精品解析：湖南省长沙市周南教育联盟2024—2025学年八年级上学期期末数学试卷

周南教育联盟2024年下学期八年级期末素质诊断试卷 数学 （考试范围：八上全册） 本试卷共25小题，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一根头发的直径约为，数值用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，4，8 C. 5，4，10 D. 6，7，14 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 6. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，P为平分线上的点，于D，，则点P到OB的距离为（ ） A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 8. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分式化成最简分式为________． 12. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 13. “三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据，不用测量，就知道，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是______（用字母表示）． 14. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_______． 15. 已知是完全平方公式，则的值为______． 16. 已知代数式，则的值是______． 三、解答题：本题共9小题，共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 因式分解 （1） （2） 18. 计算： （1） （2） 19. 解分式方程： （1） （2） 20. 化简求值：，其中． 21. 在如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（2，﹣2）． （1）请写出△ABC关于x轴对称的点A1，B1，C1的坐标； （2）请在坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2； （3）计算△ABC的面积． 22. 如图，在 中，，平分，于点E， 连接，交于点F． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，，求的长． 23. 某商场欲购进和两种家电，已知种家电的进价比种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进种家电的件数与用1.2万元购进种家电的件数相同．请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ 24. 在中，，点D是上一点，，点E是上一点，． （1）如图1，求证：是等腰三角形； （2）如图2，过点E作于点F，求证：平分； （3）如图3，延长、交于点G，求证：点C在的垂直平分线上． 25. 在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式： ； （2）如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； （3）如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周南教育联盟2024年下学期八年级期末素质诊断试卷 数学 （考试范围：八上全册） 本试卷共25小题，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念判断即可，熟练掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解决此题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 已知一根头发的直径约为，数值用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：数值用科学记数法可表示为． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，4，8 C. 5，4，10 D. 6，7，14 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可判断. 【详解】A. 2+3＞4，可构成三角形，符合题意； B. 4+4=8，不能构成三角形，不符合题意； C. 5+4＜10，不能构成三角形，不符合题意； D. 6+7＜14，不能构成三角形，不符合题意； 故选A． 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，故不能计算，不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，计算正确，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 5. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 6. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的定义，解题关键是依据 “把一个多项式化为几个整式的积的形式” 这一因式分解的本质特征，逐一判断选项． 根据因式分解 “把多项式化为几个整式积的形式” 的定义，逐一分析选项即可． 【详解】A：，是整式乘法运算，不符合题意， B：，等式右边是和的形式，不是整式积的形式，所以不符合题意， C：，因式分解正确，符合题意， D：，等式右边的因式不是整式，所以不符合题意． 故选C． 7. 如图所示，P为平分线上的点，于D，，则点P到OB的距离为（ ） A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得点P到OB的距离等于 【详解】解：∵P为平分线上的点，于D，， ∴点P到OB的距离为3cm 故选：C 【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 8. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式， 利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和可得： ， 解得：， ∴该多边形的边数为5， 故选：B． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．解题的关键是根据题意列出方程． 设规定时间为天，慢马送信所需时间为天，快马送信所需时间为天．根据题意，快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，，因此有． 【详解】∵规定时间为天， ∴慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里， 故选：B． 10. 如图，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高的定义，熟练掌握三角形的中线，角平分线，高的定义是解题的关键． 根据三角形的中线，角平分线，高的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵分别是的中线，角平分线，高， ∴，，，故A，B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法判断与的大小关系，符合题意； 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分式化成最简分式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可. 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 13. “三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据，不用测量，就知道，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是______（用字母表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据即可得出． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_______． 【答案】10 【解析】 【详解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D ∴△ADC是直角三角形 ∵E是AC的中点 ∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半） 又∵DE=5，AB=AC ∴AB=10 故答案为：10． 15. 已知是完全平方公式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是完全平方公式， ， 即， 故答案为：． 16. 已知代数式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了代数式求值，直接将原式变形，，进而将已知代入得出答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先提出公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查用公式法分解因式、提公因式法分解因式，运用正确的方法是解题关键． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算积的乘方，再计算单项式的乘除法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 19. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并进行检验． （1）先通过去分母（方程两边同时乘以最简公分母），将分式方程转化为整式方程 ，即可求解． （2）先通过去分母，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 移项得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴原方程的解为：． 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴原方程的解为：． 20. 化简求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【详解】利用分式的混合运算法则进行化简，再将带入即可求解． 解：原式 ， 当时，． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 21. 在如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（2，﹣2）． （1）请写出△ABC关于x轴对称的点A1，B1，C1的坐标； （2）请在坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2； （3）计算△ABC的面积． 【答案】（1）A1（1，﹣2），B1（4，﹣1），C1（2，2）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）5.5． 【解析】 【分析】（1）关于x轴对称的点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，据此可得；（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；（3）利用割补法求解可得． 【详解】解：（1）如图所示，A1（1，﹣2），B1（4，﹣1），C1（2，2）； （2）略 （3）△ABC的面积为：3×4﹣×1×4﹣×2×3﹣×3×1＝5.5． 【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义及其性质、割补法求三角形的面积． 22. 如图，在 中，，平分，于点E， 连接，交于点F． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ,， 是线段的垂直平分线； （2）2.5 【解析】 【分析】(1)根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； (2)利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用(1)的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ， 在中，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为2.5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解决此题的关键． 23. 某商场欲购进和两种家电，已知种家电的进价比种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进种家电的件数与用1.2万元购进种家电的件数相同．请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ 【答案】（1）种家电每件进价500元，种家电每件进价600元 （2）共有3种购买方案．方案1：购进种家电65件，种家电35件．方案2：购进种家电66件，种家电34件．方案3：购进种家电67件，种家电33件 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键； （1）设A种家电每件进价为x元，根据“用1万元购进A种家电的件数与用万元购进B种家电的件数相同”再建立方程求解即可； （2）设购进A种家电a件，根据“该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且种家电不超过67件”再建立不等式解题即可． 【小问1详解】 解：设种家电每件进价为元，则种家电每件进价为元．根据题意得 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意 答：种家电每件进价500元，种家电每件进价600元． 【小问2详解】 设购进种家电件，则购进种家电件．根据题意得 解得 又为正整数 的值可以为65，66，67． 该商场共有3种购买方案． 方案1：购进种家电65件，种家电35件． 方案2：购进种家电66件，种家电34件． 方案3：购进种家电67件，种家电33件． 24. 在中，，点D是上一点，，点E是上一点，． （1）如图1，求证：是等腰三角形； （2）如图2，过点E作于点F，求证：平分； （3）如图3，延长、交于点G，求证：点C在的垂直平分线上． 【答案】（1） 证明；∵， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）证明：过点作于H，如下图所示； ， ， ，则， 是等腰三角形， ，则， ， ∴，又， ， ， 平分； （3） 证明：由（2）， 在中，， 在中，， ， ， ， ∴点在的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定以及角平分线的判定，解题的关键是证三角形全等，作出适合的辅助线． （1）证明，得出即可证明； （2）过点作于H，根据等角的余角相等得出，由（1）得，从而得出，再根据是等腰三角形，用等腰三角形三线合一得出，从而得出，再根据，即可证明，根据全等三角形对应角相等即可证明； （3）由（2），再根据等量代换得出，从而证得，根据线段垂直平分线的判定即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式： ； （2）如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； （3）如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值． 【答案】（1） （2） ； 画图不唯一，画图正确即可，如下图： （3）20 【解析】 【分析】此题考查的是几何图形面积与多项式的乘法，数形结合是解题的关键． （1）由图中大矩形的面积=中间的各图片的面积的和，就可得出代数式； （2）面积为，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a，b的长方形使用5次，依此即可求解； （3）根据正方形面积，正方形面积,可得等式，根据，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，如下图： ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图4可知， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $