3.4 解三角形(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第四讲 解三角形 ◆◆方法清单·把控高考◆心 考点一利用正，余弦定理进行边角计算 【备考这样练】 【高考这样考】 1.(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B, m(2023·新高考I卷)已知在△ABC中，A+ C的对边分别为a,b,c,已知sinA+√3cosA B=3C,2sin(A-C)=sin B. =2. (1)求sinA; (1)求A: (2)设AB=5,求AB边上的高 (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC的 周长 2.(2024·天津卷)在△ABC中，内角A,B,C所 对的边分别是a,b,c已知cosB=66=5, 【方法规律】应用正、余弦定理解题的技巧 8-景 (1)求边：利用公式a=sinA,b=asin B, (1)求a的值； sin B sin A,c= (2)求sinA的值； 需或共他相应变形公式泉解。 (3)求cos(B-2A)的值， (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sin A=asin B 3,sin B=bsin A,sin C=csin A b a a 或其他相应变形公式求解. (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦 定理求解。 (4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2十 b2一c2=λab形式时用余弦定理，等式两边是 关于边或角的正弦的齐次式时用正弦定理， 34- 专题三三角函数与解三角形 考点二 与三角形面积有关的问题 2.(2024·北京卷)在△ABC中，内角A,B,C的 【高考这样考】 对边分别为a,b,c,A为钝角，a=7,sin2B= (2024·新高考I卷)记△ABC的内角A,B, cos B. C的对边分别为a,b,c,已知sinC=√2cosB, (1)求A; a2+b-c2=√2ab. (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件 (1)求B; 中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求 (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. △ABC的面积 条件①：b=7:条件@：osB=是条件③： csin A=5/3 2 【方法规律】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S=2 bsin C-2 csin B= esin A,一极是已知哪-一个角就使用含该 考点三 解三角形中的最值、范围问题 【高考这样考】 角的公式. (2022·新高考I卷)记△ABC的内角A,B,C (2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理 的对边分别为abc,已知A sin 2B 或余弦定理进行边和角的互化 【备考这样练】 1若C-,求B, 1.(2023·全国乙卷理)在△ABC中，已知 ∠BAC=120°，AB=2,AC=1. (2)求少的最小值 (1)求sin∠ABC; (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求 △ADC的面积 -35 艺术生文化课考前100天数学 【方法规律】求解与三角形有关的最值或范围 2.(2022·山东枣庄一模)在△ABC中，内角A, 问题的方法 B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin B+C- 2 利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关 的最值、范围问题，一殼构造关于某一角或某 asin B.求： 一边的函数或不等式，再利用函数的单调性 (1)A的大小： 或基本不等式等来处理.破解此类题的关键 (2)6的取值范围。 点如下： 根据题意或几何图形厘清三角形中的边、 定基 角的关系，利用正、余弦定理求出相关的 本量 边、角或边角关系，并选择相关的边、角作 为基本变量，确定基本变量的变化范围 将待求范围的变量，根据正、余弦定理或 构建 三角恒等变换转化为基本变量的函数关 函数 系式 求最 利用基本不等式或函数的单调性、有界性 值、 等求最值、范围 范围 【备考这样练】 1.(2023·山东菏泽模拟)在△ABC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,cA店·A心=号， bsin A=4(sin Acos C++cos Asin C). (1)求a的长度： (2)求△ABC周长的最大值. —36CB sin16.5②， 由余弦定理得a2+2-8=2 accos B, cD-CB男得血09t02-曲3g 即音+-25=2x号c…e…品， 9 sin(0+16.5) sin16.5: 利用计算器即可得≈7.8. 得号2-25=，得c=6 第四讲解三角形 【方法清单·把控高考】 故a=号c=4 考点… (②)osB-品mB=V-coB=57 9 16 【高考这样考】 解：A+B=3C,一C=3C,即C=平 由正孩定理得品入品脚入立得血A-只 4 2sin(A-C)=sin B=sin(A+C), 16 ..2sin Acos C-2c0s Asin C=sin Acos C-+cos Asin C, (3)'a<b,A<B,cos A>0, .sin Acos C=3cos Asin C, 由如A-牙，得mA-是， ÷simA=3cosA,即tnA=3,0<A<受， sinA=3=310 则ms2A=2amA-1=日，h2A=2 in AcosA=3. 8 /1010 osB-2A=mBas2A+如Bm2A-是×g+语× 1 (2)由(1)知，cosA= 9-品 8 '.sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cs Asin C 210 考点二 【高考这样考】 细）)-5 解：1)由余弦定理得c0sC=士2- 2ab 2 5X smB,可得AC- 由正孩定理品一 5=210, 又0<C<,C-年， EmsB-aC-号msB=子又0B长B=导 ∴2AB·h=2AB·AC·smA (2)由(1)得A=一B-C-要， 12 :h=AC.血A=2V/0x3-6. 10 由正弦定理品A一C·得方 2c. 【备考这样练】 4 2 1解：D方法一：由血A+3c0sA=2,得2s血A+ 20sA= △ABC的面积S= aB-1e×-3h, 1sin(A+5)）=l. 得c=22. 0<AK语<A+肾<智 【备考这样练】 1.解：(1)由余弦定理得BC=AB十AC-2AB·ACCo8∠BAC A+晋-受，故A=香 =2+1-2×2×1×cos120°=7，∴BC=/7, ms∠ABC-BC+AF-ACW7+2-上-5 (2)由V2 bsin C=csin2B,得2 bsin C=2 csin Beos B,由正弦定 2BC·AB 2×W7×2 14 理，得Ec=2absB,∴omB-号， ia乙ABc-个-mZAC-V厂票-悟。 0<B<,B=年 (2)由三角形面积公式可得@ 吉XABXADX血O =4, C=X一A+B)=径， 1 xACXADXsin30° 2 “smC=n登=s如（停+）=如吾os吾+os吾： ==吉×（侵×2X1x120）- 血-×+号×号62 4 2.解：(D由题知，2snB·c0sB-号6csB 又A为钝角，∴B为锐角， 由正孩定理ABC得6aB422, sin A 晋 故cosB≠0.2smB=停a c=asin C2sin12=/6+万】 又4=6 有snBs动sin A'sinA-是 sin A 又A为纯角，A-受 △ABC的周长为a+b+c=2+W6+3v2. (2若选①，结合1得2血B=号×7，血B-号，B=受， 2解：0D由2-号得a=号0 2 A十B=π， -15 则△ABC不存在，'.条件①不符合要求，故不选择条件①. 若选②，由题知simB-V个一c0sB_35, con B-sin B 2 14 sin B 又品品B即2 b b ,.b=3. 1-(1-2) 2sin 2 cos 2 又C=x-(A十B),,'.sinC=sin(A+B)=sin AcosB十 cos Asin B=5×l3-1×33_53 2×142×1414 0<B<0<号<0<m号 se-咖c-号x7x8x0-15 4 若选@，由题知e…停-9c=5 。的取值范围是（一合，1）小 由d2=∥+2-2 becos A得，49=8+25+56，即(b+8)(b-3) 专题四 空间向量与立体几何 =0, 解得b-3(负值舍去). 第一讲空间图形的表面积与体积 e=smA=×3X5×号-152 【知识清单·精准记忆】 2 4 【自主检测】 考点三 题组一 【高考这样考】 1.C解析：S.-x(3十4十3×6十4×6)■67x sin 2B 2sin Bcos B sin B 解：(1DmA=1+c0s2B2c0B0s, 2.D解析：该六校柱的6个侧而是全等的矩形，则S=6X (3×4)=72. ..sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cos C= 3.B解析：设圆柱的轴裁面的边长为x,则由x2=8,得x 合而0<B<受B=吾 22,Su=2S+SW=2Xx×(W2)2+2rXW2×22=12元 (2)由1)知smB=-cosC>0,∴受<C<,0<B<登 4.4,3解析：：四面体ABCD的各面均为等边三角形，且校长 nB=-msC-im(C-受）∴C-受+BA=变-2B, 为2S6m=号×2X2×-B该回面体的表西积S sin A+sin'B cos 2B+1-cos B 4S△m=43. cos B 题组二 (2cos B-1)+1-cos B-4cos'B+2 1,B解析：设圆柱的底面半径为，则圆柱的母线长为2r,由题 cos'B cos B-5 意，得Sxg=2r×2r=4π2=4开，.r=1,∴.V国银=π72× ≥2v8-5-42-5. 2r=2m2=2元 当且仅当B=号时，取等号，抄的最小值 2B解析：V=吉(S+SS+S)h=号×2+V2X+4)× c2 为4V2-5. 3=6+22. 【备考这样练】 312x解析：由已知可得国维的高人=4，Vu=弓xXX 1.解：(1)由bsin A=4(sin Acos C.+cos Asin C) 4=12m. =4sin(A十C)=4sinB,得bsin A=4sinB. 4.1:47解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截 由正弦定现，得ab=4b,解得a=4. 2h市·衣-号，得msA-号 出棱维的体款V=号×号×名aXbX合c=病k,制 由余弦定理，得c,+16-是，则8+-25 48ac=4 下的几何体的体和V:=c一 48abc,V Va 2bc 25=8+C2≥2bc,.(b+c)2=8+2+2bc=25+2b≤50， =147. 【方法清单·把控高考】 b≤5（当且仅当=-号时，取等号）， 考点一 【高考这样考】 ∴△ABC周长的最大值为4十5√2. B解析：过直线OO的平面戴该圆柱所得的戴面为圈柱的 2,解：)bsin-ainB, 轴裁面，设底面半径为r,母线长为L,”轴栽面是面积为8的 2 正方形，.2r==22,r=2,.圆柱的表面积为2rl+2x2 =sin Asin B. =8π+4r=12x Be0,snB≠0，as分=2sn含ms分 【备考这样练】 考向1 A∈0,0s0∴-= 1.B解析：正四枚锥的侧校长为1，底面周长为4，这个棱 锥的侧面积是四个边长为1的等边三角形的面积之和，'，这 0<<登含-吾A- 个棱锥的侧面积5=4×（是×1×m60'）一3. (2)由正弦定理，得一_血A-血C_动骨一sm(-B) 2.B解析：如图，设正四枚台上、下底面的中心为O,O,CD为 sin B sin B 侧面上的钟高，过点C作CE⊥OD交边OD于点E,,OO 16