精品解析：安徽省太和中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

太和中学高二年级上学期期末教学质量检测卷 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册（约40%），选择性必修第一册、选择性必修第二册（约60%）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 4. 某部门为了了解一批树苗的生长情况，在4000棵树苗中随机抽取400棵，统计这400棵树苗的高度（单位：），将所得数据分成7组：，，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图，那么根据该图可推测，在这4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约是（　　） A. 1680 B. 1760 C. 1840 D. 1920 5. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 8. 在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段的中垂线方程为 B. 直线的方程为 C. D. 若点是圆上的一点，则的最大值是 10. 已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. C. 若，则或 D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________． 12. 现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时________分钟． 13. 已知为抛物线的焦点， 为上在第一象限内的两点，且满足，，线段的中点的纵坐标为6，则的方程为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 15. 在中，内角的对边分别为的面积为，且． （1）证明：； （2）若，求． 16. 如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点（2，1），直线与交于，两点. （1）求的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率. 18. 对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数． （1）写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； （2）设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和中学高二年级上学期期末教学质量检测卷 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册（约40%），选择性必修第一册、选择性必修第二册（约60%）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则即可求出结果. 【详解】因为，所以虚部为 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 3. 若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点斜率公式即可求解. 【详解】设是直线上任意一点，则平移后得点，于是直线的斜率. 故选：A. 4. 某部门为了了解一批树苗的生长情况，在4000棵树苗中随机抽取400棵，统计这400棵树苗的高度（单位：），将所得数据分成7组：，，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图，那么根据该图可推测，在这4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约是（　　） A. 1680 B. 1760 C. 1840 D. 1920 【答案】B 【解析】 【分析】求出树苗中高度小于的频率，然后根据频数=样本容量×频率可求出结果. 【详解】由频率分布直方图可得，小于的树苗的频率， 所以可推测，4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约为． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线过定点，圆的最大半径即为，计算可得半径最大的圆的标准方程. 【详解】直线，变形可得， 所以该动直线过定点， 则以点为圆心且与直线相切的所有圆中， 圆心到定点的距离为最大半径，所以半径的最大值为， 则半径最大的圆的标准方程为. 故选:D. 6. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由，得． 故选：B 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平均数，再根据方差公式即可得解. 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为： ． 故选：D． 8. 在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将平面沿翻折，使其与平面共面，结合牛吃草理论以及解三角形知识即可列式求解. 【详解】如图， 显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小． 将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示， 由于，则，则， 得，同理，而， 显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值， 此时． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段的中垂线方程为 B. 直线的方程为 C. D. 若点是圆上的一点，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心和半径；根据圆的对称性求得直线记为线段的中垂线，可知A正确；两圆方程作差可知B正确；利用垂径定理可求得C错误；根据圆的性质可求得圆上点到中点距离的最大值，由此可得D正确. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径为；圆心，半径为； 对于A，由圆的对称性可知：直线是线段的中垂线， ，直线的中垂线方程为：，即，A正确； 对于B，两圆方程作差可得直线方程为：，B正确； 对于C，到直线的距离， ，C错误； 对于D，记为中点，则， ，，D正确. 故选：ABD. 10. 已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. C. 若，则或 D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点、准线方程，将直线的方程与抛物线方程联立，由判别式判断A；利用抛物线的定义结合几何图形推理判断B；利用韦达定理求出判断C；利用斜率坐标公式、结合韦达定理求解判断D. 【详解】抛物线C：的焦点，准线，点，直线， 对于A，由消去得：，依题意，， 解得且，因此k的取值范围为，A正确； 对于B，过作准线的垂线，垂足分别为，则， 因此，即，B正确； 对于C，由，得，设， 则，而，联立解得，C错误； 对于D，直线的斜率，直线的斜率， ， 令点M关于x轴的对称点为，则直线的斜率， 而直线与直线有公共点，因此点在直线上，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：作出几何图形，利用平行线分线段成比例，结合抛物线定义是判断选项B的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的计算公式得到答案. 【详解】向量， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为： ．. 故答案为： 12. 现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时________分钟． 【答案】37 【解析】 【分析】利用台体的体积公式，结合题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，由此得解. 【详解】设正四棱台的高为，所以， 即，解得． 因为，，所以截面（图中阴影部分）是边长为6的正方形， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 甲容器内水的体积为， 设注水的速度为，则，解得． 当乙容器中水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 水的体积为， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时为分钟． 故答案为：37. 13. 已知为抛物线的焦点， 为上在第一象限内的两点，且满足，，线段的中点的纵坐标为6，则的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设的方程为，，，直线与抛物线联立后得到，根据焦半径公式得到，进而得到，再由弦长公式求解出，再由线段的中点的纵坐标为6，求出的值，即可求得的方程. 【详解】 由题意可设的方程为，，， 将代入，得， 所以，且， 由抛物线定义及，得，即， 所以，即， 又， 所以，解得， 又，即，所以的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）设出等比数列的公比，结合已知列出方程组，即可求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 设数列的公比为，则，解得，则， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 由，得，解得， 所以满足的正整数的值为10． 15. 在中，内角的对边分别为的面积为，且． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1） 因为的面积，又． 所以， 又．所以．所以． 所以，又，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式化简可得，解之即可求解； （2）由（1）并根据余弦定理可得，再次利用余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为．所以， 所以．所以， 所以． 16. 如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取上的点，使， 则， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取上的点，使，可得，则由线线平行可证线面平行； （2）取中点，连，根据题意可证，平面，所以以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连，因为，所以， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设为平面的法向量， 则，可取， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点（2，1），直线与交于，两点. （1）求的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上过的点及离心率列出方程组，求出椭圆方程； （2）设，，利用点差法可求直线直线的斜率，进而可求直线的方程； （3）设直线，利用根与系数的关系求得点的坐标，求得，利用已知得，求解即可. 【小问1详解】 由题意知， 解得，，， 所以的方程为. 【小问2详解】 设，， 又线段的中点为，所以，即， 又，是上的点，所以， 所以，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 由题意左焦点，直线的斜率不为0，设直线， 由得，所以， ，，. 设的中点为，则， 点在轴上，且，，则垂直平分，且， 所以的中垂线方程为，令，得， 所以， 又， 所以， 解得，所以直线的斜率是. 18. 对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数． （1）写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； （2）设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，； （3）求证：． 【答案】（1）; （2） 由（1）可知，， ， 所以函数在处的阶泰勒展开式为： ， 其中，介于与之间的常数， 所以， 因为为常数项，且， 所以函数为偶函数， 因为， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以， 故对任意的，. （3） 由（2）可知，函数在处的阶泰勒展开式为 ， 所以， 令，则， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）根据函数在处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果； （2）根据泰勒公式的定义，计算函数在处的阶泰勒展开式余项，介于与之间的常数，再通过导数判断单调性即可； （3）计算函数在处的阶泰勒展开式为,并得，令，则，再利用累加法即可证明. 【小问1详解】 由题意，函数，且， 则， ， ， 所以函数在处的阶泰勒展开式为： . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $