精品解析：四川省绵阳市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量测试数学试题

保密★启用前【考试时间：2025年1月14日9：45—11：45】 高中2024级第一学期末教学质量测试 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例可判断A、B、D是假命题；利用作差法比较大小可判断C正确. 【详解】对于A，当时，不成立，故A是假命题； 对于B，当时，不成立，故B是假命题； 对于C，因为，则，所以，故C是真命题； 对于D，当时，不成立，故D是假命题； 故选：C 3. 设有意义，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由有意义，可得，此时显然成立， 若，显然成立，但没有意义， 故选：A 4. 下列函数，满足“对任意，且，都有”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，即函数在上单调递减，逐个选项判断即可. 【详解】由对任意的，且，都有， 即函数在上单调递减. 对于A，，而函数在上单调递增，故A错误； 对于B，由余弦函数在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确； 对于C，在上单调递增，故C错误； 对于D，在R上单调递增，故D错误. 故选：B. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案. 【详解】因为，所以， 所以函数定义域，排除B,D, 定义域关于原点对称，因为， 所以函数是偶函数，排除C， 所以函数的图象大致为A. 故选：A. 6. 设函数则（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的余弦值和诱导公式，结合代入法进行求解即可. 【详解】， 故选：D 7. 将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用代入法求出的值，再根据所求问题列出方程，通过对数的运算法则和换底公式进行求解即可. 【详解】因为经过甲桶和乙桶中的溶液量一样， 所以，即 设乙桶中的溶液达到共需要注入的时间为， 则有 ， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数的运算性质和换底公式. 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则转化为，函数有三个不同的零点，转化为有两个根，一个根在另一根在，根据二次方程根的分布即可求解. 【详解】令，则，由函数有三个不同的零点， 转化为有两个零点，一个零点或另一个零点，则， 则一元二次方程的两根为，即的一个根在另一根在， 令，则有， 即实数的取值范围为， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意； 当时，，对称轴为， 因为二次函数的值域是，且， 所以有，因此选项AB正确， 若且，所以由二次函数的对称性可得， 因此选项C不正确； 由，因为，当且仅当时取等号， 所以选项D正确， 故选：ABD 10. 若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A. B. 函数图象关于直线对称 C. 函数图象关于点中心对称 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得到且，即可判断A，由可得的对称轴，即可判断B，再推导出，即可判断C，最后根据奇偶性求出函数在时的解析式，即可判断D . 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 又，所以，故A正确； 因为，所以关于对称，故B错误； 由，， 所以，即，所以， 则，即， 所以函数图象关于点中心对称，故C正确； 因为当时，， 设，则，所以， 当时也成立， 所以当时，，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数（e为自然对数的底数），则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是增函数 C. 函数是奇函数 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对数的定义，结合奇函数的定义、函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】由，因此选项A正确； ， 当时，函数，单调递增， 所以也单调递增，因此选项B正确； 因为，所以函数不是奇函数，选项C不正确； 由上可得，因为函数是增函数， 所以有且，因此选项D不正确， 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质进行求解. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数定义域的概念列出不等式求解即可； 【详解】由题意可得：， 解得：且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 13. 某扇形的圆心角为2弧度，半径为，则该扇形的面积为___________ 【答案】16 【解析】 【分析】利用扇形的面积S，即可求得结论． 【详解】∵扇形的半径为4cm，圆心角为2弧度， ∴扇形的面积S16cm2， 故答案为：16. 14. 已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为2，则的值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据对数型函数的图象，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的图象如下图所示： 当时，，因此有， 由， 于是当，即当时，因为， 所以，由函数图象可知， ，， 因为， 所以，所以， 因为函数在上的最大值与最小值之差为2， 所以， 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合思想得到，再根据函数的单调性进行求解. 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数定义分别法求解即可； （2）先应用诱导公式化简，再代入三角函数值计算求解. 【15题详解】 角的终边经过点， . . 【16题详解】 . 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求的值； （2）若函数，当时，求函数的最小值（用表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为，得是方程的两根，根据根与系数的关系即可得解； （2）函数的图象的对称轴为，根据对称轴分布的情况分类讨论，即可求出函数的最小值. 【小问1详解】 关于的不等式的解集为， 是方程的两根. 由根与系数的关系，得，解得， . 【小问2详解】 由（1）知，所以函数图象的对称轴为， 当时，函数在上递减， 则； 当时，函数在上递减，在上递增， ； 当时，函数在上递增， . 综上，. 17. 某工厂生产两种产品，产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为.已知投入3万元生产产品可获利润为7万元，投入32万元生产产品可获利润为65万元. （1）求实数的值； （2）该企业现有47万元资金全部投入两种产品中，探究：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】（1）， （2）A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元. 【解析】 【分析】（1）运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合对数的性质、对数型函数的单调性、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 ， ， 解得. ， ， 解得. 【小问2详解】 设A生产线投入万元，则B生产线投入万元，企业获得利润为. 由（1），得， ， ， 整理，得， 变形得，， 即 ，当且仅当时等号成立. . ， 当且仅当时等号成立. 当A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元. 18. 函数的最小正周期为，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递减区间； （3）若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求实数的取值范围及的值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由题意函数的最小正周期为即可求出，由即可求出； （2）由求出，令由函数的单调递减区间即可求解； （3）函数的零点得，得或，分类讨论即可得解. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， . ， ， .又， . . 【小问2详解】 令，则. 函数的单调递减区间是， ， 解得. 函数在上的单调递减区间是. 【小问3详解】 ， 或. 或， ， 由， 有两个不同的解，， ， 此时， ， . 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域都为，且是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数e是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）求证：； （3）函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)根据，函数为上的奇函数，为上的偶函数得联立方程组即可求解； （2）由（1）得函数和的解析式代入即可得证； （3）由（1）知，函数为上的单调增函数， 函数在区间上的值域是，得关于的方程有两个互异实根，令，方程有两个互异正根，根据一元二次方程根的分布即可求解. 【小问1详解】 函数为上的奇函数，为上的偶函数，且， 即 解得. 函数均为上的增函数， 函数为上的增函数，合乎题意. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ， . 又，则. 由（1）知，函数为上的单调增函数. 函数在区间上的值域是， 即 关于的方程有两个互异实根. 令方程有两个互异正根. 解得. 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次方程，根据一元二次方程根的分布求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前【考试时间：2025年1月14日9：45—11：45】 高中2024级第一学期末教学质量测试 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 设有意义，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数，满足“对任意，且，都有”的是（ ） A. B. C D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数则（ ） A. B. 1 C. D. 5 7. 将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，函数值域是，且，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. 若，则 D. 10. 若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A. B. 函数图象关于直线对称 C. 函数图象关于点中心对称 D. 当时， 11. 已知函数（e为自然对数的底数），则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是增函数 C. 函数是奇函数 D. 若，则 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 函数的定义域为__________. 13. 某扇形的圆心角为2弧度，半径为，则该扇形的面积为___________ 14. 已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为2，则的值为__________. 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点. （1）求； （2）求的值. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求的值； （2）若函数，当时，求函数的最小值（用表示）. 17. 某工厂生产两种产品，产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为.已知投入3万元生产产品可获利润为7万元，投入32万元生产产品可获利润为65万元. （1）求实数的值； （2）该企业现有47万元资金全部投入两种产品中，探究：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润. 18. 函数最小正周期为，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递减区间； （3）若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求实数的取值范围及的值. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域都为，且是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数e是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）求证：； （3）函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $