC⊥AB,∠ABO=30°， 考点三 0C-复.AB=2BC=&由△PAB的 【高考这样考】 ABD解析：对于选项A,,0.99<1,即球的直径小于正方体 西积为9 9,得×3×PC=99,解 的棱长，，能够被整体放入正方体内，故A正确：对于选项B, ”正方体的面对角线长为√2m,且2>1.4，∴能够被整体放 得PC=9P0=VC-0C- C √（婴）-（慢）-6，国维的体板v= P0-3xX(5)'xW6=6元 M E 1解折：两圆台的上，下底面积对应相等，则两圆台的体积 入正方体内，故B正确：对于选项C,正方体的体对角线长 为3m,且V3<1.8,,.不能够被整体放入正方体内，故C错 之比为高之比，根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之 误；对于途项D, 比为An-n-正区_6 ,1.2>1,.底面正方形不能包含圆柱的底而圈，如图，过 √9(n-n)-(n-n了⑧4 AC,的中点O作OE⊥AC,设OEnAC--E,可知AC=√2m, 考向2 A解析：三棱维B,-ABC:的体积等于三棱维AB1BC的体 CG=1m,AG=5m,OA=号m,则m∠CAG-是 一17 8器即2-解样0E-9且（停）'=是-是>号 所成的角.在Rt△BD,B中， tan∠BDB= BB 1 BD = 3 0,6,中>0,6，故以AG为轴可能对标技夏底面直径为1 ∠BD1B=30° 【方法清单·把控高考】 2m的圈柱，若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上、下底 考点一 面均相切，设圆柱的底面圆心O,与正方体的下底而的切点为 【高考这样考】 M,可知AG10M,0aM=06m,对∠CAC-忍 A解析：a∩B-m,则mCa,mCB,对于①，若m∥n,则n∥a 或n∥B,①正确：对于②，若m⊥，则可能n∥a戏n与a相交 器方一器解得A0-Q6反m根据对林进可知园 或nCa,②错误：对于③，若n∥a,且n∥3，则n∥m,③正确： 柱的高为3-2×0.6V2≈1.732-1.2×1.414≈0.035(m), 对于④，n与m所成的角可以为[0，受]内的任意角，④错误 0.035>0.01,,能够被整体放入正方体内，故D正确 数选A 【备考这样练】 【备考这样练】 1.B解析：司柱的侧面积为2x×号×2.5-20x(m):国维的母 考向1 1,①②解析：根据正方体的结构特征，可得①②中RS与PQ 战长为V3+(受了 =5,侧面积为x×号×5=20m(m). 均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是 异面直线 ∴.建造该毡帐需要毛毡20x十20x=40π(m) 2.①②③④解析：如图，以ABCD为下底面还原正方体， 2.C解析：如图，依题意可知棱台的 H 高为MN=157.5-148.5=9(m), ∴，增加的水量即为棱台的体积V. 棱台上底面积S=140.0km日 140X10m2,下底面积S= 180.0km=180X10m,v=3(S+s+V5s)=号× 则易判定四个命题都是正确的 9×(140×10°+180×10+/140×180×10)=3×(320+ 考向2 60√7)×10°≈(96+18×2.65)×10=1.437×10≈1.4× 1,C解析：，PA⊥平面ABCD,.PA⊥CD.,四边形ABCD 102(m3). 为矩形，.CD⊥AD,CD⊥平面PAD,.平面PCD⊥平 3.118.8解析：由题知挖去的四校锥的底面是一个菱形，对角 面PAD. 线长分别为6am和4m,故Vea=子×号X4X6X3= 2.C解析：当m∥a时，过m作平面Y∩a=n,则m∥n,结合a 月得nL,从而m⊥：当m⊥B时，在a内作直线n⊥，结合 12(cm).又V*保=6×6×4=144(cm),.模型的体积为 a⊥B,得n⊥3，∴m∥见.又na,Ca,.m∥a(图略)， V*体一V效竹a陵，=144-12=132(cm),制作该模型所需 考点二 原料的质量为132×0.9=118.8(g). 【高考这样考】 第二讲空间中点、直线、平面的位置关系 C解析：如图，取AB的中点E,连楼CE,DE.,'△ABC是等 【知识清单·精准记忆】 腰直角三角形，且AB为斜边，，CE⊥AB.又△ABD是等边 【自主检测】 三角形，.DE⊥AB,,∠CED为二面角CABD的平面角， 题组一 即∠CED-150.°CENDE-E,CE, 1,C解析：对于A,B,若m∥a,n∥a,则m与n可能平行、相交 DEC平面CDE,∴.AB⊥平面CDE 或异面，故A,B错误：对于C,D,若m∥a,n⊥a,则m⊥n,且m 又ABC平面ABC,,.平面CDE⊥平 与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误 面ABC.'平面CDE∩平面ABC= 2.C解析：由面面平行的性质定理可知，故①正确：当n∥B,□ CE,直线CDC平面CDE,∴，直线CD y时，n和m在同一平面内，且没有公共点，∴m∥n,故③正确. 在平面ABC内的射影为直线CE, 3.AD解析：垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故A正 ∴.∠DCE为直线CD与平面ABC所 确；当m∥a,m∥B时，平面a与平面B不一定平行，故B错误： 成的角.令AB=2,则CE=1,DE■√3.在△CDE中，由余弦 由a⊥3，m∥月得m可能在平面a内，故C错误：两平面平行， 定理得CD=√CE+DE一2CE·DEcos.∠CED 其中一个平面的垂线一定垂直于另外一个平面，故D正确 题组二 √1+W3)-2X1×3×(-）=厅，由正孩定理得 1,A解析：BC∥BC,∴∠ACB为并面直线BC与AC所 成角（或它的补角.，∠ABC=90°，AB=BC=1,,∠ACB= DE i玉=D即n∠DCE=方吧=2%，显然】 CD 45,异面直线BC与AC所成角为45. √7 2.C解析：：PA⊥平面ABC,∴.PA⊥BC.易得BC⊥AC, ∠DCE是锐角，∴cos∠DCE=√1一sin∠DCE= .BC⊥平面PAC,.BC⊥PC,'.∠PCA为二面角P-BCA 的平面角.在Rt△PAC中，PA=AC,.∠PCA=45 3.30°解析：如图，连接BD,则BD是BD,在平面 ABCD1上的射影，则∠BDB是BD与平面A1BCD 值为号 一18