精品解析：山东省东营市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题

2024-2025学年山东省东营市高二上学期期末质量监测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 119 B. 120 C. 1199 D. 1200 2. 已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（ ） A B. C. D. 3. 平面的斜线交平面于点B，过定点A的动直线l与直线垂直，且交平面于点C，那么动点C的轨迹是（ ） A. 线段 B. 直线 C. 圆 D. 抛物线 4. 已知是直线上一点，是直线一个法向量，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 7. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，且则异面直线，所成角的大小为（ ） A B. C. D. 8. 若直线与椭圆交于A，B两点，点满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若异面，，，，，则 D. 若，，，则 10. 将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（ ） A. 男生不在头尾的不同排法有2400种 B. 男生不在头尾且不相邻不同排法有600种 C. 假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D. 2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 11. 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点 P的轨迹称为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线一定都关于坐标轴对称 B. 曲线的离心率为2 C. 若曲线为焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是 D. 设曲线为曲线，曲线与x轴交于A，B两个不同的点，，，，，是线段AB的6等分点，分别过这五个点作斜率为的一组平行线，交曲线于点，，，，则，，，这10条直线的斜率的乘积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为__________用数字作答 13. 已知直线与圆交于A，B两点，，则过点的圆C的切线长为__________. 14. 已知平面平面，线段在平面内，为线段中点，，，点为内的动点，且点到直线的距离为，则动点的轨迹的离心率为__________，如果，在平面内过点的直线与交于两点，则三棱锥的体积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽那么当水面下降1m后. （1）水面的宽为多少? （2）求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，且，的中点为G，的中点为F （1）证明：平面 （2）若直线与平面所成的角为，求点B到平面的距离. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的方程; （2）设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，E为中点，点F在上，且 （1）求证：平面 （2）求二面角的余弦值; （3）线段上是否存在点Q，使得平面若存在，求线段的长;若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点. （1）若点P为椭圆C上异于点A，B的点. ①若直线AP，BP斜率分别为，，求证：为定值; ②若直线，点A在x轴上的射影为点D，求证：B，P，D三点共线. （2）设A在第一象限，点M为椭圆C的上顶点，点M关于直线的对称点为点N，直线AB与直线MN交于点Q，且，求直线AB的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省东营市高二上学期期末质量监测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 119 B. 120 C. 1199 D. 1200 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数性质和公式求解. 【详解】. 故选：A. 2. 已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的倾斜角为，利用两角和的正切即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为 故选：B. 3. 平面的斜线交平面于点B，过定点A的动直线l与直线垂直，且交平面于点C，那么动点C的轨迹是（ ） A. 线段 B. 直线 C. 圆 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】由于过点A且与垂直的平面有且仅有一个，设为，则由题意结合平面的基本性质可得平面与平面只有一条交线，从而可得结论. 【详解】过点A且与垂直的平面有且仅有一个，设为，则直线在平面内， 因为点C是平面与平面的公共点，所以平面与平面只有一条交线， 所以动点C的轨迹是一条直线，且是过点A垂直于的平面与平面的交线. 故选：B 4. 已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，由点斜式即可求解. 【详解】由是直线一个法向量，可知直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. 故选：C 5. 如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算用表示出，再用模长公式计算可得结果. 【详解】因为，所以， 则 ，所以. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】解：令，得； 令，得， 则， 故选：B 7. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，且则异面直线，所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，得到，再结合向量的数量积的运算，求得，得到，即可求解． 【详解】由题意，在中，的底面是边长为2的正三角形，侧棱底面， 且, 所以 ， 所以，所以异面直线，所成角的大小为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用向量求解异面直线所成的角的方法，以及向量的线性运算和向量的数量积的运算等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力． 8. 若直线与椭圆交于A，B两点，点满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线、椭圆方程，结合韦达定理，可得线段AB的中点为，结合斜率关系可得，进而可求离心率. 【详解】显然，直线，即为， 设，， 联立方程，消去x可得， 则，，， 即线段AB的中点为， 因为，则，且直线AB的斜率， 则，整理可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若异面，，，，，则 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间线、面位置关系的判定定理以及性质定理，逐项分析判断即可. 【详解】对A：根据面面平行判定定理可知：当相交时，才能推出，故A错误； 对B：若，，则，且，所以，故B正确； 对C：因为，，则存在，使得， 可知，因异面，，故相交，且，所以，故C正确； 对D：若，，根据线面垂直的判定定理可知不能推出， 且，所以不能推出，故D错误. 故选：BC. 10. 将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（ ） A. 男生不在头尾的不同排法有2400种 B. 男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C. 假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D. 2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：可知头尾为女生，剩下5人全排列，结合排列数分析判断；对于B：利用间接法，先求男生不在头尾且相邻不同排法，结合选项A分析判断；对于C：高度要求已经固定，现只需选人即可，结合组合数分析判断；对于D：分类讨论甲是否在头尾，结合排列数分析判断. 【详解】对于A：男生不在头尾，则头尾为女生，剩下5人全排列， 所以不同排法有种，故A正确； 对于B：若男生不在头尾且相邻的不同排法有种， 所以男生不在头尾且不相邻的不同排法有种，故B错误； 对于C：因为高度要求已经固定，现只需选人即可， 则左边从剩余6人选择3人即可，所以不同的排法有种，故C正确； 对于D：若甲在头尾，不同排法有种； 若甲不在头尾，不同排法有种； 所以2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有种，故D错误； 故选：AC. 11. 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点 P的轨迹称为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线一定都关于坐标轴对称 B. 曲线的离心率为2 C. 若曲线为焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是 D. 设曲线为曲线，曲线与x轴交于A，B两个不同的点，，，，，是线段AB的6等分点，分别过这五个点作斜率为的一组平行线，交曲线于点，，，，则，，，这10条直线的斜率的乘积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由题意得，即，从而可判断A；曲线即为，求其离心率可判断B；曲线即为，根据椭圆的方程特征即可判断C；曲线为曲线，即由，结合椭圆的对称性即可判断D. 【详解】设，因为，所以，即 对于A，只含和常数项，所以曲线一定都关于坐标轴对称，故A正确； 对于B，曲线即为，为等轴双曲线，其离心率为，故B错误； 对于C，曲线即为，即， 因为曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，得，解得，故C正确； 对于D，曲线为曲线，即，即 设点，则， 同理可得，由椭圆的对称性可得，， ，，同理可得，， 直线，，，这10条直线的斜率乘积为：，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为__________用数字作答 【答案】14 【解析】 【分析】利用展开式的通项即可求解. 【详解】解：展开式的通项为， 则的展开式中常数项为 故答案为：14 13. 已知直线与圆交于A，B两点，，则过点的圆C的切线长为__________. 【答案】3 【解析】 【详解】求出m，得圆半径，由切线长定理即可求解. 【解答】解：圆可化为， 则圆心坐标为，半径为. ，即， 圆心到直线的距离. 圆心到直线的距离为，解得，则圆半径， 则， 则切线长为， 故答案为：3 14. 已知平面平面，线段在平面内，为线段的中点，，，点为内的动点，且点到直线的距离为，则动点的轨迹的离心率为__________，如果，在平面内过点的直线与交于两点，则三棱锥的体积的最大值为__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求出椭圆的离心率；求出底面积的最大值，可求三棱锥体积的最大值. 【详解】解：空间中到直线的距离为的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆， 所以在内的轨迹为一个椭圆，为椭圆的中心， 在平面内，当时，可知，再由，可得， 所以，即，于是动点P的轨迹的离心率为 如图在平面内建立直角坐标系，可得椭圆方程为，为椭圆的焦点，，， 由题意设直线方程为，与椭圆方程联立，消去x，整理可得， 设的纵坐标为，则， 所以， 设，则， 当且仅当，即时，， 所以三角形的面积的最大值为， 又因为三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积的最大值为 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽那么当水面下降1m后. （1）水面的宽为多少? （2）求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以顶点O为坐标原点建立坐标系，设方程为，令，求解即可； （2）设为抛物线上动点，求水面中心到抛物线上的点距离d求解即可. 【小问1详解】 以顶点O为坐标原点建立如图所示坐标系，设方程为， 因为在抛物线上，代入得，所以抛物线方程为， 令，解得， 所以水面的宽为. 【小问2详解】 设为抛物线上动点， 则水面中心到抛物线上的点距离为：  ， 可知当时，， 故此时水面中心到抛物线上的点距离的最小值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，且，的中点为G，的中点为F （1）证明：平面 （2）若直线与平面所成的角为，求点B到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）首先求出FC与平面ABCD所成的角，利用求点到平面的距离. 【小问1详解】 设的中点为H，连结，因为，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 则，又平面PGC，平面，所以平面 【小问2详解】 因为平面，取中点M，连结， 则，，所以平面， 所以为与平面所成的角，故，在中，， 在中，，，所以， 所以所以，所以为等边三角形， 因为平面，平面所以， 又因为，、平面，，所以平面 又因为平面，所以 在中，，，所以 在中，，，所以， 由，得点B到平面PGC的距离 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的方程; （2）设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）是定值， 【解析】 【分析】（1）结合已知条件列出关于的方程组求解可得双曲线方程； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线方程，由韦达定理表示两斜率，从而计算可得. 【小问1详解】 依题意，， 解得，， 故双曲线C的方程为 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 由整理得， ， 由韦达定理得：，， 得：， 由题，， 所以 ， 所以是定值， 【点睛】方法点睛：双曲线的定值问题，设直线l的方程为，交点坐标，，直线方程代入双曲线方程应用韦达定理，再用点的坐标表示所求定值的量（本题是斜率之商），代入韦达定理的结论化简可得． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，E为中点，点F在上，且 （1）求证：平面 （2）求二面角的余弦值; （3）线段上是否存在点Q，使得平面若存在，求线段的长;若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，利用向量法求二面角； （3）利用线面平行的向量表示求解即可. 【小问1详解】 在中，， 所以，即，又因为， 在平面中，，、平面， 所以平面 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又所以， 由（1）已证，且已知， 故以A为原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则，， 所以，，，， 因E为PD中点， 所以， 由点F在PC上，且知，， 设平面AEF的法向量为，则，即， 令，则，，于是， 又因为由（1）已证平面，所以平面的一个法向量为， ， 由题知，二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为 【小问3详解】 假设存在Q点满足题意，则存在使得， 因为，， 所以， 平面AEF，所以要使平面， 当且仅当，即， 整理得：，解得， 因为，所以线段AC上不存在点Q，使得平面 19. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点. （1）若点P为椭圆C上异于点A，B的点. ①若直线AP，BP斜率分别为，，求证：为定值; ②若直线，点A在x轴上的射影为点D，求证：B，P，D三点共线. （2）设A在第一象限，点M为椭圆C的上顶点，点M关于直线的对称点为点N，直线AB与直线MN交于点Q，且，求直线AB的方程. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①求出，设，则，由椭圆方程得，设，利用椭圆方程和斜率公式即可求证; ②通过求证，即可求证三点共线； （2）求出A点坐标，代入椭圆方程，求出k即可得直线方程. 【小问1详解】 因为椭圆离心率为，所以 设，则，则，解得： ①设，则，整理得 ②依题意得：，， 因为所以，即： 而， 所以，故B、P、D三点共线. 【小问2详解】 依题意得：MN方程为，与联立得： 在中，由正弦定理可得：， 又， 所以，即， 所以A点的坐标为， 代入椭圆方程：，解得 故直线AB的方程为 【点睛】方法点睛：椭圆中定值问题，一般设交点坐标为，然后用动点坐标表示目标代数式，结合点满足的椭圆方程化简得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $