江苏省南京市2024-2025学年八年级下学期开学适应性模拟考数学练习卷

江苏省南京市2024-2025学年八年级下学期开学适应性模拟考数学练习卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）北京冬奥会圆满落下帷幕，中国交出“满分”答卷，得到世界高度赞扬．组成本次会徽的四个图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则ab的值为（　　） A． B． C．﹣5 D．5 3．（3分）下列说法正确的是（　　） A．近似数0.81与0.810的精确度相同 B．近似数1.3×105精确到十分位 C．数2.9951精确到百分位为3.00 D．小明的体重为51kg中的数是准确数 4．（3分）若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A．a≥2023 B．a≤2020 C．a＝2020或a＝2023 D．2020≤a≤2023 5．（3分）若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　） A．80°，20° B．50°，50° C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90° 6．（3分）若式子有意义，则关于x的一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣1的图象可能是（　　） A．B．C．D． 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 8．（3分）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）在实数中，无理数是 　 　． 10．（3分）若m的算术平方根是2，则m的值为 　 　． 11．（3分）如果等腰三角形的两条边长分别为4cm、8cm，那么这个三角形的周长为 　 　cm． 12．（3分）若点P（m﹣1，m+3）在x轴上，则点P的坐标是 　 　． 13．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，正方形一的顶点坐标分别为A（1，3），B（1，1），C（3，1），D（3，3）．直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣2，0），则　 　；若直线y＝kx+b在绕点P旋转的过程中，同时与AB边、CD边有公共点，则b的取值范围是 　 　． 14．（3分）图中两直线l1与l2的交点P的坐标可以看成是方程组　 　的解． 15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD＝2DC，如果DC＝3，那么BD的长为 　 　． 16．（3分）如图①，在长方形ABCD中，动点P从点A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A的方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，三角形PAB面积为y，如果y与x之间的关系图象如图②所示，则长方形ABCD的面积为 　 　． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17．（3分）计算：． 18．（8分）解方程： （1）2（x﹣1）2＝18； （2）（6﹣x）2＝128； （3）2（x﹣1）2﹣16＝0； （4）2+（x﹣1）2＝18． 19．（6分）求下列各式中的x． （1）（x﹣1）2﹣8＝1． （2）27+（1﹣2x）3＝0． 20．（7分）在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在线段BC上，且AE＝CF，连接EF． （1）如图，已知线段AB，请补全图形，画出符合题意的图形． （2）求证：BE＝BF． （3）若∠EAC＝30°，则∠CFE是多少度？ 21．（8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A（﹣4，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）求△ABC的面积； （3）在x轴上是否存在一点P，使PA+PB的和最短？如果存在，请求出此时PA+PB的值；如果不存在，请说明理由． 22．（8分）已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2． （1）求y关于x的函数表达式； （2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由． 23．（8分）如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，过C作直线m∥AB．请你用尺规在直线m上找一点P，使得∠BPC∠BAC．（保留作图痕迹，不写作法） 24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝10，BC＝6，AC＝AD＝8． （1）求∠ACB的度数； （2）求CD的长． 25．（8分）文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案： ①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款． 某班学生需购买8个书包和若干个文具盒（不少于8个），设购买文具盒个数为x（个），付款总金额为y（元）． （1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式； （2）请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱？ 26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形W和直线l．如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线l的距离小于或等于k，则称图形W与直线l“k关联”． （1）已知线段AB，其中点A（1，0），点B（3，0）； ①已知直线l：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴所夹的锐角为 　 　，点A到直线l的距离为 　 　；点B到直线l的距离为 　 　； ②若线段AB与直线l：y＝﹣x﹣1“k关联”，则k的值不能是 　 　． A.3 B. C. D.1 ③已知直线y＝﹣x+b．若线段AB与该直线“关联”，求b的取值范围； （2）如图2，已知边长为2的等边△PMN的顶点P（a，0）在x轴上运动，且MN⊥x轴，若该等边三角形与直线yx+1“2关联”，求点P横坐标a的取值范围． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）北京冬奥会圆满落下帷幕，中国交出“满分”答卷，得到世界高度赞扬．组成本次会徽的四个图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3分）已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则ab的值为（　　） A． B． C．﹣5 D．5 【考点】关于原点对称的点的坐标． 【专题】平面直角坐标系；数感． 【答案】B 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，再利用负整数指数幂的性质得出答案． 【解答】解：∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称， ∴a＝﹣5，b＝﹣1， 则ab＝（﹣5）﹣1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 3．（3分）下列说法正确的是（　　） A．近似数0.81与0.810的精确度相同 B．近似数1.3×105精确到十分位 C．数2.9951精确到百分位为3.00 D．小明的体重为51kg中的数是准确数 【考点】科学记数法与有效数字． 【专题】实数；数感． 【答案】C 【分析】根据近似数和有效数字的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：A．近似数0.81与0.810的精确度不同，0.81精确到百分位，0.810精确到千分位，故本选项不合题意； B．近似数1.3×105精确到万位，故本选项不合题意； C．数2.9951精确到百分位为3.00，故本选项符合题意； D．小明的体重为51kg中的数是近似数，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字． 4．（3分）若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A．a≥2023 B．a≤2020 C．a＝2020或a＝2023 D．2020≤a≤2023 【考点】二次根式的性质与化简． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质分类讨论即可． 【解答】解：当a≤2020时， 原式＝2020﹣a+2023﹣a ＝4043﹣2a， 当2020≤a≤2023时， 原式＝a﹣2020+2023﹣a ＝3， 当a≥2023时， 原式＝a﹣2020+a﹣2023 ＝2a﹣4043． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的基本性质：|a|，关键是讨论a的取值范围． 5．（3分）若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　） A．80°，20° B．50°，50° C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90° 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理． 【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；几何直观． 【答案】C 【分析】80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况分别进行计算即可． 【解答】解：①当80°的角是顶角时，则两个底角为50°、50°； ②当80°的角是底角时，则顶角为20°． 故它的其余两个角的度数为50°、50°或80°、20°． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况进行讨论，不要漏解而致错． 6．（3分）若式子有意义，则关于x的一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象；零指数幂． 【专题】二次根式；一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】C 【分析】根据式子有意义，可以得到m的取值范围，从而可以判断出1﹣m和m﹣1的正负情况，然后根据一次函数的性质即可得到一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣1的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题． 【解答】解：∵式子有意义， ∴， 解得m＞1， ∴1﹣m＜0，m﹣1＞0， ∴一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的图象、二次根式有意义的条件，零指数幂，解答本题的关键是求出m的取值范围，利用一次函数的性质解答． 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】B 【分析】设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，求出∠BAD＝∠B＝5x°，根据直角三角形的性质得出∠CAB+∠B＝90°，求出x，再求出∠B和∠BAD，根据三角形的外角性质求出答案即可． 【解答】解：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°， ∵AB的垂直平分线是DE， ∴BD＝AD， ∴∠BAD＝∠B， 即∠B＝5x°， ∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∴2x+5x+5x＝90， 解得：x， 即∠B＝∠BAD＝（）°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（）°+（）°＝75°， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键． 8．（3分）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识． 【答案】B 【分析】①由乙比甲晚出发30min及当x＝50时y第一次为0，可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确； ②观察函数图象，可得出当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600，进而可得出结论②正确； ③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min，利用路程＝速度×时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的之，将其代入86中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，进而可得出结论③错误； ④利用路程＝速度×时间，即可求出A，B两地之间的距离是11200m． 【解答】解：①∵乙比甲晚出发30min，且当x＝50时，y＝0， ∴乙出发50﹣30＝20（min）时，两人第一次相遇， 即甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600， ∴甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m，结论②正确； ③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min， 根据题意得：， 解得：， ∴868698， ∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，结论③错误； ④∵200×（86﹣30）＝11200（m）， ∴A，B两地之间的距离是11200m，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，逐一分析各结论的正误是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）在实数中，无理数是 　，　． 【考点】无理数；算术平方根． 【专题】实数；数感． 【答案】，． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：是分数，属于有理数； ﹣8，，是整数，属于有理数； 无理数有，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 10．（3分）若m的算术平方根是2，则m的值为 　4　． 【考点】算术平方根． 【专题】实数；运算能力． 【答案】4． 【分析】由m的算术平方根是2，根据算术平方根的定义求解即可求得答案． 【解答】解：∵m的算术平方根是2，且22＝4， ∴m＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．注意算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 11．（3分）如果等腰三角形的两条边长分别为4cm、8cm，那么这个三角形的周长为 　20　cm． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】20． 【分析】分4cm为腰长及8cm为腰长两种情况，当4cm为腰长时，由两条短边之和等于长边的长，可得出长度为4cm，4cm，8cm的三条边无法组成三角形，进而可得出该情况不符合题意，舍去；当8cm为腰长时，利用三角形的周长计算公式，即可求出这个三角形的周长． 【解答】解：当4cm为腰长时，∵4+4＝8， ∴长度为4cm，4cm，8cm的三条边无法组成三角形， ∴该情况不符合题意，舍去； 当8cm为腰长时，∵4+8＝12＞8， ∴长度为4cm，8cm，8cm的三条边可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为4+8+8＝20（cm）． 故答案为：20． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，分4cm为腰长及8cm为腰长两种情况，求出这个三角形的周长是解题的关键． 12．（3分）若点P（m﹣1，m+3）在x轴上，则点P的坐标是 　（﹣4，0）　． 【考点】点的坐标． 【专题】平面直角坐标系；运算能力． 【答案】（﹣4，0）， 【分析】根据x轴上点的纵坐标等于零求出m的值，代入计算即可求出点P的坐标． 【解答】解：因为点P（m﹣1，m+3）在x轴上， 所以m+3＝0， 解得m＝﹣3， ∴m﹣1＝﹣4， ∴点P的坐标是（﹣4，0）， 故答案为：（﹣4，0）． 【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0． 13．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，正方形一的顶点坐标分别为A（1，3），B（1，1），C（3，1），D（3，3）．直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣2，0），则　　；若直线y＝kx+b在绕点P旋转的过程中，同时与AB边、CD边有公共点，则b的取值范围是 　b　． 【考点】一次函数图象与几何变换；正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图象上点的坐标满足函数解析式，可得关于k，b的方程，根据等式的性质，可得答案； 根据直线与AB，CD同时有交点，可得直线过B点，D点，根据待定系数法，可得函数解析式，可得答案． 【解答】解：由题意，得 ﹣2k+b＝0， 移项，得2k＝b， 两边都除以2b， ， 由题意，得 直线过B点b值最小，过D点B值最大， 将（1，1）（﹣2，0）代入函数解析式，得 ， 解得， 将（3，3）（﹣2，0）代入函数解析式，得 ， 解得， 直线y＝kx+b在绕点P旋转的过程中，同时与AB边、CD边有公共点，则b的取值范围是b， 故答案为：，b． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是图象上点的坐标满足函数解析式得出关于k，b的方程． 14．（3分）图中两直线l1与l2的交点P的坐标可以看成是方程组　　的解． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）． 【专题】数形结合． 【答案】见试题解答内容 【分析】用待定系数法求得两条直线的解析式，组成方程组即可． 【解答】解：设l1的解析式为y＝k1x+b1， ， 解得， ∴y＝﹣2x﹣2． 设l2的解析式为y＝k2x+b2， ， 解得k2， ∴yx+1． 故答案为：． 【点评】考查一次函数与二元一次方程组的关系；用到的知识点为：两条直线的交点，可看作是两直线解析式组成的二元一次方程组的解． 15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD＝2DC，如果DC＝3，那么BD的长为 　6　． 【考点】勾股定理；角平分线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】6． 【分析】延长DC至E，使EC＝DC＝3，连接AE，证△ADE是等边三角形，得∠ADE＝60°，再证∠B＝∠DAB＝30°，得BD＝AD＝2DC＝6即可． 【解答】解：延长DC至E，使EC＝DC＝3，连接AE， 则DE＝2DC， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵EC＝DC， ∴AD＝AE， ∵AD＝2DC， ∴AE＝AD＝DE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣∠ADE＝30°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAC＝30°，∠BAC＝2∠DAC＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝30°＝∠DAB， ∴BD＝AD＝2DC＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线，证明△ADE为等边三角形是解题的关键． 16．（3分）如图①，在长方形ABCD中，动点P从点A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A的方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，三角形PAB面积为y，如果y与x之间的关系图象如图②所示，则长方形ABCD的面积为 　24　． 【考点】动点问题的函数图象． 【专题】函数及其图象；运算能力． 【答案】24． 【分析】图②中4≤x≤10时，点P在边BC上运动．矩形的面积＝AB×BC． 【解答】解：从图象②和已知可知：AB＝4，BC＝10﹣4＝6， 所以矩形ABCD的面积是4×6＝24． 故答案为：24． 【点评】本题侧重考查用图象表示变量间关系、实际问题中的函数关系所表示的函数图象的题目，从图象中得到信息是解决此题的关键． 三．解答题（共10小题，共72分） 17．（3分）计算：． 【考点】实数的运算． 【专题】实数；运算能力． 【答案】1． 【分析】由算术平方根、立方根、二次根式的性质分别进行判断，即可求出答案． 【解答】解：原式＝4+2﹣5 ＝1． 【点评】此题主要考查了实数的运算．在进行根式的运算时要先根据最简二次根式和最简三次根式的性质化简再计算可使计算简便． 18．（8分）解方程： （1）2（x﹣1）2＝18； （2）（6﹣x）2＝128； （3）2（x﹣1）2﹣16＝0； （4）2+（x﹣1）2＝18． 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法． 【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2； （2）x1＝6+8，x2＝6﹣8； （3）x1＝1+2，x2＝1﹣2； （4）x1＝5，x2＝﹣3． 【分析】（1）（2）先把含未知数的括号项看成一个整体，并把它们的系数化为1，再利用直接开平方法得一元一次方程，求解即可； （3）（4）先把常数项移到等号的另一边，把含未知数的括号项看成一个整体，利用直接开平方法得一元一次方程方程，求解即可． 【解答】解：（1）2（x﹣1）2＝18， ∴（x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3． ∴x＝1±3． ∴x1＝4，x2＝﹣2； （2）（6﹣x）2＝128， ∴（6﹣x）2＝128． ∴6﹣x＝±8， ∴x＝6±8． ∴x1＝6+8，x2＝6﹣8； （3）2（x﹣1）2﹣16＝0， ∴2（x﹣1）2＝16， ∴（x﹣1）2＝8， ∴x﹣1＝±2． ∴x1＝1+2，x2＝1﹣2； （4）2+（x﹣1）2＝18， ∴（x﹣1）2＝18﹣2， 即（x﹣1）2＝16， ∴x﹣1＝±4， ∴x1＝5，x2＝﹣3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程，掌握直接开平方法是解决本题的关键． 19．（6分）求下列各式中的x． （1）（x﹣1）2﹣8＝1． （2）27+（1﹣2x）3＝0． 【考点】立方根；平方根． 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）x＝4或x＝﹣2； （2）x＝2． 【分析】（1）利用平方根的意义，进行计算即可解答； （2）利用立方根的意义，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣8＝1， （x﹣1）2＝9， x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3， x＝4或x＝﹣2； （2）27+（1﹣2x）3＝0， （1﹣2x）3＝﹣27， 1﹣2x＝﹣3， x＝2． 【点评】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 20．（7分）在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在线段BC上，且AE＝CF，连接EF． （1）如图，已知线段AB，请补全图形，画出符合题意的图形． （2）求证：BE＝BF． （3）若∠EAC＝30°，则∠CFE是多少度？ 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意画图； （2）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF，则可得到BE＝BF； （3）由AB＝CB，∠ABC＝90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC＝∠BCA＝45°，可得到∠BAE＝15°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF＝∠BAE＝15°，BE＝BF，进而得出∠FEB＝45°，进而解答即可． 【解答】解：（1）如图，根据题意画图， （2）∵∠ABC＝90°＝∠FBC， ∴在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）， ∴BE＝BF； （2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∵∠CAE＝30°， ∴∠BAE＝45°﹣30°＝15°， ∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝15°，BE＝BF， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠FEB＝45°， ∴∠CFE＝45°﹣15°＝30°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质． 21．（8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A（﹣4，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）求△ABC的面积； （3）在x轴上是否存在一点P，使PA+PB的和最短？如果存在，请求出此时PA+PB的值；如果不存在，请说明理由． 【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理． 【专题】作图题；几何直观． 【答案】（1）作图见解析部分． （2）4． （3）存在，最小值为2． 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． （3）作B点关于x轴对称的点B′，连接AB′，与x轴的交点为P．此时PA+PB的值最小．求出AB′的长即可． 【解答】解（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）4． （3）存在．作B点关于x轴对称的点B′，连接AB′，与x轴的交点为P．此时PA+PB的值最小． ． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 22．（8分）已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2． （1）求y关于x的函数表达式； （2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【答案】（1）y＝x﹣4； （2）点（﹣1，﹣5）在函数图象上，理由见解析． 【分析】（1）设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1），再把x＝2时，y＝﹣2代入求出k的值，进而可得出结论； （2）把点（﹣1，﹣5）代入函数解析式进行检验即可． 【解答】解：（1）∵y+3与x﹣1成正比例， ∴设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1）， ∵x＝2时，y＝﹣2， ∴﹣2+3＝k（2﹣1）， 解得k＝1， ∴函数解析式为y+3＝x﹣1，即y＝x﹣4； （2）点（﹣1，﹣5）在函数图象上，理由： 由（1）知y与x的解析式为y＝x﹣4， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣4＝﹣5， ∴点（﹣1，﹣5）在函数图象上． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，先根据题意得出函数解析式是解题的关键． 23．（8分）如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，过C作直线m∥AB．请你用尺规在直线m上找一点P，使得∠BPC∠BAC．（保留作图痕迹，不写作法） 【考点】作图—复杂作图；平行线的性质；等腰三角形的性质． 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【答案】见解答． 【分析】先在直线m上截取CD＝CA，则AD平分∠BAC，再截取DP＝AB，则证明BP∥AD，所以∠BPC∠BAC，然后以B点为圆心，BP为半径画弧交直线m于P′，则∠BP′C∠BAC． 【解答】解：如图，点P、P′为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与等腰三角形的性质． 24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝10，BC＝6，AC＝AD＝8． （1）求∠ACB的度数； （2）求CD的长． 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出∠ACB的度数即可得出结论； （2）根据平行线的性质和勾股定理即可得出结论． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°， ∴在Rt△ACD中，CD8． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是得到∠ACB的度数． 25．（8分）文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案： ①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款． 某班学生需购买8个书包和若干个文具盒（不少于8个），设购买文具盒个数为x（个），付款总金额为y（元）． （1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式； （2）请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱？ 【考点】一次函数的应用． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）方案①中y与x之间的函数关系式是y＝5x+200（x≥8），方案②中y与x的函数关系式为y＝4.5x+216（x≥8）； （2）购买文具盒为32个时，两种方案付款相同；购买文具盒超过32个时，方案②更省钱；购买文具盒为少于32个而不少于8个时，方案①更省钱． 【分析】（1）根据题意，可以分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得， 方案①：y＝30×8+5（x﹣8）＝5x+200（x≥8）， 方案②：y＝（30×8+5x）×90%＝4.5x+216（x≥8）， 即方案①中y与x之间的函数关系式是y＝5x+200（x≥8），方案②中y与x的函数关系式为y＝4.5x+216（x≥8）； （2）当5x+200＝4.5x+216时，解得x＝32； 当5x+200＞4.5x+216时，解得x＞32； 当5x+200＜4.5x+216时，解得x＜32； 即购买文具盒为32个时，两种方案付款相同；购买文具盒超过32个时，方案②更省钱；购买文具盒为少于32个而不少于8个时，方案①更省钱． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形W和直线l．如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线l的距离小于或等于k，则称图形W与直线l“k关联”． （1）已知线段AB，其中点A（1，0），点B（3，0）； ①已知直线l：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴所夹的锐角为 　45°　，点A到直线l的距离为 　　；点B到直线l的距离为 　2　； ②若线段AB与直线l：y＝﹣x﹣1“k关联”，则k的值不能是 　AD　． A.3 B. C. D.1 ③已知直线y＝﹣x+b．若线段AB与该直线“关联”，求b的取值范围； （2）如图2，已知边长为2的等边△PMN的顶点P（a，0）在x轴上运动，且MN⊥x轴，若该等边三角形与直线yx+1“2关联”，求点P横坐标a的取值范围． 【考点】一次函数综合题． 【专题】代数综合题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）①（0，﹣1），，2； ②A； ③﹣1≤b＜5； （2）﹣4﹣3a≤4． 【分析】（1）①求出E，F的坐标，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据点A到直线y＝﹣x﹣1的距离为，点B到直线l的距离为2，即可得到结论； ③如图2中，当直线y＝﹣x+b在点B的上方，且点B到直线的距离为时，b＝5，再结合①中结论，可得结论； （2）求出两种特殊位置点P的坐标即可．设直线yx+1交y轴于C（0，1），交x轴于D（，0）．当等边△PMN在y轴的右侧时，过点P作PQ⊥CD于Q．求出此时点P的坐标，当等边△PMN在y轴的左侧，且点C到直线MN的距离为2时，同法可得P坐标，利用图象法判断即可． 【解答】解：（1）①对于直线y＝﹣x﹣1，令x＝0，得到y＝﹣1，令y＝0，得到x＝﹣1， ∴直线y＝﹣x﹣1交y轴于E（0，﹣1），交x轴于F（﹣1，0）， ∴OE＝OF＝1， 如图1中，连接AE． ∵A（1，0）， ∴OE＝OF＝OA＝1， ∴∠EAF＝∠EFA＝45°， ∴∠AEF＝90°， ∴AE⊥EF， ∵AE， ∴点A到直线y＝﹣x﹣1的距离为， 同理点B到直线l的距离为2； 故答案为：（0，﹣1），，2； ②∵点A到直线y＝﹣x﹣1的距离为，点B到直线l的距离为2，线段AB与直线l：y＝﹣x﹣1“k关联”， ∴k≤2， ∴k的值不能是AD； 故选AD； ③如图2中，由①得，当直线y＝﹣x+b在AB的下方时，点A到直线的距离为时，b＝﹣1， 当直线y＝﹣x+b在点AB的上方时，且点B到直线的距离为时，过点B作BH⊥DG于H， ∵直线y＝﹣x+b平行于直线y＝﹣x﹣1， ∴∠HGB＝∠HBG＝45°， ∴BGBH＝2， ∴OD＝OG＝3+2＝5， ∴b＝5， 观察图象可知，满足条件的b的值为﹣1≤b＜5； （2）设直线yx+1交y轴于C（0，1），交x轴于D（，0）． ∴OC＝1，OD， ∴CD2， ∴∠CDO＝30°， 当等边△PMN在y轴的右侧时，过点P作PQ⊥CD于Q． 当PQ＝2时，PD＝2PQ＝4， ∴OP＝4， ∴P（4，0）， 当等边△PMN在y轴的左侧，且点N到直线CD的距离为2时，过点P作PQ⊥CD于Q． 同法可得P（﹣4﹣3，0）， 观察图象可知，满足条件的点P横坐标a的取值范围为﹣4﹣3a≤4． 【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点到直线的距离，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$