第十八章 平行四边形单元复习（专项训练）-【上好课】八年级数学下册同步高效课堂（人教版）

第十八章 平行四边形 单元重难点题型归纳与训练 题型归纳 题型讲解 一. 四边形的性质 【题型解读】考查四边形的基本性质，如平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；矩形的四个角是直角、对角线相等；菱形的四条边相等、对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；正方形具有矩形和菱形的所有性质.常考题型包括：利用四边形的性质进行计算；利用四边形的性质进行证明；利用设而不求的思想解题；面积问题等. Ⅰ 利用四边形的性质进行计算 例1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝4，AC＝6，BD＝10，则AE的长为 　 　． 针对练习： 1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知菱形ABCD的边长为2°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是 　　． 3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若，且∠ECF＝45°，则CF的长为 　 　． 4．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若∠AOE＝150°，DF，则EF的长为 　　． Ⅱ 利用四边形的性质进行证明 例1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，O是对角线AC的中点，E是CB延长线上一点，且AB＝AE，连接EO交AD延长线于H，过E作AB的垂线，垂足为F，交AC于G． （1）若AC＝12，EC＝7，求△ABE的面积； （2）求证：DHGC． 针对练习： 1．如图，平行四边形ABCD中，BC＝BD．点F是线段AB的中点．过点C作CG⊥DB交BD于点G，CG延长线交DF于点H．且CH＝DB． （1）如图1，若DH＝1．求FH的值； （2）如图2，连接FG．求证：DBFG+HG． 2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G． （1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积； （2）若∠ACB＝45°，求证：DFCG． 3．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG． （1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB＝60°，求证：EG＝AG+BG； （2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论． Ⅲ 设而不求思想的应用 例1．如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在DE上，连接BF，CF．若BC＝BF，∠DCF＝α，则∠BFE一定等于（　　） A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α 例2．如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内一点，延长BE交CD于点F，若AB＝AE，∠CBF＝15°，则的值为（　　） A． B． C． D． 针对练习： 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 2．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE＝2BF，∠BAF＝α，则∠EGF一定等于（　　） A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α 3．把5张完全相同的长方形纸片不重叠地放在正方形ABCD内，用阴影部分表示，若长方形AGFE与长方形EHCD周长相等，记长方形AGFE周长为C1，长方形GBHF周长为C2，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，正方形ABCD中，点E在BD上，DE＝2BE，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB的延长线于点F，再过点F作FG∥CE，FG＝CE，连接CG、DG，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在对角线AC、边BC上，连接DE、EF、DF，取线段DF的中点O，连接EO，若DE＝FE，BF＝2CF，则（　　） A． B． C． D． Ⅳ 面积问题 例1．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　） A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3 针对练习： 1. 如图，有两张边长分别为a、b（a＞b）的正方形纸片，按图1，图2两种方式放置在同一长方形内（该长方形的长比宽多，两种方式中正方形纸片均有部分是重叠的，未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点B，C，E在同一直线上，正方形ABCD的面积比正方形CEFG的面积少8，则阴影部分面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 3．如图，正方形EGMP和正方形FNHP的顶点E，F，G，M，N在长方形ABCD的边上，已知DMDN＝10，EF＝BE+FC，则△PEF的面积为（　　） A．16 B．18 C．20 D．24 4．如图，点C是正方形ADEF内一点，连接AC，FC，且AC⊥FC，以AC为斜边在AC下方作Rt△ABC，且∠ABC＝90°，若BC＝4，AB＝3，CF＝12，则正方形ADEF的面积为 　　． 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是 　　． 二. 四边形的判定与性质综合 【题型解读】四边形的判定与性质综合题型是初中数学中非常重要的一类题型，它主要考查学生对四边形各种判定定理和性质定理的理解与运用能力. 常见类型： 1.证明四边形的形状：题目给出四边形的一些条件，要求证明它是某种特定的四边形，如平行四边形、矩形、菱形或正方形.需要根据所给条件，选择合适的判定定理进行证明. 2.计算角度或边长：已知四边形是某种特殊四边形，或者通过判定得出四边形的形状后，利用其性质来计算角度的大小或边长的长度.通常会结合三角形的相关知识进行求解. 例1. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上一点，连接AE，DE，AD＝AE． （1）如图1，过点E作EF⊥AD于F，若BC＝7，DE＝2，求EF的长度； （2）如图2，若∠DCB＝60°，∠DCB的平分线交AD于F，过点F作FH∥AB，连接AH，DH，且FH+CE＝CD，求证：∠DAH＝∠EAH． 针对练习： 1.如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E．BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，DF⊥AC于点F．求证：EF∥MN． 2．如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE＝∠BCF，BF＝DE，∠A＝60°，连接EF． （1）若EF＝2，求△AEF的面积； （2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF． 3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE （1）求证：BC＝CE； （2）若BC＝2，∠ABC＝120°，求DE的长． 4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD的垂直平分线分别交边AD、BC于点E、F，连接BE、DF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若∠BOC＝120°，AB＝6，求FC的长． 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，若四边形DOCE是矩形，OE交CD于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OE＝4，∠BCD＝60°，求菱形ABCD的面积． 6．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值． 三. 添加条件成为四边形 【题型解读】此类题型属于探究性问题：给出一些条件，让学生探究四边形是否具有某种性质或是否存在满足特定条件的四边形.这类问题需要学生通过分析、推理、尝试等方法进行探索，有时还需要进行分类讨论，是中考常考题型. 例1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，延长CF交AD于点P．当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 针对练习： 1．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 2．如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以 是 　 　（写出一个即可）． 3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E． （1）求证：△FCE≌△BOE； （2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为矩形？请说明理由． 4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E． （1）求证：△FCE≌△BOE； （2）当△ADC满足 　 　时，四边形OCFD为菱形？请说明理由． 5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是 AB上一点，连接ED并延长ED到点F，使AB∥CF．连接CE，AF，请添加一个条件使四边形AECF为菱形，并加以证明． 四. 三角形的中位线 【题型解读】三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，它在初中数学几何中具有重要地位，相关题型丰富多样，是考试热点题型. 当题目中没有直接给出中位线时，根据已知条件合理构造中位线.例如，通过取中点、作平行线等方法构造中位线，搭建已知与未知的桥梁. Ⅰ 直接应用中位线定理 例1．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝　 　． 针对练习： 1．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE＝CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC＝18，BC＝12，则△CEG的周长为　 　． 2．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A'B于点F，连接A'E．当△A'EF为直角三角形时，AB的长为 　 　． Ⅱ 添加辅助线构造中位线模型 例1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，点P在BC上，且CPBC，点E，F分别是AP，AD的中点． （1）PB的长是 　 　； （2）AE+EF＝　 　． 针对练习： 1．如图，正方形ABCD，点E为AB边上一点，AE＝3，BE＝1．∠EDC的平分线交BC于点F，点G是DE的中点，则GF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点．连接EF，FM，则FM＝　 　；线段EF的最大值为　 　． 4．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 　　． 5．四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AC、EF，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD＝5，CD＝6，求EF的长． 6．如图，已知BE，CD是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于点E，AD⊥DC于点D，求证： （1）DE∥BC （2）DE（AB+AC﹣BC） Ⅲ 双中位线 例1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是线段AB上的动点，M、N分别是AD、CD的中点，连接MN，当点D由点A向点B运动的过程中，线段MN所扫过的区域的面积为 　 　． 针对练习： 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点．若AC＝4cm，BD＝6cm，则EF＝　 　cm． 2．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？ 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM，CD分别交于点E、F．求证：∠BEN＝∠NFC． 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明） （温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE） （1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论． （2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明． 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点． （1）求证：PQ⊥MN； （2）判定△OEF的形状． Ⅳ 中点四边形 【解题策略】各边中点顺次连接形成的四边形： 四边形(对角线无特点) →平行四边形 矩形(对角线相等) →菱形 菱形(对角线垂直) →矩形 正方形(对角线相等且垂直) →正方形 例1．如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形． 针对练习： 1．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．以上都不对 2．如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且，依次取AB、BC、CD、AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是 　　． 3．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（　　） A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关 C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关． 4．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添加条件 　　． 5．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 　 　． 五. 直角三角形斜边上的中线 【题型解读】直角三角形斜边上的中线是直角三角形的一个重要性质，基于此性质的题型丰富多样. 常与直角三角形的其他性质（如勾股定理）、三角形全等以及四边形的知识综合出现，要求学生具备扎实的几何知识体系和综合运用能力.当题目中没有直接给出斜边上的中线时，可根据已知条件合理构造斜边上的中线.例如，通过取斜边中点，连接中点与直角顶点来构造中线，从而利用中线的性质解题. 例1．如图，在四边形ABCD中，AB＝5，AD＝AC＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°．M、N分别是对角线BD，AC的中点． （1）请判断MN和AC的位置关系，并证明； （2）求线段MN的长． 针对练习： 1．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　） A． B． C．12 D．16 2．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的动点，点P是线段EF的中点，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为G，H，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝7，则GH的最小值为 　 　． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，求DM的长． 4．如图，在△ABC中，三边BC、AC、AB上的高AE、BF、CD相交于点M，P为BM的中点，Q为AC的中点，求证：PQ⊥ED． 5．如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点． （1）求证：DE＝CE； （2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC． 6．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，AE为BC边中线，AE、BD相交于点O，连接DE． （1）判断△CDE的形状，并说明理由． （2）若OD＝2，求OB的长． 7．如图，在△ABD中，BE⊥AC于点E，△CBE的中线FE的延长线交AD于点G，∠1＝∠2＝α． （1）求证：△AGE是直角三角形． （2）若∠D＝α，BC＝GF＝2，求α的值和AB的长度． 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DC＝BE，G是CE的中点． （1）求证：DG⊥CE； （2）若∠BCE＝27°，求∠AEC的度数． 9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF． （1）求证：EF＝CF； （2）若∠BAC＝30°，AD＝12，求C、E两点之间的距离． 六. 四边形中的动点问题 【题型解读】四边形中的动点问题是初中数学的重要题型，它综合了四边形的性质、方程等知识，对学生的分析和解决问题能力要求较高.常见题型包括：四边形的存在性问题；最值问题；探究使四边形成为特殊四边形的动点位置或条件等. 例1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为____ 时，P、Q与四边形ABCD中任意两个顶点构成平行四边形． 针对练习： 1．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝　 　时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 2．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（　　）s时，能够使△BPE与△CQP全等． A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或4 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t＝　 　． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t． （2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？ 5．如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B﹣C的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？ （2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由． 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G，H分别是AD，BC中点，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）当0≤t＜5，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由； （2）若四边形EGFH为矩形，t的值为 　 　； （3）若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，则t的值为 　　. 8．如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为10cm的等边三角形，且点B，D，C，E都在一条直线上，连接AD，CF． （1）四边形ADFC的形状是 　 　； （2）若BD＝3cm，此时△ABC沿着BE方向以1cm/s的速度运动，运动时间为t s， ①当四边形ADFC是菱形时，它的面积是 　 　cm2； ②当运动时间t＝　 　s时，四边形ADFC是矩形． 9. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E．F同时从A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B停止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s． （1）经过多少秒△DEF为等边三角形？ （2）经过多少秒四边形BEDF的面积为． 10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，动点P从B点开始，以1cm/s的速度沿折线B→A→D→C做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿B→C→E→C做匀速运动．设点P运动的时间为t秒，四边形PQED的面积为S，若四边形PQED的形状是平行四边形时，则t的取值范围是 　 　． 七. 四边形中的多结论问题 【题型解读】四边形中的多结论问题是一类综合性较强的题型，通常会在一个四边形的背景下，给出多个相关的结论，要求考生判断这些结论的正确性. 【解题策略】逐个分析结论；利用特殊值法或反例法；借助图形辅助分析；积累常见模型和结论. 例1．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 例2．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 针对练习： 1．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　　（填序号）． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H．下列结论：①BD＝DG； ②；③CH＝EH；④．其中正确的有 　　（填正确的序号）． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E、F分别在边AD、BC上（点E不与A、D重合）且AF∥CE，DP⊥AF于点P，交CE于点Q，BM⊥CE于点M，交AF于点N．给出下面四个结论：①AC＝5；②DQ＝CM；③四边形PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论： ①BE⊥AC； ②EG＝GF； ③△EFG≌△GBE； ④EA平分∠GEF； ⑤四边形BEFG是菱形． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤ 5．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC；②当点D与点C重合时，FH；③AE+CDDE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　 　． 6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．下列结论： ①BE⊥AC；②BG＝GF； ③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF； ⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是 　 　．（填写序号） 7．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连结AC交EF于点G，给出下面四个结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AG＝2CG；④．上述结论中，正确结论的序号有 　 　． 8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，且不与A，C重合，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接ED，FG，①；②若，则DE＝2；③DE＝FG；④FG的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 9．如图，在矩形ABCD中，其中AD＜AB≤2BC，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作▱CEFG．则下列结论： ①∠AEF＝∠DCG； ②矩形ABCD的面积等于▱CEFG的面积； ③DE＝AB； ④四边形CEFG是正方形； 其中一定正确的结论是 　 　．（填写所有正确结论的序号） 八. 四边形中的折叠问题 【题型解读】四边四边形中的折叠问题是一类综合性较强的题型，它涉及到四边形的性质、图形的变换以及相关的几何计算. 【解题策略】 1.确定不变量：分析折叠前后哪些量是不变的，如线段的长度、角的度数等.这些不变量是解决问题的关键. 2.利用轴对称性质：折叠是一种轴对称变换，根据轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.利用这些性质可以找出折叠后图形中的等量关系. 3.构造方程：在计算线段长度等问题时，常常需要设未知数，然后根据已知条件和几何关系列出方程求解.例如，利用勾股定理来建立方程. 4.结合全等：通过观察折叠后图形中的全等三角形，利用它们的性质来推导边和角的关系. 例1．综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′． （1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长； （2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形． 针对练习： 1．（1）如图①所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝　72°　． （2）如图②，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，其中AB＝9，BC＝6，则FC'的长为 　5　． 2．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为　 　． 3．如图，长方形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠长方形ABCD，使点B，C分别落在G，F处． （1）如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN＝ 　　； （2）如图2，若点M与点B重合，连接DF，当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为 　　． 4．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 九. 四边形中的分类讨论问题 【题型解读】四边形中的分类讨论问题是一类较为复杂且具有挑战性的题型，需要根据不同的情况进行全面分析和讨论. 【解题策略】 1.明确分类标准：仔细分析题目条件，确定是按四边形的形状、边或角的关系，还是动点的位置等进行分类，确保分类不重不漏. 2.逐一分析情况：对每种分类情况，根据相应的几何性质和定理进行详细的分析和计算，得出每种情况下的结果. 3.综合归纳结论：将所有分类情况的结果进行综合，得出最终的答案或结论.同时，要检查不同情况下的结果是否符合题目条件和实际情况. 例1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（4，3）、（6，﹣2），在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标：　 　． 例2．已知正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为点E，连接PE，BE，CE，DE，当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，AP的值为 　 　． 针对练习： 1．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别是A（0，4）、B（﹣3，0）、C（m，0）（m≠﹣3）．如果存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则m的值等于（任写三个即可） 　 　． 2．如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 3．如图，小明用三个等腰三角形（图中①②③）拼成了一个平行四边形ABCD，且∠D＞90°＞∠C，则∠C＝　 　． 4．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　 　． 5．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，连接DE，F为DE的中点．若线段，那么OE的长为 　 　． 6．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边OA、OC分别在坐标轴上，点B的坐标是（3，3）．在正方形ABCO的边上找一点P，使得△POC是OC边上的“完美三角形”，点P的坐标为　 　． 7．如图，正方形ABCD的边长为8，点E在CD边上，CE＝4，若点F在正方形的某一边上，满足CF＝BE，且CF与BE的交点为M，则CM的长度为　 　． 8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为边CD的中点，连接AE，BE．P为边AD上一点（不与点A重合），连接BP，若点A关于BP的对称点A′恰好落在△ABE的边上，则线段AP的长为 　 　． 十. 四边形中的尺规作图问题 【题型解读】四边形中的尺规作图问题主要涉及利用直尺和圆规，依据给定条件作出满足要求的四边形；或者根据题目的作图判定所作的四边形的形状. 例1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＜AD． （1）利用尺规作∠BAD的平分线AG，交BC于点E，记点B关于AE对称的点为F（求保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 针对练习： 1．已知△ABC（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则DG的长为 　 ． 3．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝9，由尺规作图可以确定BC边上一点E，取AD的中点F，连接EF，则EF的长可能是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 5.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF． 6．【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，矩形ABCD． 求作：正方形ABEF，使点E、F分别在BC、AD上． 小明的作法： （1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点F； （2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E； （3）连接EF. 【解答问题】 请你根据材料中的信息，证明四边形ABEF是正方形． 十一. 坐标系中的四边形 【题型解读】坐标系中的四边形问题是初中数学的重要题型，它将四边形的性质与坐标系的知识相结合. 常考题型包括：求四边形顶点坐标；判断四边形的形状；探究四边形的存在性问题等. 考察学生的数形结合思想、方程思想、分类讨论思想. 例1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． （1）AC的长为 　 　； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形ABCD为平行四边形，则D点的坐标为 　 　． 针对练习： 1．工艺美术中常需要设计几何图案．如图，在5×5的正方形网格中，已确定三个格点A，B，C的位置，需要在图中确定点P，使得以P，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形．为了精准刻画点P的位置，需建立平面直角坐标系xOy．若点A（2，2），C（3，1）． （1）请画出平面直角坐标系xOy； （2）在图中描出点P的位置，并写出所有符合条件的点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一个四边形ABCD，其顶点坐标分别为A（2，3），B（6，3），C（8，﹣1），D（4，﹣1）． （1）证明四边形ABCD为平行四边形； （2）如图，点G为AC与BD的交点，线段BE为∠ABD的角平分线，线段DF为∠BDC的角平分线，证明∠BEC＝∠AFD． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 　 　． 4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点BP的长度为　 　． 5．已知平面直角坐标系内有三点A（2，2），B（5，2），C（5，），请确定一个点D，使四边形ABCD为矩形，则点D的坐标是 　 　． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，B（2，0），若平移点B到点C，使以点O，A，B，C为顶点的四边形是菱形，则平移方法错误的是（　　） A．向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度 B．向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度 7．如图，Rt△AOD位于平面直角坐标系中，点A的坐标为，∠AOD＝30°，若点C是平面内任一点，在x轴正半轴上存在点B，使A、C、B、O为顶点的四边形是菱形，则满足条件的点C的坐标为 　 　． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点C坐标为（3，2），则点A的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，3） 十二. 四边形中的最值问题 【题型解读】四边形中的最值问题是一类较为复杂且综合性较强的问题，常见类型包括：线段长度的最值；周长的最值；面积的最值等. 【解题策略】利用几何性质：垂线段最短、三角形三边关系. 例1．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　　． 例2．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 　 ． 针对练习： 1．在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为　　． 2．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为 　　． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，G分别在边AB，CD上，且AE＝CG，点F在边BC上，连接EF，BG，若BF＝2，则EF+BG的最小值为 　 ． 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．则DE的最小值为 　 　． 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为 　 ． 6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为 　　． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，则线段AP+QE的最小值为 　　． 8．如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 9．如图，菱形ABCD的边长为分别是BC，BD上的动点，且CP＝DQ，则AP+AQ的最小值为 　 　． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接OC，则线段OC长度的最大值为　　． 11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E与点F分别为射线BC，CD上一点，且BE＝CF，连接AE，BF并交于点G，点P为边CD上一点，DP＝1，连接PG，则线段PG长度的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 12．如图，P为菱形ABCD的对角线AC上的一个定点，Q为AD边上的一个动点，AP的垂直平分线分别交AB，AP于点E，G，∠DAB＝30°，若PQ的长的最小值为3，则AE的长为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形 单元重难点题型归纳与训练 题型归纳 题型讲解 一. 四边形的性质 【题型解读】考查四边形的基本性质，如平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；矩形的四个角是直角、对角线相等；菱形的四条边相等、对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；正方形具有矩形和菱形的所有性质.常考题型包括：利用四边形的性质进行计算；利用四边形的性质进行证明；利用设而不求的思想解题；面积问题等. Ⅰ 利用四边形的性质进行计算 例1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝4，AC＝6，BD＝10，则AE的长为 　　． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝10， ∴AOAC＝3，BOBD＝5， ∵AB＝4， ∴AB2+AO2＝BO2， ∴∠BAC＝90°， ∵在Rt△BAC中，BC2，S△BACAB×ACBC×AE， ∴4×62AE， ∴AE， 故答案为：． 【小结】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键． 针对练习： 1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，， ∴， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即， ∴， ∴． 故选：C． 【小结】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形性质是解答此题的关键． 2．如图，已知菱形ABCD的边长为2°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是 　　． 【解答】解：连接AC，过A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK＝BE，连接GK， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠CBD，BC＝BA，BC∥AD， ∵BG＝BG， ∴△BGK≌△BGE（SAS）， ∴GK＝GE，∠BEG＝∠BKG， ∵GF+GE＝3， ∴GF+GK＝3， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AMAB23， ∴GF+GK＝AM， ∴F、G、K共线，且FK⊥BC， ∴∠BEG＝∠BKG＝90°， ∵AD∥BC， ∴FK⊥AD， ∴∠GFD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠GBE＝∠GDF∠ABC＝30°，AB＝AD＝2， ∴BEGE，DFGF， ∴BE+DF（GE+GF）＝3， ∴AE+AF＝BA+AD﹣（BE+DF）＝223． 故答案为：． 【小结】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质判定F、G、K共线，推出GE⊥AB，GF⊥AD． 3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若，且∠ECF＝45°，则CF的长为 　　． 【解答】解：将△FCD绕点C逆时针旋转90°得到△F'CB，连接EF，如解图所示，此时E，B，F′三点共线． ∴△CBF'≌△CDF． ∴CF＝CF'，DF＝BF'，∠FCF'＝90°． ∵∠ECF＝45°， ∴∠ECF'＝∠ECF＝45°， ∵CE＝CE， ∴△CEF≌△CEF′（SAS）． ∴EF＝EF'， 在Rt△EBC中，． ∴AE＝AB﹣BE＝2． 设DF＝x， 则AF＝4﹣x，BF′＝DF＝x． ∴EF＝EF'＝BE+BF'＝2+x， 在Rt△FAE中，EF2＝AE2+AF2， 即（2+x）2＝22+（4﹣x）2， 解得． ． 在Rt△CDF 中，． 故答案为：． 【小结】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若∠AOE＝150°，DF，则EF的长为 　2　． 【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC， ∵∠AOE＝150°， ∴∠BOE＝60°； ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴∠BOE＝∠COF＝60°， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴△OEF是等腰直角三角形； 过点F作FG⊥OD于G，如图， ∴∠OGF＝∠DGF＝90°， ∵∠ODC＝45°， ∴△DGF是等腰直角三角形， ∴GF＝DGDF， ∵∠AOE＝150°， ∴∠BOE＝60°， ∴∠DOF＝30°， ∴OF＝2GF， ∴EFOF＝2． 故答案为：2． 【小结】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含30°的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出△OEF是等腰直角三角形． Ⅱ 利用四边形的性质进行证明 例1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，O是对角线AC的中点，E是CB延长线上一点，且AB＝AE，连接EO交AD延长线于H，过E作AB的垂线，垂足为F，交AC于G． （1）若AC＝12，EC＝7，求△ABE的面积； （2）求证：DHGC． 【解答】解：（1）如图，作AM⊥EC于M． ∵∠ACB＝45°，∠AMC＝90°，AC＝12， ∴AM＝MC＝6， ∵EC＝7， ∴EM， ∵AE＝AB，AM⊥EB， ∴BE＝2EM＝2， ∴S△AEB2612． （2）如图，过A作AM⊥EB于M，交EG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠MAC＝∠NGC＝45°， ∵AB＝AE， ∴BM＝EMBE，∠BAM＝∠EAM， 又∵AB⊥EG， ∴∠AFK＝90°＝∠EMK，而∠AKF＝∠EKM， ∴∠MAF＝∠NEG 设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠EAG＝45°+α，∠EGA＝∠GCN+∠GEC＝45°+α， ∴∠EAG＝∠EGA， ∴EA＝EG， ∴AB＝BG， 在△AMB和△ENG中， ， ∴△AMB≌△ENG（AAS）， ∴MB＝NG， 在等腰Rt△CNG中，NG＝NC， ∴GCNGMEBE， ∴BEGC， ∵O是AC的中点， ∴OA＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠OAH＝∠OCE，∠AHO＝∠CEO， ∴△AFH≌△CEO（AAS）， ∴AH＝CE， ∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DH＝BE， ∴DH＝BECG． 【小结】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 针对练习： 1．如图，平行四边形ABCD中，BC＝BD．点F是线段AB的中点．过点C作CG⊥DB交BD于点G，CG延长线交DF于点H．且CH＝DB． （1）如图1，若DH＝1．求FH的值； （2）如图2，连接FG．求证：DBFG+HG． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD， ∵BD＝BC， ∴AD＝BD， ∵AF＝FB， ∴DF⊥AB， ∴DF⊥DC， ∵CG⊥BD， ∴∠CDH＝∠CGD＝∠DFB＝90°， ∴∠BDF+∠CDG＝90°，∠CDG+∠DCH＝90°， ∴∠BDF＝∠DCH， ∵CH＝DB， ∴△DFB≌△CDH（AAS）， ∴DH＝BF，CD＝DF， ∴AB＝DF， ∵AB＝2BF， ∴DF＝2DH＝2， ∴FH＝DH＝1； （2）解：如图1中，过点F作FJ⊥BD于J，FK⊥CH交CH的延长线于K．过点D作DT⊥BD交FG的延长线于T，连接CT，设FT交CD于N． ∵∠K＝∠FJG＝∠KGJ＝90°， ∴四边形FKGJ是矩形， ∴∠KFJ＝90°， ∵∠DFB＝90°， ∴∠KFH＝∠BFJ， ∵∠K＝∠FJB＝90°，FH＝FB， ∴△FKH≌△FJB（AAS）， ∴FK＝FJ， ∵FK⊥GK，FJ⊥GJ， ∴FG平分∠KGJ， ∴∠FGH＝∠FGJ＝45°， ∵∠DGT＝∠FGJ＝45°，∠GDT＝90°， ∴DG＝DT， ∵∠FDC＝∠GDT＝90°， ∴∠FDG＝∠CDT， ∵DF＝DC， ∴△FDG≌△CDT（SAS）， ∴FG＝CT，∠DFN＝∠TCN， ∵∠DNF＝∠CNT， ∴∠FDN＝∠CTN＝90°， ∵∠TGC＝∠FGK＝45°， ∴TG＝TC，CGCTFG， ∴BD＝CH＝GH+CG＝GHFG， ∴DBFG+HG． 【小结】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，题目有一定难度． 2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G． （1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积； （2）若∠ACB＝45°，求证：DFCG． 【解答】解：（1）∵AH＝3，HE＝1， ∴AB＝AE＝4， 又∵Rt△ABH中，BH， ∴S△ABEAE×BH4； （2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠MAC＝∠NGC＝45°， ∵AB＝AE， ∴BM＝EMBE，∠BAM＝∠EAM， 又∵AE⊥BG， ∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM， ∴∠MAE＝∠NBG， 设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α， ∴AB＝BG， ∴AE＝BG， 在△AME和△BNG中， ， ∴△AME≌△BNG（AAS）， ∴ME＝NG， 在等腰Rt△CNG中，NG＝NC， ∴GCNGMEBE， ∴BEGC， ∵O是AC的中点， ∴OA＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO， ∴△AFO≌△CEO（AAS）， ∴AF＝CE， ∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE， ∴DF＝BECG． 【小结】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 3．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG． （1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB＝60°，求证：EG＝AG+BG； （2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论． 【解答】（1）证明：如图①，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H． ∴∠GAB＝∠HAE． ∵∠EAB＝∠EGB，∠APE＝∠BPG， ∴∠ABG＝∠AEH． 在△ABG和△AEH中， ， ∴△ABG≌△AEH（ASA）． ∴BG＝EH，AG＝AH． ∵∠GAH＝∠EAB＝60°， ∴△AGH是等边三角形． ∴AG＝HG． ∴EG＝AG+BG； （2）EGAG﹣BG． 如图②，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H． ∴∠GAB＝∠HAE． ∵∠EGB＝∠EAB＝90°， ∴∠ABG+∠AEG＝∠AEG+∠AEH＝180°． ∴∠ABG＝∠AEH． ∵又AB＝AE， ∴△ABG≌△AEH． ∴BG＝EH，AG＝AH． ∵∠GAH＝∠EAB＝90°， ∴△AGH是等腰直角三角形． ∴AG＝HG． ∴EGAG﹣BG． 【小结】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． Ⅲ 设而不求思想的应用 例1．如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在DE上，连接BF，CF．若BC＝BF，∠DCF＝α，则∠BFE一定等于（　　） A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α 【解答】解：延长DE、CB交于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EBG＝90°， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝EB， 在△AED和△BEG中， ， ∴△AED≌△BEG（ASA）， ∴AD＝BG＝BC＝BF， ∴∠G＝∠BFG，∠BCF＝∠BFC， ∵∠G+∠BFG+∠BCF+∠BFC＝180°， ∴∠GFC＝∠GFB+∠BFC＝90°， ∵∠BCD＝90°，∠DCF＝α， ∴∠BCF＝∠BCD﹣∠DCF＝90°﹣α， ∵BC＝BF， ∴∠BFC＝∠BCF＝90°﹣α， ∴∠BFE＝∠EFC﹣∠BFC＝α， 故选：A． 【小结】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线是解答本题的关键． 例2．如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内一点，延长BE交CD于点F，若AB＝AE，∠CBF＝15°，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在BC上取一点T，连接TF，使∠FTC＝30°，如图所示： 设FC＝a， 在Rt△TFC中，∠FTC＝30°， ∴TF＝2a， 由勾股定理得：CT， ∵∠FTC＝∠CBF+∠TFB＝30°，∠CBF＝15°， ∴∠TFB＝30°﹣∠CBF＝15°， ∴∠TFB＝∠CBF＝15°， ∴BT＝TF＝2a， ∴BC＝BT+CT， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD， ∴DF＝CD﹣CF， 又∵AB＝AE， ∴AE， ∴． 故选：A． 【小结】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质设解决问题的关键． 针对练习： 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，AC⊥BD， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ADE∠ABC，AB＝CB， ∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°， ∵CE⊥BD， ∴A，E，C三点共线， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝EC， ∵CE＝EF， ∴AE＝EF， ∴∠EFA＝∠EAD＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（90°）﹣（90°）＝α， ∴∠DEF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣α． 故选：C． 【小结】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABE≌△CBE． 2．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE＝2BF，∠BAF＝α，则∠EGF一定等于（　　） A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α 【解答】解：过点D作DH∥EG交AB于点H，连接AG，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠CDA＝90°，AB∥CD， ∴∠BAF+∠FAD＝90°， ∵EG⊥AF，DH∥EG， DH⊥AF， ∴∠ADH+∠FAD＝90°， ∴∠BAF＝∠ADH＝α， 在△ABF和△DAH中， ， ∴△ABF≌△DAH（ASA）， ∴AH＝BF，AF＝DH， ∴AE＝AH+HE＝BF+HE， ∵AE＝2BF， ∴BF+HE＝2BF， ∴HE＝BF， ∴AH＝HE＝BF， ∵AB∥CD，DH∥EG， ∴四边形DGEH是平行四边形， ∴HE＝DG， ∴AH＝DG， 在△AHD和△DGA中， ， ∴△AHD≌△DGA（SAS）， ∴∠ADH＝∠DAG＝α，DH＝AG， ∴∠FAG＝∠BAD﹣（∠BAF+∠DAG）＝90°﹣2α， ∵AF＝DH，DH＝AG， ∴AF＝AG， ∴∠AFG＝∠AGF（180°﹣∠FAG）＝45°+α， ∵EG⊥AF， ∴∠AGE＝90°﹣∠FAG＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α， ∴∠EGF＝∠AGF﹣∠AGE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α． 故选：B． 【小结】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解 正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 3．把5张完全相同的长方形纸片不重叠地放在正方形ABCD内，用阴影部分表示，若长方形AGFE与长方形EHCD周长相等，记长方形AGFE周长为C1，长方形GBHF周长为C2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设小长方形的宽是x，正方形的边长是a， 由题意得：小长方形的长是3x， ∴FG＝2x+3x＝5x，AG＝a﹣3x，HC＝a﹣5x， ∵长方形AGFE与长方形EHCD周长相等， ∴AG+FG＝HC+DC， ∴a﹣3x+5x＝a﹣5x+a， ∴a＝7x， ∴C1＝2（AG+FG）＝2（2x+a）＝18x，C2＝2（FG+GB）＝2（5x+3x）＝16x， ∴． 故选：A． 【小结】本题考查矩形和正方形的性质，关键是由题意得到a＝7x． 4．如图，正方形ABCD中，点E在BD上，DE＝2BE，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB的延长线于点F，再过点F作FG∥CE，FG＝CE，连接CG、DG，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵EM⊥AB，EN⊥BC， ∴∠EMB＝∠ENB＝∠ABC＝90°， ∴四边形EMBN是矩形， ∵∠ABD＝∠CBD＝45°，EM⊥AB，EN⊥BC， ∴EM＝EN， ∴矩形EMBN是正方形， ∴设EM＝MB＝BN＝EN＝a，EN∥AB，∠ENC＝90°， 在Rt△EMB中，由勾股定理得：EB， ∵DE＝2BE， ∴BD＝DE+BE＝3BE， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BDBD， ∴AD＝ABBD＝√3a， ∴CN＝BC﹣BN＝3a﹣a＝2a， ∵FG∥CE，FG＝CE， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∵EF⊥CE， ∴平行四边形EFGC是矩形， ∵EN∥AB， ∴∠1＝∠2， ∵EF⊥CE，∠ENC＝90°， ∴∠2+∠CEN＝90°，∠3+∠CEN＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△EMF和△ENC中， ， ∴△EMF≌△ENC（AAS）， ∴EF＝EC，MF＝CN＝2a， ∴矩形EFGC是正方形， ∴EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠1+∠5＝90°， ∵GH⊥AB交AB的延长线于点H， ∴∠H＝90°，∠4+∠5＝90°， ∴∠1＝∠4， 在△EMF和△FHG中， ， ∴△EMF≌△FHG（AAS）， ∴EM＝FH＝a，GH＝BF＝2a， ∵BF＝MF﹣MB＝2a﹣a＝a， ∴BH＝BF+FH＝2a， ∴GH＝BH＝2a， ∵△BHG是等腰直角三角形， ∴∠FBG＝45°， ∴∠CBG＝45°， 由勾股定理得：BG， ∵∠DBG＝∠CBD+∠CBG＝45°+45°＝90°， ∴△BDE是直角三角形， 由勾股定理得：DG， ∴． 故选：D． 【小结】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的管关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 5．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在对角线AC、边BC上，连接DE、EF、DF，取线段DF的中点O，连接EO，若DE＝FE，BF＝2CF，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过E作GH⊥BC于H，交AD于G，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠BAC＝∠BCA＝45°， ∵GH⊥BC， ∴GH⊥AD，△CEH是等腰直角三角形， ∴∠DGE＝∠EHF＝90°，CH＝EH， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形CDGH是矩形， ∴CH＝DG， ∴EH＝DG， 在Rt△DEG和Rt△EFH中， ， ∴Rt△DEG≌Rt△EFH（HL）， ∴∠EDG＝∠HEF，EG＝HF， ∵∠EDG+∠DEG＝90°， ∴∠HEF+∠DEG＝90°， ∴∠DEF＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∵O为DF中点， ∴OEDF， 由BF＝2CF，设CF＝m，则BF＝2m， ∴BC＝3m＝CD， ∴DFm， ∴OEm， 设EG＝HF＝x，则CH＝m+x＝EH， ∵EH+EG＝GH＝CD＝3m， ∴m+x+x＝3m， ∴x＝m， ∴CH＝EH＝2m， ∴CE2m， ∴， 故选：C． 【小结】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是用按字母的式子表示相关线段的长度． Ⅳ 面积问题 例1．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　） A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3 【解答】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴∠GFE＝90°， ∴AF⊥BG， ∵AG＝AB， ∴AF是BG边上的中线， ∴GF＝BF， 设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x， ∵Rt△DAE≌Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH， ∴AF＝BG＝2x， 在Rt△ABF中，由勾股定理得： ， ∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为：， 故选：B． 【小结】本题主要考查了正方形和全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握正方形与全等三角形的性质、等腰三角形的性质． 针对练习： 1. 如图，有两张边长分别为a、b（a＞b）的正方形纸片，按图1，图2两种方式放置在同一长方形内（该长方形的长比宽多，两种方式中正方形纸片均有部分是重叠的，未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴设AB＝CD＝m，AD＝BC＝n， ∴， 在图1中，依题意得：四边形AEPD，四边形BCQF，四边形KGQT都是长方形，且EF＝HG＝a，HK＝b， ∴AE+BF＝m﹣a，KG＝a﹣b，KT＝n﹣a， ∴S长方形AEPD+S长方形BCQF＝n（AE+BF）＝n（m﹣a）， 又∵S长方形KGQT＝KG•KT＝（a﹣b）（n﹣a）， ∴S1＝m（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a）， 在图2中，依题意得：四边形ABFE，四边形CDKT，四边形PFHG都是长方形，且EK＝EP＝FT＝a，HT＝b， ∴AE+DK＝n﹣a，PG＝a﹣b，PF＝m﹣a， ∴S长方形ABFE+S长方形CDKT＝m（AE+DK）＝m（n﹣a）， 又∵S长方形PFHG＝PG•PF＝（a﹣b）（m﹣a）， ∴S2＝m（n﹣a）+（a﹣b）（m﹣a）， ∴S1﹣S2＝n（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a）﹣m（n﹣a）﹣（a﹣b）（m﹣a） ＝mn﹣na+na﹣nb﹣a（a﹣b）﹣mn+ma﹣ma+mb+a（a﹣b） ＝b（m﹣n） ． ∴S1＝S2． 故选：A． 【小结】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，代数式的运算，准确识图，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，代数式的运算是解决问题的关键． 2．如图，点B，C，E在同一直线上，正方形ABCD的面积比正方形CEFG的面积少8，则阴影部分面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【解答】解：∵正方形ABCD的面积比正方形CEFG的面积少8， ∴CE2﹣CD2＝8， ∴阴影部分面积＝三角形BDG的面积+三角形EDG的面积 GD•BCGD•CE GD（BC+CE） （CG﹣CD）（CG+CD） （CE2﹣CD2） 8， ＝4． 故选：B． 【小结】本题考查正方形的性质，平方差公式，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 3．如图，正方形EGMP和正方形FNHP的顶点E，F，G，M，N在长方形ABCD的边上，已知DMDN＝10，EF＝BE+FC，则△PEF的面积为（　　） A．16 B．18 C．20 D．24 【解答】解：过点P作PK⊥BC于点K， ∴∠PFK+∠KPF＝90°， ∵四边形FNHP是正方形， ∴PF＝FN，∠PFN＝90°， ∴∠PFK+∠CFN＝90°， ∴∠KPF＝∠CFN， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠PKF＝∠C＝90°， 在△PKF和△FCN中， ， ∴△PKF≌△FCN（AAS）， ∴KF＝CN，PK＝FC， 同理可证△PKE≌△EBG≌△GAM， ∴PK＝EB＝GA，EK＝GB＝MA， 设KF＝CN＝x，EK＝GB＝MA＝y， ∵DM， ∴DN＝8， ∴CD＝DN+CN＝8+x，AD＝AM+DM＝y+10， ∵EF＝EK+KF， ∴EF＝x+y， ∵EF＝BE+FC， ∴BE+FC＝x+y， ∴BC＝BE+EF+FC＝2（x+y）， ∵AD＝BC， ∴y+10＝2（x+y）， 即2x+y＝10①， ∵AB＝GA+BG＝AG+y，CD＝8+x，AB＝CD， ∴GA+y＝8+x， ∴GA＝8+x﹣y＝PK＝EB＝FC， ∵EB＝EF﹣FC＝x+y﹣（8+x﹣y）＝2y﹣8， ∵EB＝GA， ∴2y﹣8＝8+x﹣y， 即x﹣3y＝﹣16②， 联立①②得， ， 解得， ∴BC＝2（x+y）＝2×（2+6）＝16，CD＝8+x＝8+2＝10， ∴AM＝AD﹣DM＝BC﹣DM＝16﹣10＝6， ∴PK＝EB＝GA＝FC＝6，EF＝EK+KF＝2+6＝8， ∴△PEF的面积， 故选：D． 【小结】本题考查了正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 4．如图，点C是正方形ADEF内一点，连接AC，FC，且AC⊥FC，以AC为斜边在AC下方作Rt△ABC，且∠ABC＝90°，若BC＝4，AB＝3，CF＝12，则正方形ADEF的面积为 　169　． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝4，AB＝3，AC为斜边， 由勾股定理得：AC5， ∵AC⊥FC， ∴∠ACF＝90°， ∴△ACF是直角三角形 又∵CF＝12，AC＝5， 由勾股定理得：AF13， ∴正方形ADEF的面积为：AF2＝169． 故答案为：169． 【小结】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是 　1　． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBM＝∠OCN＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOM+∠COM＝90°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∴∠CON+∠COM＝90°， ∴∠BOM＝∠CON， 在△BOM和△CON中， ， ∴△BOM≌△CON（ASA）， ∴S△BOM＝S△CON， ∴S四边形OMCN＝S△COM+S△CON＝S△COM+S△BOM＝S△BOC1， 故答案为：1． 【小结】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，得出S△BOM＝S△CON是解题的关键． 二. 四边形的判定与性质综合 【题型解读】四边形的判定与性质综合题型是初中数学中非常重要的一类题型，它主要考查学生对四边形各种判定定理和性质定理的理解与运用能力. 常见类型： 1.证明四边形的形状：题目给出四边形的一些条件，要求证明它是某种特定的四边形，如平行四边形、矩形、菱形或正方形.需要根据所给条件，选择合适的判定定理进行证明. 2.计算角度或边长：已知四边形是某种特殊四边形，或者通过判定得出四边形的形状后，利用其性质来计算角度的大小或边长的长度.通常会结合三角形的相关知识进行求解. 例1. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上一点，连接AE，DE，AD＝AE． （1）如图1，过点E作EF⊥AD于F，若BC＝7，DE＝2，求EF的长度； （2）如图2，若∠DCB＝60°，∠DCB的平分线交AD于F，过点F作FH∥AB，连接AH，DH，且FH+CE＝CD，求证：∠DAH＝∠EAH． 【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中， BC＝7 ∴AD＝BC＝7 ∵AD＝AE ∴设DF＝x，则AF＝7﹣x ∵EF⊥AD，DE＝2 ∴在Rt△DEF 和Rt△AEF中，由勾股定理得 72﹣（7﹣x）2x2 解得x＝2 ∴EF 答：EF的长度为． （2）证明：如图，延长FH交BC于点G，连接HE，DG ∵AD∥BC，FH∥AB ∴四边形CDFG为平行四边形 ∵CF平分∠DCB，∠DCB＝60° ∴∠DCF＝∠GCF＝30° ∵DF∥CG ∴∠DFC＝∠GCF＝∠DCF30° ∴FD＝CD ∴四边形CDFG为菱形 ∴△DFG≌△GCD，且它们均为等边三角形 ∴∠DFH＝∠DGE，DF＝DG ∵FH+CE＝CD，CD＝DF＝CG ∴FH＝GE ∴△DFH≌△DGE（SAS） ∴DH＝DE，∠FDH＝∠GDE ∵∠FDG＝60° ∴∠HDE＝60° ∴△DHE为等边三角形 ∴DH＝EH，∠HDE＝∠HED ∵AD＝AE ∴∠AED＝∠ADE ∴∠AEH＝∠ADH ∴△AEH≌△ADH（SAS） ∴∠DAH＝∠EAH． 【小结】本题综合考查了利用勾股定理构建方程，菱形的判定以及全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质，难度比较大． 针对练习： 1.如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E．BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，DF⊥AC于点F．求证：EF∥MN． 【解答】证明：证明：连接ME、NF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO， ∵BM⊥AC，DF⊥AC， ∴∠BMO＝∠CNO＝90°， 在△BMO和△DFO中， ， ∴△BMO≌△DFO（AAS）． ∴OM＝OF， 同理：OE＝ON． ∴四边形MNFE是平行四边形． ∴MN∥EF． 【小结】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 2．如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE＝∠BCF，BF＝DE，∠A＝60°，连接EF． （1）若EF＝2，求△AEF的面积； （2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B， ∵BF＝DE，∠DCE＝∠BCF， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CD＝CB， ∴▱ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∴AD﹣DE＝AB﹣BF，即AE＝AF， ∵∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∵EF＝2， ∴S△AEF22； （2）证明：如图2，延长DP交BC于N，连接FN， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EDP＝∠PNC，∠DEP＝∠PCN， ∵点P是CE的中点， ∴CP＝EP． ∴△CPN≌△EPD， ∴DE＝CN，PD＝PN． 又∵AD＝BC． ∴AD﹣DE＝BC﹣CN，即AE＝BN． ∵△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝60°，EF＝AE． ∴∠DEF＝120°，EF＝BN． ∵AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， 又∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∴∠ABC＝∠DEF． 又∵DE＝BF，BN＝EF． ∴△FBN≌△DEF， ∴DF＝NF， ∵PD＝PN， ∴PF⊥PD． 【小结】本题考查的是菱形的性质和判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题的关键． 3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE （1）求证：BC＝CE； （2）若BC＝2，∠ABC＝120°，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠FEC，∠ADF＝∠ECF， ∵点F为边DC的中点， ∴DF＝CF， 在△ADF和△ECF中，， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AD＝CE， ∴BC＝CE． （2）解：如图，连接FM， ∵DM平分∠ADF，AF平分∠DAB，AB∥DC，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BAF＝DFN，∠ADM＝∠FDM＝∠AMD， ∴AD＝DF＝AM， ∴四边形AMFD是菱形， ∴AM＝AD＝AD＝BC＝2，AF⊥DM，DN＝MNDM，AN＝FN，∵∠ABC＝120°， ∴∠BAD＝60°， ∴△ADM是等边三角形， ∴DM＝AD＝2， ∴DN＝1， ∴FN＝DN， ∴AF＝2， ∵AD＝CE，AD∥CE， ∴EF：AF＝CE：AD＝1：1， ∴EF＝AF＝2， ∴EN＝FN+EF＝3， 在Rt△DEN中，DE2． 【小结】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形判定与性质，勾股定理的运用，正确分析条件与所求问题之间的联系，理清思路解决问题． 4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD的垂直平分线分别交边AD、BC于点E、F，连接BE、DF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若∠BOC＝120°，AB＝6，求FC的长． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED，FB＝FD，BO＝DO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠OBF＝∠ODE， ∵∠DOE＝∠BOF， ∴△EOD≌△FOB（AAS）， ∴DE＝BF， ∴EB＝ED＝FB＝FD， ∴四边形BEDF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OC，CD＝AB＝6， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠BOC＝120°， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∵四边形EBFD为菱形， ∴FB＝FD， ∴∠FBD＝∠FDB＝30°， ∴∠DFC＝60°， ∴∠FDC＝30°， 设CF＝x，则FD＝2x， 根据勾股定理得：（2x）2﹣x2＝62， 解得：x＝2， ∴FC的长为2． 【小结】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握矩形的性质定理、菱形的判定与性质定理是解决问题的关键． 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，若四边形DOCE是矩形，OE交CD于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OE＝4，∠BCD＝60°，求菱形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵DA∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形DOCE是矩形， ∴∠DOC＝90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形DOCE是矩形， ∴OE＝CD＝4， ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°， ∴AB＝CD＝4，∠BAD＝60°， ∵AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ABCD的面积． 【小结】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键． 6．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值． 【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形． （2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4． 【小结】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三. 添加条件成为四边形 【题型解读】此类题型属于探究性问题：给出一些条件，让学生探究四边形是否具有某种性质或是否存在满足特定条件的四边形.这类问题需要学生通过分析、推理、尝试等方法进行探索，有时还需要进行分类讨论，是中考常考题型. 例1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，延长CF交AD于点P．当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF． ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴， ∴DF＝BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝OA． ∴AC＝2OA． ∵AC＝2AB， ∴OA＝AB， ∵E是OB的中点， ∴∠OEG＝90°， 同理可得∠OFC＝90°， ∴∠OEG+∠OFC＝180°， ∴CF∥EG． ∵OA＝OC，EG＝AE， ∴CG∥EF， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【小结】本题考查了全等三角形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 针对练习： 1．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　AB＝AD（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【解答】解：这个条件可以是 AB＝AD，理由如下： 由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABED是菱形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 【小结】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及平移的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平移的性质是解题的关键． 2．如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　AE＝AF（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【解答】解：只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是：AE＝AF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC， ∵O是AC的中点， ∴OA＝OC， 在△AOF和△OCE中， ， ∴△AOF≌△OCE（AAS）， ∴OF＝OE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AE＝AF， ∴平行四边形AECF是菱形， 故答案为：AE＝AF（答案不唯一）． 【小结】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E． （1）求证：△FCE≌△BOE； （2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为矩形？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵CF∥BD，DF∥AC， ∴四边形OCFD是平行四边形， ∴OD＝CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OB＝CF， ∵CF∥BD， ∴∠OBE＝∠CFE， 又∵∠BEO＝∠FEC， ∴△FCE≌△BOE（AAS）； （2）解：当△ADC满足AD＝DC时，四边形OCFD为矩形．理由如下： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC， ∵AD＝DC， ∴OD⊥AC， ∴∠DOC＝90°， ∵四边形OCFD为平行四边形， ∴四边形OCFD为矩形． 【小结】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，矩形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E． （1）求证：△FCE≌△BOE； （2）当△ADC满足 　∠ADC＝90°　时，四边形OCFD为菱形？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵CF∥BD，DF∥AC， ∴四边形OCFD是平行四边形，∠BOE＝∠FCE， ∴OD＝CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OB＝CF， 在△BEO和△FEC中， ， ∴△BEO≌△FEC（AAS）， 即；△FCE≌△BOE（AAS）； （2）解：当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下： ∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OC＝OD， ∴四边形OCFD为菱形， 故答案为：∠ADC＝90°． 【小结】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是 AB上一点，连接ED并延长ED到点F，使AB∥CF．连接CE，AF，请添加一个条件使四边形AECF为菱形，并加以证明． 【解答】条件：当AC⊥EF，或任意一组邻边相等时，四边形AECF为菱形， 证明：若添加AC⊥EF， ∵AB∥CF，D是AC中点， ∴∠DFC＝∠DEA，AD＝CD， 在△AED与△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴ED＝FD， 又∵DC＝DA， ∴四边形FAEC是平行四边形， 又∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 【小结】本题考查了平行四边形、菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质及菱形的判定是解题的关键． 四. 三角形的中位线 【题型解读】三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，它在初中数学几何中具有重要地位，相关题型丰富多样，是考试热点题型. 当题目中没有直接给出中位线时，根据已知条件合理构造中位线.例如，通过取中点、作平行线等方法构造中位线，搭建已知与未知的桥梁. Ⅰ 直接应用中位线定理 例1．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝　126°　． 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB， 设∠EBC＝∠ECB＝x， ∴∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝2x， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACE＝x， ∵FG是△ACE的中位线， ∴FG∥AC， ∴∠EFG＝∠ACE＝x， ∵D为BC的中点，F为CE的中点， ∴DF∥AB， ∴∠EFD＝∠AEF＝2x， ∵∠DFG＝∠GFE+∠EFD＝x+2x＝3x， ∴3x＝108°， ∴x＝36°， ∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝2x+90°﹣x＝90°+x＝90°+36°＝126°， 故答案为：126°． 【小结】此题考查三角形的中位线定理，关键是根据线段平分线、角平分线以及三角形中位线定理解答． 针对练习： 1．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE＝CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC＝18，BC＝12，则△CEG的周长为　27　． 【解答】解：∵点A、D关于点F对称， ∴点F是AD的中点． ∵CD⊥AB，FG∥CD， ∴FG是△ACD的中位线，AC＝18，BC＝12， ∴CGAC＝9． ∵点E是AB的中点， ∴GE是△ABC的中位线， ∵CE＝CB＝12， ∴GEBC＝6， ∴△CEG的周长＝CG+GE+CE＝9+6+12＝27． 故答案为：27． 【小结】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键． 2．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A'B于点F，连接A'E．当△A'EF为直角三角形时，AB的长为 　或2　． 【解答】解：当△A'EF为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A'EF＝90°时，如图， ∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称， ∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB， ∵点D，E分别为AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠CDE＝∠MAN＝90°， ∴∠CDE＝∠A'EF， ∴∠ACB＝∠A'EC， ∴∠A'CB＝∠A'EC， ∴A'C＝A'E＝2， 在Rt△A'CB中，E是斜边BC的中点， ∴BC＝2AE'＝4， 由勾股定理可得AB2＝BC2﹣AC2， ∴AB； ②当∠A'FE＝90°时，如图， ∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°， ∴∠ABF＝90°， ∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称， ∴∠ABC＝∠CBA'＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝AC＝2． 综上，AB的长为或2． 故答案为或2． 【小结】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． Ⅱ 添加辅助线构造中位线模型 例1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，点P在BC上，且CPBC，点E，F分别是AP，AD的中点． （1）PB的长是 　4　； （2）AE+EF＝　　． 【解答】解：（1）连接DP， ∵矩形ABCD，AB＝2，AD＝6， ∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝90°， ∵， ∴CP＝2，BP＝BC﹣CP＝4， （2）在Rt△ABP中，∠B＝90°，AB＝2，BP＝4， ∴， ∵E是AP中点， ∴， 在Rt△CDP中，∠C＝90°，CD＝2，CP＝2， ∴， ∵点E，F分别是AP，AD的中点， ∴， ∴． 故答案为：4；． 【小结】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 针对练习： 1．如图，正方形ABCD，点E为AB边上一点，AE＝3，BE＝1．∠EDC的平分线交BC于点F，点G是DE的中点，则GF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【解答】解：延长DF交AB的延长线于点H，如图所示： ∵AE＝3，BE＝1， ∴AB＝AE+BE＝4， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE5， ∵DF平分∠ECD， ∴∠CDF＝∠EDF， ∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠H，∠C＝∠CBH＝90°， ∴∠EDF＝∠H， ∴EH＝DE＝5， ∴BH＝EH﹣BE＝5﹣1＝4， ∴CD＝BH＝4， 在△CDF和△BHF中， ， ∴△CDF≌△BHF（ASA）， ∴CF＝BF， ∵点G是DE的中点， ∴GF是△DEH的中位线， ∴GFEH＝2.5． 故选：B． 【小结】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题关键． 2．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　2　． 【解答】解：连接DN、DB，如图所示： 在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2， ∴BD4， ∵点E，F分别为DM，MN的中点， ∴EF是△DMN的中位线， ∴EFDN， 由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4， ∴EF长度的最大值为2， 故答案为：2． 【小结】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点．连接EF，FM，则FM＝　1　；线段EF的最大值为　4　． 【解答】解：连接EM， ∵E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点， ∴FM，EM， 当EF＝EM+MF时，线段EF最大，即EF＝1+3＝4， 故答案为：1；4． 【小结】此题考查三角形中位线定理，关键是利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半解答． 4．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 　3　． 【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H． ∵∠A＝∠FPB＝60°， ∴AH∥PF， ∵∠B＝∠EPA＝60°， ∴BH∥PE， ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分． ∵G为EF的中点， ∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN． ∵CD＝10﹣2﹣2＝6， ∴MN＝3，即G的移动路径长为3． 【小结】本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点． 5．四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AC、EF，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD＝5，CD＝6，求EF的长． 【解答】解：连接BD，过D作DH∥AB于H，DG⊥AC于G， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAH＝90°， ∴四边形AGDH是矩形， ∴DH＝AG， 设AG＝x，则CG＝5﹣x， ∵DG2＝AD2﹣AG2＝52﹣x2，DG2＝DC2﹣GC2＝62﹣（5﹣x）2， ∴52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2， ∴x， ∴DH， ∵AH， ∴BH＝AB+AH， ∴BD7， ∵E、F分别是BC、CD的中点， ∴EFBD． 【小结】本题考查了三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．如图，已知BE，CD是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于点E，AD⊥DC于点D，求证： （1）DE∥BC （2）DE（AB+AC﹣BC） 【解答】证明：（1）延长AD交BC于G，延长AE交BC于H， ∵BE是△ABC的角平分线，BE⊥AH， ∴AE＝EH，BA＝BH， 同理，AD＝DG，CA＝CG， ∴DE是△AGH的中位线， ∴DE∥BC； （2）∵DE是△AGH的中位线， ∴DEGH， ∵BA＝BH，CA＝CG， ∴GH＝AB+AC﹣BC， ∴DE（AB+AC﹣BC）． 【小结】本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． Ⅲ 双中位线 例1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是线段AB上的动点，M、N分别是AD、CD的中点，连接MN，当点D由点A向点B运动的过程中，线段MN所扫过的区域的面积为 　12　． 【解答】解：分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG， 根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AEAC＝3，GCBC＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴S四边形AFGE＝AE•GC＝3×4＝12， ∴线段MN所扫过区域的面积为12， 故答案为：12． 【小结】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 针对练习： 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点．若AC＝4cm，BD＝6cm，则EF＝　　cm． 【解答】解：取BC的中点H，连接EH、FH， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴EHAC＝2，FHBD＝3，EH∥AC，FH∥BD， ∴∠EHF＝90°， ∴EF， 故答案为：． 【小结】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 2．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？ 【解答】解：相等．理由如下： 取AD的中点G，连接MG，NG， ∵G、N分别为AD、CD的中点， ∴GN是△ACD的中位线， ∴GNAC， 同理可得，GMBD， ∵AC＝BD， ∴GN＝GMACBD． ∴∠GMN＝∠GNM， 又∵MG∥OE，NG∥OF， ∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE， ∴OE＝OF． 【小结】注意此题中的辅助线：构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM，CD分别交于点E、F．求证：∠BEN＝∠NFC． 【解答】证明：取AC中点G，连接NG，MG， ∵点M，G，N分别是边AD，AC，BC的中点， ∴MG、NG分别是△ADC与△ABC的中位线， ∴NG∥AB，MG∥CF，NGAB，MGCD， ∴∠BEN＝∠FNG，∠CFN＝∠NMG， ∵NGAB，MGCD，AB＝CD， ∴NG＝MG， ∴∠MNG＝∠GMN， ∵∠MNG＝∠BEN， ∠GMN＝∠CFN， ∴∠BEN＝∠CFN． 【小结】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键． 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明） （温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE） （1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论． （2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明． 【解答】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE， 可知PE， PE∥AB， ∴∠PEF＝∠ANF， 同理PF， PF∥CD， ∴∠PFE＝∠CME， 又PE＝PF， ∴∠PFE＝∠PEF， ∴∠OMN＝∠ONM， ∴△OMN为等腰三角形． （2）判断出△AGD是直角三角形． 证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE， ∵F是AD的中点， ∴HF∥AB，HFAB， 同理，HE∥CD，HECD， ∵AB＝CD ∴HF＝HE， ∴∠HEF＝∠HFE， ∵∠EFC＝60°， ∴∠HEF＝60°， ∴∠HEF＝∠HFE＝60°， ∴△EHF是等边三角形， ∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°， ∴△AGF是等边三角形． ∵AF＝FD， ∴GF＝FD， ∴∠FGD＝∠FDG＝30° ∴∠AGD＝90° 即△AGD是直角三角形． 【小结】本题考查了三角形的中位线定理，解答此题的关键是作出三条辅助线，构造出和中位线定理相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强． 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点． （1）求证：PQ⊥MN； （2）判定△OEF的形状． 【解答】（1）证明： ∵M，P分别是边AB，BC的中点， ∴AM＝BM，BP＝CP， ∴PMAC ∵DN＝CN，BP＝CP， ∴PNBD． 又∵AC＝BD， ∴PM＝PN， ∴P在MN的中垂线上， ∵MQ＝NQ， ∴PQ⊥MN； （2）△OEF的形状是等腰三角形， 理由如下： ∵PM∥AC， ∴∠PMN＝∠EFO， ∵PN∥BD， ∴∠OEF＝∠FNP， 又∵∠PMN＝∠PNM， ∴∠EFO＝∠OEF， ∴△OEF的形状是等腰三角形． 【小结】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用三角形中位线定理证明PM＝PN． Ⅳ 中点四边形 【解题策略】各边中点顺次连接形成的四边形： 四边形(对角线无特点) →平行四边形 矩形(对角线相等) →菱形 菱形(对角线垂直) →矩形 正方形(对角线相等且垂直) →正方形 例1．如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形． 【解答】证明：∵D，G分别是AB，AC的中点， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG∥BC，DGBC． ∵E，F分别是OB，OC的中点， ∴EF是△OBC的中位线， ∴EF∥BC，EFBC． ∴DG＝EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形． 【小结】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 针对练习： 1．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．以上都不对 【解答】解：如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，DE， 根据三角形中位线定理可得： EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半， 根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形． 故选：A． 【小结】此题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为题目提供了平行线，为利用平行线判定平行四边形奠定了基础． 2．如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且，依次取AB、BC、CD、AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是 　　． 【解答】解：如图，延长BD交PQ于点E，交AC于点F， ∵AC⊥BD， ∴BF⊥AC， ∴∠CFD＝90°， ∵点P、Q分别是CD、AD的中点， ∴PQ是△ADC的中位线， ∴PQ∥AC，PQ， ∴∠BEP＝∠CFD＝90°， ∵点N、P分别是BC、CD的中点， ∴PN是△BCD的中位线， ∴PN∥BD，PN， ∵点M、Q分别是AB、AD的中点， ∴MQ是△BCD的中位线， ∴MQ∥BD，MQ， ∴MQ∥PN，MQ＝PN， ∴四边形MNPQ是平行四边形， ∵PN∥BD，∠BEP＝90°， ∴∠NPE＝90°， ∴平行四边形MNPQ是矩形， ∴矩形MNPQ的面积是PN•PQ， 故答案为：． 【小结】本题考查了矩形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（　　） A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关 C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关． 【解答】解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点， ∴四边形EGFH的周长＝FG+GE+EH+FH， 故选：B． 【小结】本题考查三角形的中位线定理理． 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 4．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添加条件 　AB＝CD（答案不唯一）　． 【解答】解：∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点， ∴， ∵四边相等的四边形是菱形， ∴当AB＝CD时，FH＝GE＝GF＝EH， 此时四边形EGFH是菱形； ∴可添加的条件为：AB＝CD； 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 【小结】本题考查三角形的中位线定理，以及菱形的判定．熟练掌握三角形的中位线是第三边的一半，四边相等的四边形是菱形，是解题的关键． 5．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 　BD＝AC且BD⊥AC　． 【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD． 理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， ∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线， ∴HG∥AC且HGAC； 同理EF∥AC且EFAC，同理可得EHBD， 则HG∥EF且HG＝EF， ∴四边形EFGH为平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH为菱形， ∵AC⊥BD，EF∥AC， ∴EF⊥BD， ∵EH∥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠FEH＝90°， ∴菱形EFGH是正方形． 故答案为：AC＝BD且AC⊥BD． 【小结】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 五. 直角三角形斜边上的中线 【题型解读】直角三角形斜边上的中线是直角三角形的一个重要性质，基于此性质的题型丰富多样. 常与直角三角形的其他性质（如勾股定理）、三角形全等以及四边形的知识综合出现，要求学生具备扎实的几何知识体系和综合运用能力.当题目中没有直接给出斜边上的中线时，可根据已知条件合理构造斜边上的中线.例如，通过取斜边中点，连接中点与直角顶点来构造中线，从而利用中线的性质解题. 例1．如图，在四边形ABCD中，AB＝5，AD＝AC＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°．M、N分别是对角线BD，AC的中点． （1）请判断MN和AC的位置关系，并证明； （2）求线段MN的长． 【解答】解：（1）MN⊥AC， 理由如下：如图，连接MA、MC， 在Rt△DAB中，M是BD的中点， ∴MABD， 同理可得：MCBD， ∴MA＝MC， ∵N是AC的中点， ∴MN⊥AC； （2）在Rt△DAB中，AB＝5，AD＝12， 由勾股定理得：BD13， ∴MA＝MC＝6.5， ∵AC＝12，N是AC的中点， ∴ANAC＝6， ∴MN2.5． 【小结】本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 针对练习： 1．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　） A． B． C．12 D．16 【解答】解：∵四边形AMEF是正方形， 又∵S正方形AMEF＝16， ∴AM2＝16， ∴AM＝4， 在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点， ∴， 即BC＝2AM＝8， 在Rt△ABC中，AB＝4， ∴， ∴， 故选：B． 【小结】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的面积计算公式，直角三角形面积的计算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的动点，点P是线段EF的中点，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为G，H，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝7，则GH的最小值为 　6.5　． 【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∴AC10， ∵P是线段EF的中点， ∴APEF＝3.5， ∵PG⊥BC，PH⊥CD， ∴∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH＝CP， 当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3.5＝6.5， ∴GH的最小值是6.5， 故答案为：6.5． 【小结】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出CP的最小值是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，求DM的长． 【解答】解：连接DF，DE， ∵AB＝AC＝16，AF⊥BC， ∴F是BC中点， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴， 同理：， ∴DF＝DE， ∵M为EF的中点， ∴， ∴． 【小结】本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，三边BC、AC、AB上的高AE、BF、CD相交于点M，P为BM的中点，Q为AC的中点，求证：PQ⊥ED． 【解答】证明：连接EQ，QD，EP，DP， ∵AE⊥BC，CD⊥AB， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∠CDB＝∠ADC＝90°， ∵点Q是AC的中点，点P是BM的中点， ∴DQAC，EQAC，EPBM，DPBM， ∴DQ＝EQ，EP＝DP， ∴PQ⊥DE． 【小结】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的角平分线、中线和高，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点． （1）求证：DE＝CE； （2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC． 【解答】（1）证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点， ∴DEAB，CEAB， ∴DE＝CE； （2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°， ∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°， 在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点， ∴DEAB＝AE，CEAB＝BE， ∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°， ∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，能熟记直角三角形斜边上中线性质是解此题的关键，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 6．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，AE为BC边中线，AE、BD相交于点O，连接DE． （1）判断△CDE的形状，并说明理由． （2）若OD＝2，求OB的长． 【解答】解：（1）△CDE是等边三角形，‘ 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴DE＝CEBC， ∴△CDE是等边三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC， ∵AE为BC边中线，BD⊥AC， ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC＝30°，∠ABD＝∠DBC∠ABC＝30°， ∴∠BAE＝∠ABD＝30°， ∴OA＝OB， ∵∠ADO＝90°，OD＝2， ∴AO＝2OD＝4， ∴OB＝OA＝4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 7．如图，在△ABD中，BE⊥AC于点E，△CBE的中线FE的延长线交AD于点G，∠1＝∠2＝α． （1）求证：△AGE是直角三角形． （2）若∠D＝α，BC＝GF＝2，求α的值和AB的长度． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠CEB＝90°， 在Rt△CBE中，EF是斜边BC上的中线， ∴EF＝CF＝BFBC， ∴∠FEB＝∠2， ∵∠CEF+∠FEB＝∠CEB＝90°， ∴∠CEF+∠2＝90°， ∵∠CEF＝∠AEG，∠1＝∠2， ∴∠AEG+∠1＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴△AGE是直角三角形； （2）解：∵∠1＝∠2＝α，∠D＝α， ∴∠ACB＝∠D+∠1＝2α， ∵∠CEB＝90°， ∴∠ACB+∠2＝90°， ∴2α+α＝90°， ∴α＝30°， 在Rt△BCE中，BC＝2，∠2＝α＝30°， ∴CEBC＝1， 由勾股定理得：BE， ∵EF＝CF＝BFBC＝1，BC＝GF＝2， ∴GE＝GF﹣EF＝1， 在Rt△AGE中，∠1＝α＝30°， ∴AE＝2GE＝2， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DC＝BE，G是CE的中点． （1）求证：DG⊥CE； （2）若∠BCE＝27°，求∠AEC的度数． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵CE是AB边上的中线， ∴点E为AB的中点， ∴DEAB， ∴DE＝BE， ∵CD＝BE， ∴DE＝CD， ∵G为CE中点， ∴DG⊥CE； （2）解：由（1）知DE＝DC＝BE， ∴∠BCE＝∠DEC＝27°，∠B＝∠BDE， ∵∠EDB＝∠DCE+∠DEC＝54°， ∴∠B＝∠EDB＝54°， ∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝81°． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE，由三角形外角的性质得到∠AEC＝∠B+∠BCE． 9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF． （1）求证：EF＝CF； （2）若∠BAC＝30°，AD＝12，求C、E两点之间的距离． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ∵点F是斜边AD的中点， ∴EFAD，CFAD， ∴EF＝CF； （2）解：连接CE，由（1）得EF＝AF＝CFAD＝6， ∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC， ∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×30°＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∴CE＝EF＝6， ∴C，E两点间的距离是6． 【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，求出∠EFC＝60°是解题的关键． 六. 四边形中的动点问题 【题型解读】四边形中的动点问题是初中数学的重要题型，它综合了四边形的性质、方程等知识，对学生的分析和解决问题能力要求较高.常见题型包括：四边形的存在性问题；最值问题；探究使四边形成为特殊四边形的动点位置或条件等. 例1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为 　4或5或　时，P、Q与四边形ABCD中任意两个顶点构成平行四边形． 【解答】解：∵点P以与秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动， ∴AP＝t，PD＝6﹣t，CQ＝3t，BQ＝16﹣3t， ∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ或PD＝CQ或PD＝BQ时，P、Q与四边形ABCD中任意两个顶点构成平行四边形． 当AP＝BQ时，则t＝16﹣3t， 解得：t＝4， 当PD＝CQ时，则6﹣t＝3t， 解得：t， 当PD＝BQ时，则6﹣t＝16﹣3t， 解得：t＝5， 综上所述：t的值为4或5或， 故答案为：4或5或． 【小结】本题考查了平行四边形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 针对练习： 1．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝　1或3或13　时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 【解答】解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2）， ∴OA＝4，BC＝3，BC∥x轴， ∵PC∥AQ， ∴当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形， 若0＜t时，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，此时3﹣2t＝t，解得t＝1； 若t＜4时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，此时2t﹣3＝t，解得t＝3； 若4＜t时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），此时2t﹣3＝4﹣3（t﹣4），解得t（舍去）； 若t时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，此时2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，解得t＝13； 综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为1或3或13． 【小结】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键 2．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（　　）s时，能够使△BPE与△CQP全等． A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或4 【解答】解：分两种情况： ①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP， ∵AB＝20cm，AE＝6cm， ∴EB＝14cm， ∴PC＝14cm， ∵BC＝16cm， ∴BP＝2cm， ∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动， ∴t＝2÷2＝1（s）； ②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP， 由题意得：2t＝16﹣2t， 解得：t＝4（s）， 故选：B． 【小结】此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定等知识，关键是掌握三边对应相等的两个三角形全等． 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t＝　或2或4　． 【解答】解：设t秒后四边形ABQP是平行四边形， 由题意得，AP＝t cm，CQ＝2t cm， 则BQ＝（10﹣2t）cm， ∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t＝10﹣2t， 解得， 即秒时四边形ABQP是平行四边形； 当四边形DCQP是平行四边形， 则PD＝（6﹣t）cm， ∵AD∥BC， ∴当PD＝CQ时，四边形DCQP是平行四边形， ∴2t＝6﹣t， 解得t＝2， 当PD＝BQ时，10﹣2t＝6﹣t， 解得t＝4， ∴或2或4秒时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形， 故答案为：或2或4． 【小结】本题考查平行四边形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t． （2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？ 【解答】解：（1）∵四边形ABQP为平行四边形， ∴AP＝BQ， 又∵AP＝AD﹣PD＝10﹣2t， BQ＝BC﹣CQ＝8﹣t， ∴10﹣2t＝8﹣t， 解得t＝2； （2）如图，过P作PE⊥BC于E， 当∠BQP为顶角时，QB＝QP，BQ＝8﹣t，PE＝CD＝6，EQ＝CE﹣CQ＝2t﹣t， 依据BQ2＝PQ2有：（8﹣t）2＝62+（2t﹣t）2， 解得 t； 当∠BPQ为顶角时，PB＝PQ， 由BQ＝2EQ有：8﹣t＝2（2t﹣t）， 解得t， 综上，t或t时，符合题意． 【小结】本题主要考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质及勾股定理的应用．在解题时应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 5．如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B﹣C的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？ （2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） 第一次相遇时间（秒）； 答：若动点M、N同时出发，经过秒钟两点第一次相遇； （2）如图2，当点M在线段AB上，点N在AC上时： ∵四边形ANDM为平行四边形， DM＝AN DM∥AN ∵△ABC为等边三角形， △BMD和△NCD是等边三角形， ∴BM+CN＝CN+AN＝8， ∴2t+3t＝8， ∴t， 此时BD； 如图3，当点M在线段AC上，点N在AB上时： 同理△BND和△MCD是等边三角形， AM＝3t﹣8， AN＝2t﹣8， ∴AM+AN＝AC＝8， 3t﹣8+2t﹣8＝8， t， 此时BD． 如图4，当点M在线段BC上，点N在AB上时， 同理△BMN和△MCD是等边三角形 CM＝3t﹣16 AN＝2t﹣8 ∴CM＝AN． 3t﹣16＝2t﹣8． t＝8＞7.5（不合题意，舍去）． 综上所述：运动了或时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD或． 【小结】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 【小结】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G，H分别是AD，BC中点，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）当0≤t＜5，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由； （2）若四边形EGFH为矩形，t的值为 　2或8　； （3）若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，则t的值为 　　. 【解答】解：（1）四边形EGFH一定是平行四边形，理由如下： 连接BD交AC于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，AD＝BC＝8，OA＝OCAC， ∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，AD∥BC，∠B＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC10， ∴OA＝OCAC＝5， ∵点E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒， ∴AE＝CF＝t， 当0≤t＜5时，点E在OA上运动，点F在OC上运动， ∵G，H分别是AD，BC中点， ∴AGAD，BBBC， ∴AG＝CH， ∵AD∥BC， ∴∠GAE＝∠HCF， 在△AGE和△CHF中， ， ∴△AGE≌△CHF（SAS）， ∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH， ∵∠OEG+∠AEG＝180°，∠OFH+∠CFH＝180°， ∴∠OEG＝∠OFH， ∴EG∥FH， 又∵EG＝FH， ∴四边形EGFH一定是平行四边形； （2）连接GH，如图2所示： ∵AE＝CF＝t，OA＝OC， ∴OE＝OF， ∵四边形EGFH一定是平行四边形； ∴GH经过点O， ∴OG＝OHGH， ∵四边形ABCD为矩形，G，H分别是AD，BC中点， ∴四边形ABHG和四边形CDGH均为矩形， ∴GH＝AB＝6， ∴OG＝OHGH＝3， ∴若四边形EGFH为矩形时，则OE＝OG＝3， ∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2， ∴当t＝2秒时，四边形EGFH为矩形， ∵0≤t≤10， ∴当t运动到点图中F的位置上时，点F运动到点E的位置上，此时四边形EGFH为矩形， 运动时间t＝8（秒）， 综上所述：若四边形EGFH为矩形，t的值为2或8； （3）连接CG，GH，如图3所示： ∵点G，H与点E，F同时运动，且运动的速度相同， ∴点G，H与点E，F运动的路程相同， ∵DG＝4， ∴点G到达点D时所用的时间t＝4， ∴0≤t＜4， ∴AG＝CH＝4+t， ∴DG＝AD﹣AG＝8﹣（4+t）＝4﹣t， ∵四边形EGFH是菱形，OE＝OF， ∴GH经过点O， ∴GH⊥EF， ∵OA＝OC， ∴GH为线段AC的垂直平分线， ∴CG＝AG＝4+t， 在Rt△CDG中，DG＝4﹣t，CG＝4+t，CD＝6， 由勾股定理得：CG2＝GD2+CD2， 即（4+t）2＝（4﹣t）2+62， 解得：t， ∴当t时，四边形EGFH为矩形． 故答案为：． 【小结】此题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解矩形的性质，菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是是解决问题的关键． 8．如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为10cm的等边三角形，且点B，D，C，E都在一条直线上，连接AD，CF． （1）四边形ADFC的形状是 　平行四边形　； （2）若BD＝3cm，此时△ABC沿着BE方向以1cm/s的速度运动，运动时间为t s， ①当四边形ADFC是菱形时，它的面积是 　　cm2； ②当运动时间t＝　13　s时，四边形ADFC是矩形． 【解答】解：（1）∵△ABC和△FDE都是边长为10cm的等边三角形， ∴AC＝DF，∠ACD＝∠FDE＝60°， ∴AC∥DF， ∴四边形ADFC是平行四边形， 故答案为：平行四边形． （2）①∵BD＝3cm，△ABC沿着BE方向以1cm/s的速度运动， 当四边形ADFC是菱形时，此时B与D重合， ∴t＝3秒时，平行四边形ADFC是菱形， ∴AD＝DF， 此时菱形ADFC的面积为， 故答案为：． ②当B与E重合，AF＝DC，AB＝EF＝DE＝DC，则四边形ADFC是矩形， 如图所示， t＝（3+10）÷1＝13秒时，四边形ADFC是矩形， 故答案为：13． 【小结】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E．F同时从A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B停止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s． （1）经过多少秒△DEF为等边三角形？ （2）经过多少秒四边形BEDF的面积为． 【解答】解：（1）设经过t秒△DEF为等边三角形， 延长AB至点M，使BM＝AE，连接FM， ∵BM＝AE， ∴BE+AE＝BE+BM，即AB＝EM， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD， ∴AD＝EM， ∵∠ADC＝120°， ∴∠A＝60°， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠DEF＝60°，DE＝EF， ∵∠DEM＝∠A+∠ADE＝∠DEF+∠MEF， ∴∠ADE＝∠MEF， 在△ADE和△MEF中， ， ∴△ADE≌△MEF（SAS）， ∴AE＝MF＝BM， ∵∠A＝60°， ∴∠FBM＝60°， ∴△BFM为等边三角形， ∴BF＝BM， ∴AE＝BF， ∵AE＝t cm，CF＝2t cm，AB＝4cm， ∴BC＝AB＝4cm，则BF＝（4﹣2t）cm， ∴t＝4﹣2t， 解得：， ∴经过秒△DEF为等边三角形． （2）解：设经过t秒四边形BEDF的面积为， 过点D作DG⊥BC于点G，作DH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD为菱形，AB＝4cm，∠ADC＝120°， ∴AD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠C＝60°， ∴∠ADH＝30°， ∴， 根据勾股定理可得：， 同理可得：， ∴， ∵AE＝t cm，CF＝2t cm， ∴，， ∵四边形BEDF的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴经过秒四边形BEDF的面积为． 【小结】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关知识点并灵活运用． 10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，动点P从B点开始，以1cm/s的速度沿折线B→A→D→C做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿B→C→E→C做匀速运动．设点P运动的时间为t秒，四边形PQED的面积为S，若四边形PQED的形状是平行四边形时，则t的取值范围是 　2≤t＜4　． 【解答】解：根据题意，当PD∥EQ，且PD＝EQ时，四边形PQED是平行四边形， ∵AB＝BC＝2cm，AB+AD＝BE＝4cm，且点P、点Q的速度都是1cm/s， ∴当点P在AD上运动，同时点Q在CE上运动，四边形PQED是平行四边形， ∵PD＝4﹣t，且0＜PD≤2， ∴0＜4﹣t≤2， 解得2≤t＜4， ∴t的取值范围是2≤t＜4， 故答案为：2≤t＜4． 【小结】此题重点考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、动点问题的求解等知识与方法，正确理解与运用平行四边形的判定定理是解题的关键． 七. 四边形中的多结论问题 【题型解读】四边形中的多结论问题是一类综合性较强的题型，通常会在一个四边形的背景下，给出多个相关的结论，要求考生判断这些结论的正确性. 【解题策略】逐个分析结论；利用特殊值法或反例法；借助图形辅助分析；积累常见模型和结论. 例1．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵DE＝BF， ∴DF＝BE， 在Rt△DCF和Rt△BAE中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL）， ∴FC＝EA，故①正确； ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∴AE∥FC， ∵FC＝EA， ∴四边形CFAE是平行四边形， ∴EO＝FO，故②正确； ∵Rt△DCF≌Rt△BAE， ∴∠CDF＝∠ABE， ∴CD∥AB， ∵CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确； 由以上可得出：△CDF≌△ABE，△CDO≌△ABO，△CDE≌△BAF，△BCD≌△△DAB， △CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△BOC等．故④错误． 故正确的有3个． 故选：B． 【小结】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt△DCF≌Rt△BAE是解题关键． 例2．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【解答】解：结论①DE＝EF， 如图所述，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥DC于点N，设CD，EF交于点H， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，EM⊥BC，EN⊥DC， ∴∠BCD＝∠CNE＝∠CME＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°， ∴四边形CMEN是矩形，且∠CEM＝45°，∠CEN＝45°， ∴△CEM，△CEN都是等腰直角三角形，即ME＝MC， ∴矩形CMEN是正方形， ∴EN＝EM， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°，则∠EDH+∠EHD＝90°， ∵∠DCB＝90°， ∴∠DCF＝90°，则∠CHF+∠CFH＝90°， ∵∠EHD＝∠CHF， ∴∠EDH＝∠HFC， 在Rt△DEN和Rt△FEM中， ， ∴Rt△DEN≌Rt△FEM（AAS）， ∴DE＝EF，故结论①正确； 结论②△DAE≌△DCG， 由结论①正确可知，DE＝EF，且四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形， ∴∠EDG＝90°，即∠EFN+∠CDG＝90°，且DG＝DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，即∠ADE+∠EDN＝90°，且DC＝AD， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△DAE和△DCG中， ， ∴△DAE≌△DCG（SAS），故结论②正确； 结论③AC⊥CG， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠DAC＝∠ACD＝45°， 由结论②正确可知，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝45°+45°＝90°， ∴AC⊥CG，故结论③正确； 结论④CE＝CF， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，点E是AC上的点， ∴当DE⊥AC时，点F于点C重合， ∴CE与CF不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：B． 【小结】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定，矩形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 针对练习： 1．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　①②④⑤　（填序号）． 【解答】解：①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形； ④OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ⑤∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； 故答案为：①②④⑤． 【小结】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H．下列结论：①BD＝DG； ②；③CH＝EH；④．其中正确的有 　①②③④　（填正确的序号）． 【解答】解：连接DF、HF，如图所示： ∵∠ABC＝90°，BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， 由旋转得：△ABC≌△ADE， ∴AD＝AB，∠ADE＝90°，∠DEA＝∠DAE＝45°， ∴，∠BAE＝90°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴∠GFB＝90°，EF＝AB＝AD＝ED，∠DEF＝90°﹣∠AED＝45°， ∴∠GBF＝90°﹣∠ABD＝22.5°， ∵∠EDC＝∠EFC＝90°，ED＝EF，EC＝EC， ∴△EDC≌△EFC（HL）， ∴CD＝CF， ∴， ∴∠GFD＝90°﹣∠CFD＝67.5°＝∠FGD， ∴BD＝FD＝GD， ∴点D是BG的中点， 即BD＝DG，故①正确； ∵∠GDC＝∠ADB＝67.5°， ∴∠EDG＝90°﹣∠GDC＝22.5°， ∵△EDC≌△EFC， ∴， ∴DH＝EH， ∵∠HDC＝∠HCD＝67.5°， ∴DH＝CH， ∴CH＝EH＝DH，故③正确； ∵CH＝EH，∠EFC＝90°， ∴， ∵∠HDF＝∠DBF+∠DFB＝45°， ∴△HDF是等腰直角三角形， ∴， ∵CE＝2DH，BD＝DF， ∴，故②正确； 设DF交CE于O， ∵△HDF是等腰直角三角形，∠DHC＝∠FHC＝45°， ∴△DOH和△FOH都是等腰直角三角形， ∴OD＝OH＝OF， 设OD＝OH＝OF＝a， ∴DG＝DF＝2a，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 即，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 【小结】本题综合考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，综合性较强． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E、F分别在边AD、BC上（点E不与A、D重合）且AF∥CE，DP⊥AF于点P，交CE于点Q，BM⊥CE于点M，交AF于点N．给出下面四个结论：①AC＝5；②DQ＝CM；③四边形PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 　①③④　． 【解答】解：①AC5，故①正确； ②若DQ＝CM，则有△CQD≌△BMC，推出BC＝DC，与已知矛盾，故②错误； ③AE∥CF，DP⊥AF，BM⊥CE，四个角都是直角，是矩形，故③正确； ④∵∠ADP+∠PDC＝90°，∠DCE+∠PDC＝90°， ∴∠ADP＝∠DCQ， 在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴∠DAP＝∠BCM， ∵∠APD＝∠CMB， ∴△APD≌△CMB（AAS）， ∴AP＝CM， 如图，设PQ、MN分别交AC于点J、K， ∵AF∥CE， ∴∠PAJ＝∠MCK， 又∵∠APD＝∠CMB， ∴△APJ≌△CMK（ASA）， ∴PJ＝MK， ∵四边形PQMN是矩形， ∴PQ＝MN，PN＝QM， ∴AC平分四边形PQMN的周长， 故④正确； 正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 【小结】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论： ①BE⊥AC； ②EG＝GF； ③△EFG≌△GBE； ④EA平分∠GEF； ⑤四边形BEFG是菱形． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤ 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BO＝DOBD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC， 又∵BD＝2AD， ∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点， ∴BE⊥AC， 故①正确； ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF∥CD，EFCD， ∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点， ∴GEAB＝AG＝BG ∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF， 故②错误； ∵BG＝EF，AB∥CD∥EF， ∴四边形BGFE是平行四边形， ∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE， ∴△BGE≌△FEG（SSS） 故③正确； ∵EF∥CD∥AB， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF， ∵AG＝GE， ∴∠GAE＝∠AEG， ∴∠AEG＝∠AEF， ∴AE平分∠GEF， 故④正确， 若四边形BEFG是菱形 ∴BE＝BGAB， ∴∠BAC＝30° 与题意不符合 故⑤错误， 故选：B． 【小结】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 5．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC；②当点D与点C重合时，FH；③AE+CDDE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　①②④　． 【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1： ∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC， ∴BPBC， ∴AP， ∴．故①正确； ②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2： ∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°， ∴BE是∠ABC的平分线， ∵AB＝BC， ∴AE＝ECAC， ∵CF∥AB， ∴∠FCA＝∠A＝60°， ∵GF∥BC， ∴∠FEC＝∠ACB＝60°， ∴∠FCE＝∠FEC＝60°， ∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°， ∴△EFC为等边三角形， ∴FC＝EC， 即FH．故②正确； ③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P， ∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN， ∵∠DBE＝30°， ∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN， ∴∠EBN＝∠DBE＝30°， 又∵BD＝BN，BE＝BE， ∴△DBE≌△NBE（SAS）， ∴DE＝NE， ∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°， ∴APAN，NPAPANCD， ∵NP2+PE2＝NE2， ∴CD2+（AECD）2＝DE2， ∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°， ∵GF∥BH，BG∥HF， ∴四边形BHFG是平行四边形， ∵GF∥BH，BG∥HF， ∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°， ∴△AGE，△DCH都是等边三角形， ∴AG＝AE，CH＝CD， ∵AE＝CD， ∴AG＝CH， ∴BH＝BG， ∴▱BHFG是菱形，故④正确， 故答案为：①②④． 【小结】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形，找出AE，CD，DE的关系是解题的关键． 6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．下列结论： ①BE⊥AC；②BG＝GF； ③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF； ⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是 　①③④　．（填写序号） 【解答】解：如图，连接AF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，BC＝AD， ∵BD＝2AD， ∴OB＝OD＝BC＝AD， ∵CE＝EO，OF＝DF， ∴BE⊥AC，故①正确， 若BG＝GF，则FG＝BG＝AG， 推出∠BFA＝90°，这个显然不可能，故②错误， ∵OE＝CE，OF＝DF， ∴EF∥CD，EFCD， ∵CD∥AB，BG＝AG， ∴EF∥BG，EF＝BG， ∴四边形BEFG是平行四边形， ∵GB≠GF， ∴四边形BEFG不一定是菱形，故⑤错误， ∵BE＝FG，EF＝GB，EG＝GE， ∴△EFG≌△GBE（SSS），故③正确， 同法可证四边形AFEG是菱形， ∴AE平分∠GEF，故④正确． 故答案为：①③④． 【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等． 7．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连结AC交EF于点G，给出下面四个结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AG＝2CG；④．上述结论中，正确结论的序号有 　①②④　． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°． ∵△AEF等边三角形， ∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°． ∴∠BAE+∠DAF＝30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF故①正确； ∠BAE＝∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF＝30°， 即∠DAF＝15°故②正确； ∵BC＝CD，BE＝DF， ∴CE＝CF， ∴CG＝EG＝FG， ∵AGEF， ∴AGCG，故③错误； ∵△CEF是等腰直角三角形， ∴∠CEG＝∠ECG＝45°， ∴CGCE，故④正确； 故答案为：①②④． 【小结】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键． 8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，且不与A，C重合，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接ED，FG，①；②若，则DE＝2；③DE＝FG；④FG的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是 　①③④　． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， AB＝BC＝4， ∴，故①正确； 如图1，连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OD⊥AC， OD＝OA， ∴OE＝OA﹣AE， ∴，故②不正确； 如图2，连接BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，BC＝DC，∠BCE＝∠DCE， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠BFE＝∠BGE＝90°， ∴四边形BGEF是矩形， ∴BE＝FG， 在△BCE和△DCE中 ， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴BE＝DE， ∴DE＝FG，故③正确； 当BE⊥AC时，BE的值最小， 此时BE＝BO， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴FG的最小值为；故④正确； 故答案为：①③④． 【小结】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，化为最简二次根式等；掌握相关的判定方法及性质，找出取得最值的条件是解题的关键． 9．如图，在矩形ABCD中，其中AD＜AB≤2BC，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作▱CEFG．则下列结论： ①∠AEF＝∠DCG； ②矩形ABCD的面积等于▱CEFG的面积； ③DE＝AB； ④四边形CEFG是正方形； 其中一定正确的结论是 　①④　．（填写所有正确结论的序号） 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠ADC＝90°，AD＝BC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝45°， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴AD＝AE， ∴AE＝BC， ∵四边形CEFG是平行四边形，且EF⊥CE， ∴四边形CEFG是矩形，∠AEF＝90°﹣∠BEC＝∠BCE， 在△AEF和△BCE中， ， ∴△AEF≌△BCE（ASA）， ∴EF＝CE， ∴四边形CEFG是正方形，④说法正确； ∵∠AEF＝∠BCE，∠DCG＝90°﹣∠ECD＝∠BCE， ∴∠AEF＝∠DCG，①说法正确； ∵∠AED＝∠ADE＝45°， ∴， ∵AD＜AB≤2BC，不能比较AB与AD的大小关系， ∴DE≠AB，③说法不正确； ∵△AEF≌△BCE，四边形CEFG是正方形， ∴BE＝AF， 设BE＝AF＝a，AD＝AE＝b，则AB＝a+b， ∴EF2＝AF2+AE2＝a2+b2， ∴，， ∵ab+b2≠a2+b2，②说法不正确； 综上，一定正确的结论是①④； 故答案为：①④． 【小结】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 八. 四边形中的折叠问题 【题型解读】四边四边形中的折叠问题是一类综合性较强的题型，它涉及到四边形的性质、图形的变换以及相关的几何计算. 【解题策略】 1.确定不变量：分析折叠前后哪些量是不变的，如线段的长度、角的度数等.这些不变量是解决问题的关键. 2.利用轴对称性质：折叠是一种轴对称变换，根据轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.利用这些性质可以找出折叠后图形中的等量关系. 3.构造方程：在计算线段长度等问题时，常常需要设未知数，然后根据已知条件和几何关系列出方程求解.例如，利用勾股定理来建立方程. 4.结合全等：通过观察折叠后图形中的全等三角形，利用它们的性质来推导边和角的关系. 例1．综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′． （1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长； （2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形． 【解答】解：（1）由折叠知EC＝EC， ∴∠EC'C＝∠ECC'＝15°， ∴∠BEC'＝∠ECC'+∠ECC＝30°， ∵EC⊥AB， ∴∠EC'B＝90°， ∴BE＝2BC． 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴BC＝2， ∴； （2）证明：由折叠知∠CEF＝∠CEF，∠EFD＝∠EFD．由▱ABCD得AD∥BC，∠D＝∠B， ∴∠CEF+∠EFD＝180°． ∴∠C'EF+∠EFD'＝180°．， ∴CE∥DF． ∴∠BCE＝∠D′＝∠D＝∠B． ∴BE＝CE＝CE． ∴， ∵AD∥BC，点D在BA延长线上， ∴∠B＝∠DAF＝∠D． ∴AF＝DF＝DF． ∴， ∵AD＝BC， ∴CE＝DF． 又∵CE∥DF， ∴四边形ECDF是平行四边形． 【小结】本题考查平行四边形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 针对练习： 1．（1）如图①所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝　72°　． （2）如图②，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，其中AB＝9，BC＝6，则FC'的长为 　5　． 【解答】解：（1）∵纸片为矩形， ∴BC∥DE，AD1∥EC1， ∴∠EAB＝∠ABC＝36°，∠D1AD＝∠C1EA， 由折叠的性质得：∠EBA＝∠ABC＝36°， ∵∠C1EA＝∠EAB+∠EBA＝36°+36°＝72°， ∴∠D1AD＝72°， 故答案为：72°； （2）由折叠的性质得：FC＝FC′， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝9，∠D＝90°， 设FC′＝x， 则FD＝CD﹣FC＝CD﹣FC′＝9﹣x， ∵点C′为AD的中点， ∴C′DAD6＝3， 在Rt△FC′D中，∠D＝90°， 由勾股定理得：FC′2＝FD2+C′D2， 即x2＝（9﹣x）2+32， 解得：x＝5， 即FC′的长为5， 故答案为：5． 【小结】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质是解题的关键． 2．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为　5　． 【解答】解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x， ∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点， ∴AD＝BC＝6，C′D＝3． 在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3， ∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32， 解得：x＝5． 故答案为：5． 【小结】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt△FC′D中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元一次方程是解题的关键． 3．如图，长方形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠长方形ABCD，使点B，C分别落在G，F处． （1）如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN＝ 　　； （2）如图2，若点M与点B重合，连接DF，当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为 　　． 【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，CD＝4， ∴∠D＝90°，DN＝4﹣CN， ∵F为线段AD的中点， ∴DF＝AFAD， 由折叠得FN＝CN， ∵DF2+DN2＝FN2， ∴（4﹣CN）2＝CN2， 解得CN， 故答案为：． （2）如图2，连接BD， ∵∠C＝90°，BC＝AD＝3，CD＝4， ∴BD5， 由折叠得BF＝BC＝3，FN＝CN，∠BFN＝∠C＝90°， ∵DF+BF≥BD， ∴当点F落在BD上时，DF+BF＝BD，此时DF+BF的值最小， 如图3，点F落在BD上，则∠CFN＝∠BFN＝90°，DF＝BD﹣BF＝5﹣3＝2， ∵DF2+FN2＝DN2， ∴22+CN2＝（4﹣CN）2， 解得CN， 故答案为：． 【小结】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、两点之间线段最短等知识，根据勾股定理正确地列出方程是解题的关键． 4．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 【解答】解：延长EF交CD于点M，连接BM，如图所示： 设AE＝a， ∵四边形ABCD为正方形，且边长为3， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴DE＝AD﹣AE＝3﹣a， 根据轴对称的性质得：EA＝EF＝a，AB＝BF＝3，∠A＝∠BFE＝90°， ∴∠BFM＝∠BFE＝90°，BF＝BC＝3， 在Rt△BFM和Rt△BCM中， ， ∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL）， ∴MF＝MC， ∴∠MFC＝∠MCF， ∵∠DFC＝90°， ∴∠MFD+∠MFC＝90°，∠MDF+∠MCF＝90°， ∴∠MFD＝∠MDF， ∴MF＝MD， ∴MC＝MF＝MDCD， ∴EM＝EF+MF， 在Rt△DEM中，DE＝3﹣a，EM，MD， 由勾股定理得：EM2＝DE2+MD2， ∴， 解得：a＝1， ∴AE＝1． 故选：A． 【小结】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 九. 四边形中的分类讨论问题 【题型解读】四边形中的分类讨论问题是一类较为复杂且具有挑战性的题型，需要根据不同的情况进行全面分析和讨论. 【解题策略】 1.明确分类标准：仔细分析题目条件，确定是按四边形的形状、边或角的关系，还是动点的位置等进行分类，确保分类不重不漏. 2.逐一分析情况：对每种分类情况，根据相应的几何性质和定理进行详细的分析和计算，得出每种情况下的结果. 3.综合归纳结论：将所有分类情况的结果进行综合，得出最终的答案或结论.同时，要检查不同情况下的结果是否符合题目条件和实际情况. 例1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（4，3）、（6，﹣2），在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标：　（9，0）或（﹣1，6）或（3，﹣4）　． 【解答】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． ①当AB∥CD，AC∥BD时，D1（9，0）； ②当AD∥BC，AC∥BD时，D2（﹣1，6）； ③当AB∥CD，AD∥BC时，D3（3，﹣4）． 故答案为：（9，0）或（﹣1，6）或（3，﹣4）． 【小结】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 例2．已知正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为点E，连接PE，BE，CE，DE，当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，AP的值为 　或　． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°， 根据轴对称的性质得：PA＝PE，AB＝BE＝4，∠PEB＝∠BAD＝90°，∠PBA＝∠PBE， 当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况： ①当CE＝CD＝4时，过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，如图1所示： ∴∠NMD＝∠MNC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∵四边形CDMN是矩形， ∴MN＝CD＝4， ∵BE＝BC＝CE＝4， ∴△EBC是等边三角形， ∴CN＝1/2BC＝2，∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°， 在Rt△ECN中，由勾股定理得：EN， ∴ME＝MN﹣EN， 在四边形ABEP中，∠PEB＝∠BAD＝90°，∠ABE＝30°， ∴∠APE＝90°﹣∠ABE＝150°， ∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°， 在Rt△PME中，PE＝2ME， ∴AP＝PE； ②当CE＝DE时，过点E作EH⊥CD，HE的延长线交AB于点T，如图2所示： ∴DH＝CH， ∴HT是CD的垂直平分线， ∴HT是正方形ABCD的一条对称轴， ∴AE＝BE＝4， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∴∠PBA＝∠PBE＝30°， 在Rt△ABP中，BP＝2AP， 由勾股定理得：ABAP， ∴APAB． 综上所述：当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，AP的值为或． 【小结】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 针对练习： 1．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别是A（0，4）、B（﹣3，0）、C（m，0）（m≠﹣3）．如果存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则m的值等于（任写三个即可） 　3或﹣8或2或（任写3个即可）　． 【解答】解：如图1所示，当AB为菱形ABDC的边时， ∵四边形ABDC是菱形， ∴点B与点C关于AD对称，AD在y轴上， ∵B（﹣3，0）， ∴点C的坐标为（3，0）， ∴m的值等于3； 如图2所示，当AB为菱形ABCD的边时，当点C在x轴的负半轴时， ∵A（0，4），B（﹣3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5， ∵B（﹣3，0）， ∴C点坐标为（﹣8，0）， ∴m的值等于﹣8； 如图3所示，当AB为菱形ABCD的边时，当点C在x轴的正半轴时， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5， ∵B（﹣3，0）， ∴C点坐标为（2，0）， ∴m的值等于2； 如图4所示，当AB为菱形ADBC的对角线时， ∵A（0，4），B（﹣3，0），C（m，0）（m≠﹣3）， ∵四边形ADBC是菱形， ∴AC＝BC，即AC2＝BC2， ∴（m﹣0）2+（4﹣0）2＝（m+3）2， 解得； 综上所述，m的值等于3或﹣8或2或． 故答案为：3或﹣8或2或（任写3个即可）． 【小结】此题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2．如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　（5，4）或（4，4）　． 【解答】解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m， ∵A（0，4），B（8，0）， ∴OA＝4，OB＝8， ∵四边形ABCD为菱形， ∴CA＝AD＝BC＝m，AD∥BC， ∴OC＝8﹣m， 在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5， ∴D（5，4）； 当AB为菱形的边时，如图2， AB4， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC， ∴D（4，4）， 综上所述，D点坐标为（5，4）或（4，4）． 故答案为（5，4）或（4，4）． 【小结】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了菱形的性质和坐标与图形． 3．如图，小明用三个等腰三角形（图中①②③）拼成了一个平行四边形ABCD，且∠D＞90°＞∠C，则∠C＝　72°或　． 【解答】解：由题意可知：AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA，设∠DAE＝∠DEA＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，∠C＝∠DAB， ∴∠DEA＝∠EAB＝x， ∴∠C＝∠DAB＝2x， ①AE＝AB时，若BE＝BC， 则有∠BEC＝∠C，即（180°﹣x）＝2x，解得x＝36°， ∴∠C＝72°， 若EC＝EB，则有∠EBC＝∠C＝2x， ∵∠DAB+∠ABC＝180°， ∴4x（180°﹣x）＝180°， 解得x， ∴∠C， ②EA＝EB时，同法可得∠C＝72°， ③BA＝BE时，∵∠AEB＝∠BAE＝x， ∴∠DEB＝2x， ∵∠C＝2x，∠DEB＝∠C+∠EBC， 这种情形显然不可能， 综上所述，∠C＝72°或． 故答案为72°或． 【小结】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 4．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　4或﹣2　． 【解答】解：根据题意画图如下： 以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点C的坐标为（4，1）或（﹣2，1）， ∴x＝4或﹣2； 故答案为：4或﹣2． 【小结】本题主要考查了平行四边形的判定，解答本题的关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 5．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，连接DE，F为DE的中点．若线段，那么OE的长为 　14或10　． 【解答】解：如图所示：延长DA，使AG＝AD，连接EG，过点E作EH⊥DG， ∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O， ∴∠AOD＝90°，AO＝OD，∠CAD＝45°， ∴∠EAH＝∠CAD＝45°，OA2+OD2＝AD2， ， OA2＝36， OA＝6或﹣6（舍去）， ∵EH⊥DG， ∴∠EHA＝∠GHE＝90°， ∴∠AEH＝∠EAH＝45°， ∴AH＝EH， 设AH＝EH＝x， ∵正方形ABCD的边长为，即AG， ∴GH＝AG﹣AH， ∵AD＝AG，F为DE的中点， ∴AF是△DGE的中位线， ∴GE＝2AF， 在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+EH2＝GE2， ， ， ， ， ， b2﹣4ac ＝72﹣64 ＝8， ∴， ， 当AH＝EH时，，OE＝AE+AO＝8+6＝14， 当AH＝EH时，，OE＝AE+AO＝4+6＝10， ∴OE的长为14或10， 故答案为：14或10． 【小结】本题主要考查了正方形的性质、中位线定理和勾股定理等，解题关键是添加辅助线改造直角三角形． 6．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边OA、OC分别在坐标轴上，点B的坐标是（3，3）．在正方形ABCO的边上找一点P，使得△POC是OC边上的“完美三角形”，点P的坐标为　（1.5，3）或（3，）或（0，）　． 【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，点B的坐标是（3，3）， ∴C（3，0），A（0，3）， ∴OC中点D的坐标为（1.5，0）， 如图所示，当点P在AB上时，设P（m，3）； ∵△POC是OC边上的“完美三角形”， ∴P1D＝OC＝3， ∴（m﹣1.5）2+（3﹣0）2＝32， 解得m＝1.5， ∴点P的坐标为（1.5，3）． 如图2所示，当点P在BC上时，设P（3，n）； ∵△POC是OC边上的“中线三角形”， ∴P2D＝OC＝3， ∴（n﹣0）2+（3﹣1）2＝32， 解得m（负值舍去）， ∴点P的坐标为（3，）， 如图3所示，当点P在OA上时，设P（0，s）； ∵△POC是OC边上的“中线三角形”， ∴P3D＝OC＝3， ∴（s﹣0）2+（0﹣1）2＝32， 解得s（负值舍去）， ∴点P的坐标为（0，）； 综上所述，点P的坐标为（1.5，3）或（3，）或（0，）． 【小结】本题主要考查了正方形的性质，利用正方形的性质得到C（3，0），A（0，3）求解是解题的关键． 7．如图，正方形ABCD的边长为8，点E在CD边上，CE＝4，若点F在正方形的某一边上，满足CF＝BE，且CF与BE的交点为M，则CM的长度为　或2　． 【解答】解：分两种情况： ①如图1所示，当点F在AD上时， 由CF＝BE，CD＝BC，∠BCE＝∠CDF＝90°可得，Rt△BCE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠DCF＝∠CBE， 又∵∠BCF+∠DCF＝90°， ∴∠BCF+∠CBE＝90°， ∴∠BMC＝90°，即CF⊥BE， ∵BC＝8，CE＝4，∠BCE＝90°， ∴BE＝4， ∴CM． ②如图2所示，当点F在AB上时， 同理可得，Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）， ∴BF＝CE， 又∵BF∥CE， ∴四边形BCEF是平行四边形， 又∵∠BCE＝90°， ∴四边形BCEF是矩形， ∴CMBE42． 故答案为：或2． 【小结】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为边CD的中点，连接AE，BE．P为边AD上一点（不与点A重合），连接BP，若点A关于BP的对称点A′恰好落在△ABE的边上，则线段AP的长为 　1或1　． 【解答】解：分两种情况： ①如图所示，当点A'落在AE上时， ∵AP＝A'P，AB＝A'B， ∴BP垂直平分AE， ∴∠ABP+∠BAE＝90°＝∠DAE+∠BAE， ∴∠ABP＝∠DAE， 在△ABP与△DAE中， ， ∴△ABP≌△DAE（ASA）， ∴AP＝DE， ∵正方形ABCD中，AB＝2，E为边CD的中点， ∴DE＝1， ∴AP＝1； ②如图所示，当点A落在BE上时，连接PE， 设AP＝x，则DP＝2﹣x，A'P＝x， 由折叠可得，A'B＝AB＝2，∠BA'P＝∠BAP＝90°， Rt△BCE中，BE， ∴A'E2， ∵A'P2+A'E2＝PE2＝PD2+DE2， ∴x2+（2）2＝（2﹣x）2+12， 解得x1． ∴AP1． 综上所述，线段AP的长为1或1． 故答案为：1或1． 【小结】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 十. 四边形中的尺规作图问题 【题型解读】四边形中的尺规作图问题主要涉及利用直尺和圆规，依据给定条件作出满足要求的四边形；或者根据题目的作图判定所作的四边形的形状. 例1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＜AD． （1）利用尺规作∠BAD的平分线AG，交BC于点E，记点B关于AE对称的点为F（求保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 【解答】解：（1）①∠BAD的平分线AG，交BC于点E，②作BF⊥AE交AD于F，则点B、F关于AE对称，图象如图所示， （2）设AE与BF交于点O， ∵AE垂直平分BF， ∴BOFB＝3， 在RT△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝5，BO＝3， ∴AO4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAO＝∠AEB＝∠BAE， ∴BA＝BE， ∵BF⊥AE， ∴AO＝OE＝4， ∴AE＝8． 【小结】本题考查平行四边形的性质、角平分线、对称、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ABE是等腰三角形，利用等腰三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 针对练习： 1．已知△ABC（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解答】解：由图可知先作AC的垂直平分线，再连接AC的中点O与B点，并延长使BO＝OD， 可得：AO＝OC，BO＝OD， 进而得出四边形ABCD是平行四边形， 故选：B． 【小结】本题考查了复杂的尺规作图，解题的关键是根据平行四边形的判定解答． 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则DG的长为 　　． 【解答】解：如图，连接EG， 根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线， ∴∠EBG＝∠CBG， 在△EBG和△CBG中， ， ∴△EBG≌△CBG（SAS）， ∴GE＝GC， 在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10， ∴AE8， ∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2， 在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG， ∴EG2﹣DE2＝DG2 ∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2， 解得CG， ∴DG＝CD﹣CG＝6． 故答案为：． 【小结】本题考查了矩形的性质，作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 3．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【解答】解：由作图得AB＝AD，CB＝CD＝AD， ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∵四条边相等的四边形是菱形， ∴四边形ABCD是菱形， 故选：D． 【小结】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识，根据“四条边相等的四边形是菱形“证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝9，由尺规作图可以确定BC边上一点E，取AD的中点F，连接EF，则EF的长可能是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【解答】解：如图，连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM， 由题意可知，点E是BC的中点， ∵点F是AD的中点， ∴FM是△ABD的中位线，EM是△BCD的中位线， ∴FMAB＝1，EMCD， ∵EM﹣FM＜EF＜EM+FM， ∴1＜EF1， 即EF， 故选：C． 【小结】本题考查了三角形中位线定理以及三角形的三边关系，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 5.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF． 【解答】证明：由题意可得：AE＝FC， 在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C 在△ABE和△CDF中，， 所以，△ABE≌△CDF（SAS）． 【小结】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键． 6．【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，矩形ABCD． 求作：正方形ABEF，使点E、F分别在BC、AD上． 小明的作法： （1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点F； （2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E； （3）连接EF. 【解答问题】 请你根据材料中的信息，证明四边形ABEF是正方形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， 由作图知，AB＝AF＝BE， ∴AF＝BE，AF∥BE， ∴四边形ABEF是矩形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是正方形． 【小结】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 十一. 坐标系中的四边形 【题型解读】坐标系中的四边形问题是初中数学的重要题型，它将四边形的性质与坐标系的知识相结合. 常考题型包括：求四边形顶点坐标；判断四边形的形状；探究四边形的存在性问题等. 考察学生的数形结合思想、方程思想、分类讨论思想. 例1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． （1）AC的长为 　2　； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形ABCD为平行四边形，则D点的坐标为 　（4，2）　． 【解答】解：（1）∵A点坐标为（2，3），C点坐标为（0，﹣1）， ∴AC的长为：2， 故答案为：2； （2）△ABC是直角三角形， 理由：∵A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）， ∴AB5，BC，AC＝2， ∴AB2＝52＝25，BC2+AC2＝25， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形； （3）如图所示， 以A、B、C及点D为顶点的四边形ABCD为平行四边形，则D点的坐标为（4，2）， 故答案为：（4，2）， 【小结】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 针对练习： 1．工艺美术中常需要设计几何图案．如图，在5×5的正方形网格中，已确定三个格点A，B，C的位置，需要在图中确定点P，使得以P，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形．为了精准刻画点P的位置，需建立平面直角坐标系xOy．若点A（2，2），C（3，1）． （1）请画出平面直角坐标系xOy； （2）在图中描出点P的位置，并写出所有符合条件的点P的坐标． 【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系xOy； （2）如图所示，所有符合条件的点P的坐标为（0，1）或（2，﹣1）或（4，3）． 【小结】本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形性质，正确地找出点P的位置是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一个四边形ABCD，其顶点坐标分别为A（2，3），B（6，3），C（8，﹣1），D（4，﹣1）． （1）证明四边形ABCD为平行四边形； （2）如图，点G为AC与BD的交点，线段BE为∠ABD的角平分线，线段DF为∠BDC的角平分线，证明∠BEC＝∠AFD． 【解答】证明：（1）∵A（2，3），B（6，3），C（8，﹣1），D（4，﹣1）， ∴AB∥CD，AB＝6﹣2＝4，CD＝8﹣4＝4， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形； （2）由（1）可知，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF，∠ABD＝∠BDC， ∵线段BE为∠ABD的角平分线，线段DF为∠BDC的角平分线， ∴∠ABE∠ABD，∠CDF∠BDC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠AFD＝∠DCF+∠CDF， ∴∠BEC＝∠AFD． 【小结】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质、平行线的判定与性质、角平分线定义以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 　（，）　． 【解答】解：如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝90°， ∵AC∥x轴， ∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°， ∵AC＝6， ∴OCAC＝3， ∴OAOC＝3， ∴ODOA， ∴ADOD， ∴点A的坐标是（，）； 故答案为：（，）． 【小结】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点BP的长度为　3　． 【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7）， ∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7， ∵D（5，0）， ∴OD＝5， ∵点P是边AB的一点， ∴OD＝DP＝5， ∵AD＝3， ∴PA4， ∴PB＝3 故答案为：3． 【小结】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质． 5．已知平面直角坐标系内有三点A（2，2），B（5，2），C（5，），请确定一个点D，使四边形ABCD为矩形，则点D的坐标是 　（2，）　． 【解答】解：如图， ∵A（2，2），B（5，2），C（5，）， ∴AB∥x轴，AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 当DC∥AB，AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形，DC∥x轴， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥CD， ∴点D的坐标为（2，）， 故答案为：（2，）． 【小结】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，B（2，0），若平移点B到点C，使以点O，A，B，C为顶点的四边形是菱形，则平移方法错误的是（　　） A．向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度 B．向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度 【解答】解：如图， ∵B（2，0）， ∴OB＝2， A、由平移的性质得：AC∥OB，AC＝OB＝2，C（﹣1，）， ∴OC2， ∴四边形OBAC是平行四边形，OB＝OC， ∴平行四边形OBAC是菱形，故选项A不符合题意； B、向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，四边形OBAC不是菱形，故选项B符合题意； C、同A得平行四边形OBCA是菱形，故选项C不符合题意； D、同C得平行四边形OABC是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【小结】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、平移的性质以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握菱形的性质好平移的性质是解题的关键． 7．如图，Rt△AOD位于平面直角坐标系中，点A的坐标为，∠AOD＝30°，若点C是平面内任一点，在x轴正半轴上存在点B，使A、C、B、O为顶点的四边形是菱形，则满足条件的点C的坐标为 　；；　． 【解答】解：当OB为对角线时，连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴OB垂直平分AC， ∴此时点A与点C关于x轴对称， ∵点A的坐标为， ∴此时点C的坐标为； 当OB为菱形的一条边，OA为另一条边时，如图所示： ∵△AOD为直角三角形，点A的坐标为， ∴AD＝1，，， ∵四边形OACB为菱形， ∴AC＝OA＝2， ∴此时点C的坐标为； 当OB为菱形的一条边，OA为对角线时，如图所示： ∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形OACB为菱形， ∴AC＝CO， ∵∠ADC＝90°，∠AOD＝30°， ∴∠OAD＝90°﹣30°＝60°， ∴△AOC为等边三角形， ∴AC＝OA＝2， ∴此时点C的坐标为； 综上分析可知，点C的坐标为：；；． 故答案为：；；． 【小结】本题主要考查了坐标和图形，勾股定理，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点C坐标为（3，2），则点A的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，3） 【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝AB＝BC＝OC，∠AOC＝90°， ∴∠AOD+∠EOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°， ∴∠OAD＝∠EOC， 在Rt△AOD，Rt△OCE中， ， ∴Rt△AOD≌Rt△OCE（ASA）， ∴DO＝EC，AD＝OE， ∵C（3，2）， ∴OE＝3，CE＝2， ∴OD＝2，AD＝3，且点A在第二象限， ∴A（﹣2，3）， 故选：B． 【小结】本题主要考查几何图形，全等三角形的判定和性质，图象与坐标的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据图象特点确定坐标的方法等知识是解题的关键． 十二. 四边形中的最值问题 【题型解读】四边形中的最值问题是一类较为复杂且综合性较强的问题，常见类型包括：线段长度的最值；周长的最值；面积的最值等. 【解题策略】利用几何性质：垂线段最短、三角形三边关系. 例1．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　　． 【解答】解：①当BC为边时，此时DE＝BC＝4； ②当BC为对角线时，如图，过点A作BC边上的高AF，过点C作CE∥AB． 根据题意要使得DE最小，即当DE⊥AB时，DE取得最小值， 此时． ∵AB＝AC＝8，BC＝4，∠BFA＝90°， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∵， ∴DE的最小值为． 故答案为：． 【小结】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 例2．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 　　． 【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10， ∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝12，OD＝OBBD＝5， ∴∠COD＝90°， ∴CD13， ∵CD•OHOC•OD＝S△COD， ∴13OH12×5， 解得OH， ∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， ∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°， ∴四边形OGEF是矩形， ∴OE＝FG， ∴OE≥OH， ∵FG， ∴FG的最小值为， 故答案为：． 【小结】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 1．在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为　　． 【解答】解：连接AP， ∵AB2+AC2＝169，BC2＝169 ∴AB2+AC2＝BC2 ∴∠BAC＝90°，且PE⊥AB，PF⊥AC ∴四边形AEPF是矩形 ∴AP＝EF，∠EPF＝90° 又∵M是EF的中点 ∴PMEF ∴当EF值最小时，PM值最小，即当AP值最小时，PM值最小． 根据 垂线段最短，即当AP⊥BC时AP值最小 此时S△ABCAB×ACBC×AP ∴AP ∴EF ∴PM 故答案为 【小结】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短，关键是证EF＝AP 2．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为 　2　． 【解答】解：连接AM， ∵点B和M关于AP对称， ∴AB＝AM＝3， ∴M在以A圆心，3为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，CM最短， ∵AC5，AM＝AB＝3， ∴CM＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 【小结】本题主要考查轴对称的性质，圆的性质，关键是要考虑到点M在以A为圆心，3为半径的圆上． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，G分别在边AB，CD上，且AE＝CG，点F在边BC上，连接EF，BG，若BF＝2，则EF+BG的最小值为 　　． 【解答】解：如图，连接DE，作D关于AB的对称点D′，连接D′F交AB于E′，连接 DE'，D'E， 由轴对称的性质可得：DE＝D'E，DE'＝D'E'，AD＝AD′＝5， ∵矩形ABCD， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE＝CG， ∴BE＝DG， ∴四边形BEDG为平行四边形， ∴BG＝DE， ∴EF+BG＝EF+DE＝EF+D′E， ∴当 D'，E，F三点共线时，D′E+EF＝D′F，此时EF+BG最小， 过F作FH⊥AD于H，则四边形ABFH为矩形， ∴FH＝AB＝4，AH＝BF＝2， ∴D′H＝7， ∴， ∴EF+BG的最小值为． 故答案为：． 【小结】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．则DE的最小值为 　　． 【解答】Q解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴CB10， ∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴∠PDA＝∠PEA＝90°， ∴四边形ADPE是矩形， ∴DE＝AP， 由垂线段最短可得，当AP⊥BC时，线段AP的值最小， ∵•BC•AP•AB•AC， ∴AP， ∴DE的最小值为， 故答案为：． 【小结】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为 　　． 【解答】解：连接AP， ∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴， ∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∠BAC＝90°， ∴四边形ANPM为矩形， ∴MN＝AP， ∴当AP最小时，MN最小， ∴当AP⊥BC时，AP最小，即MN最小， 此时，即：6×8＝10AP， ∴； ∴MN的最小值为； 故答案为：． 【小结】本题考查矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟记矩形的判定和性质是解题的关键． 6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为 　　． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，， 在Rt△AOB中，， 如图所示，连接OP， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴四边形OEPF是矩形，则EF＝OP， 当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小， ∴， ∴， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【小结】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，则线段AP+QE的最小值为 　　． 【解答】解：取AB中点F，连接EF，延长AB到G使BG＝AB，连接PG，作PK∥QE交FE于K， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，BC＝AD＝10， ∴BC垂直平分AG， ∴PG＝PA， ∵E是CD中点，F是AB中点， ∴BFAB，CECD， ∴BF＝CE， ∵BF∥CE，∠FBC＝90°， ∴四边形BCEF是矩形， ∴EF∥BC，EF＝BC＝10， ∵PK∥QE， ∴四边形OQEK是平行四边形， ∴PK＝QE，KE＝PQ＝2， ∴KF＝EF﹣KE＝10﹣2＝8， ∵BFAB6＝3， ∴FG＝BF+BG＝3+6＝9， ∴KG， ∵PK+PG≥GK， ∴PA+QE， ∴线段AP+QE的最小值为． 故答案为：． 【小结】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形三边关系，轴对称﹣最短路线问题，关键是通过作辅助线构造△PGK，由三角形三边关系定理得到PK+PG≥GK． 8．如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 【解答】解：连接DP，连接PF，连接DF， ∵MA＝CM，EN＝BN， ∴点M在线段PD上，点N在线段PF上， ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形， ∴点M是DP中点，点N是PF中点， ∴MN是△PDF的中位线， ∴MNDF， 当DF最小时，MN最小， DF的最小值为DF垂直BF时， ∵∠DAB＝60°， ∴DF的最小值为4， ∴MN的最小值为2． 故选：B． 【小结】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 9．如图，菱形ABCD的边长为分别是BC，BD上的动点，且CP＝DQ，则AP+AQ的最小值为 　2　． 【解答】解：如图，连接AC，过点C作CT⊥CA，使得CT＝AD＝1，连接AT． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠ADB∠ADC＝30°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝AB， ∵AC⊥CT， ∴∠ECT＝30°， ∴∠ADQ＝∠PCT， ∵CP＝DQ，CT＝DA， ∴△ADQ≌△TCP（SAS）， ∴AQ＝PT， ∴AP+AQ＝AP+QT≥AT， ∵∠ACT＝90°，AC＝CT， ∴AT2， ∴AP+AQ≥2， ∴AP+AQ的最小值为2． 故答案为：2． 【小结】本题考查轴对称﹣最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接OC，则线段OC长度的最大值为　　． 【解答】解：在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，如图，连接AC，取AD的中点E，连接CE，OE， 由题意得AB＝BC＝AC＝4＝AD＝DC， ∴△ABC和△ADC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°， ∵点E是AD的中点， ∴，CE⊥AD， ∴， ∵在Rt△ADO中，， ∴， ∴当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为， 故答案为：． 【小结】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，三角形三边关系，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的关键． 11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E与点F分别为射线BC，CD上一点，且BE＝CF，连接AE，BF并交于点G，点P为边CD上一点，DP＝1，连接PG，则线段PG长度的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：如图，取AB中点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝4，BDBD，∠DBC＝45°， ∵点O是AB的中点， ∴BO＝OA＝2， ∵BE＝CF，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠AEB＝∠BFC， ∴∠BFC+∠FBC＝90°＝∠AEB+∠FBC， ∴∠AGB＝90°， ∴点G在以AB为直径的圆上运动，连接OP，当点G在OP上时，线段PG长度的值最小， 过P作PH⊥AB于H， ∴PH＝AD＝4，AH＝DP＝1， ∴OH＝1， ∴OP， ∴PG＝OP﹣OG2， 即线段PG长度的最小值为2， 故选：C． 【小结】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．如图，P为菱形ABCD的对角线AC上的一个定点，Q为AD边上的一个动点，AP的垂直平分线分别交AB，AP于点E，G，∠DAB＝30°，若PQ的长的最小值为3，则AE的长为 　6　． 【解答】解：过P作PK⊥AB于K，连接PE， ∵GE垂直平分AP， ∴AE＝PE， ∴∠EAP＝∠EPA， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， ∴∠BAD＝2∠BAP＝30°， ∴∠PEK＝∠EAP+∠EPA＝2∠BAP＝30°， ∵∠PKE＝90°， ∴PE＝2PK， 当PQ⊥AD时，PQ的长最小，最小值是3， 此时AC平分∠BAD，PK⊥AB，PQ⊥AD， ∴PK＝PQ＝3， ∴PE＝2×3＝6， ∴AE＝6． 故答案为：6． 【小结】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，关键是明白当PQ⊥AD时，PQ的长最小，由角平分线的性质得到PK的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$