7.4 解一元一次不等式组 课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

第七章 一元一次不等式 7.4 解一元一次不等式组 第七章 一元一次不等式 一元一次不等式的实际应用 实际问题 ↓ 根据题意列不等式 ↓ 解一元一次不等式 → → 根据实际问题找出符合条件的解集或特殊解 ↑ 得出解决问题的答案 知识回顾 第七章 一元一次不等式 同学们，你能根据对话片断估计出这头大象的体重范围吗? 请说说你的理由! 看，这头大象好大呀，体重肯定不少于 3 吨! 嗨，我听说管理员说，这头大象的体重不足 5 吨呢！ 新课导入 第七章 一元一次不等式 若设大象的体重为 x 吨，则 x ≥ 3 ① x ＜ 5 ② 看，这头大象好大呀，体重肯定不少于 3 吨! 嗨，我听说管理员说，这头大象的体重不足 5 吨呢！ 新课导入 第七章 一元一次不等式 问题 用每分钟可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水不少于 1200 t 且不超过 1500 t ，那么需要多少时间能将污水抽完？ 分析 设需要 x min 能将污水抽完，则总的抽水量为30x t .由题意，应有 30x ≥ 1200 ， 并且 30x ≤ 1500 . 新课讲解 第七章 一元一次不等式 在这个实际问题中，未知量 x 应同时满足这两个不等式．我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组： 30x ≥ 1200 ， ① 30x ≤ 1500 . ② 新课讲解 第七章 一元一次不等式 思考：怎样确定上面的不等式组中 x 的取值范围呢？ 类比方程组的求解，不等式组中的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组中的未知数的取值范围. 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 新课讲解 第七章 一元一次不等式 分别求这两个不等式的解集，得 同时满足不等式①②的未知数 x 应是这两个不等式解集的公共部分. x ≥ 40， x ≤ 50. 新课讲解 第七章 一元一次不等式 思考：通常我们运用数轴表示不等式的解集，那么我们能用它直接表示不等式组的解集吗？ 试一试：用数轴表示出不等式组 的解集. x ≥ 40， x ≤ 50 新课讲解 第七章 一元一次不等式 如图，在同一数轴上表示出这两个不等式的解集，可知其公共部分是40和50之间的数（包括40和50）， 记作 40 ≤ x ≤ 50 . 所提问题的答案为：需要40~50min能将污水抽完. 0 10 20 30 40 50 60 新课讲解 第七章 一元一次不等式 不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集.例如前面问题所列出的不等式组的解集为 40≤ x ≤ 50 . 解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再求出它们的公共部分.利用数轴可以帮助我们得到一元一次不等式组的解集. 概 括 新课讲解 第七章 一元一次不等式 解由两个一元一次不等式所组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有以下几种情况： a b a b 同大取大 同小取小 x＞b x＜a x x 新课讲解 归纳总结 第七章 一元一次不等式 解由两个一元一次不等式所组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有以下几种情况： a b a b 大小 小大中间找 大大 小小无处找 a＜x＜b 无解 x x 新课讲解 归纳总结 第七章 一元一次不等式 1.填表： 不等式组 不等式组的解集 x＞-3 -5＜x ≤-3 x＜ -3 无解 新课讲解 练一练 第七章 一元一次不等式 一个长方形足球场的宽为 70 m，如果它的周长大于 350 m，面积小于 7630 m2，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际足球比赛. (注：用于国际比赛的足球场的长在 100 至 110 m 之间，宽在 64 至 75 m之间). 新课讲解 典题精析 第七章 一元一次不等式 设足球场的长为 x m，它的周长为 2(x＋70) m，面积为 70x m2. 根据已知条件，我们知道 x 的取值范围要使 2(x+70) ＞ 350 和 70x ＜ 7630 这两个不等式同时成立. 新课讲解 典题精析 第七章 一元一次不等式 为此，我们用大括号把上述两个不等式联立起来，得 分别求这两个不等式的解集，得 ① ② x ＞ 105， x ＜ 109. 新课讲解 典题精析 第七章 一元一次不等式 我们在同一数轴上把 x＞105 与 x＜109 表示出来，如图所示： 由图容易发现它们的公共部分是105 ＜ x ＜ 109，这就是由不等式 ①② 组成的不等式组的解集. 0 105 109 x 新课讲解 典题精析 第七章 一元一次不等式 由此可知，这个足球场的长度在 105 至 109 m 之间，从场地的大小方面来说，可以进行国际足球比赛。 新课讲解 第七章 一元一次不等式 例1 解不等式组： 解 解不等式 ①，得 x ＞2. 解不等式 ②，得 x ＞4. 如图，在同一数轴上表示出不等式 ①② 的解集， ① ② 新课讲解 第七章 一元一次不等式 可知所求不等式组的解集是 x＞ 4. 2 0 4 1 3 新课讲解 第七章 一元一次不等式 例2 解不等式组： 解 解不等式 ①，得 x ＜-1. 解不等式 ②，得 x ≥ 2. 如图，在同一数轴上表示出不等式 ①② 的解集. ① ② 新课讲解 第七章 一元一次不等式 0 -1 2 1 容易看出，这两个不等式的解集没有公共部分.因此， 这个不等式组无解. 新课讲解 第七章 一元一次不等式 2.解不等式组： 解：解不等式 ①，得 x ＞－2. 解不等式 ②，得 x ＞6. 把不等式 ①② 的解集在数轴上表示出来，如图： ① ② 新课讲解 练一练 第七章 一元一次不等式 由图可知，不等式 ①② 的解集的公共部分是 x ＞6，所以这个不等式组的解集是 x＞6. 0 －2 6 新课讲解 练一练 第七章 一元一次不等式 3.解不等式组： 解：解不等式 ①，得 x ＜－2. 解不等式 ②，得 x ＞3. 把不等式 ①② 的解集在数轴上表示出来，如图： ① ② 新课讲解 练一练 第七章 一元一次不等式 由图可以看出，这两个不等式的解集没有公共部分.所以，这个不等式组无解. 0 -2 3 新课讲解 练一练 第七章 一元一次不等式 等号与不等号的由来 等号“=”与不等号“>”“<”，从小学用到现在，已经是我们熟悉的符号了. 你知道它们的由来吗？人们是从什么时候开始使用这些符号的呢？ 阅 读 材 料 新课讲解 第七章 一元一次不等式 说来话长.16世纪中叶之前的数学书中，都还是用单词表示两个量的相等关系的.直到1557年，英国数学家雷科德（1510—1558）在他的论文《智慧的磨刀石》中提出：“为了避免枯燥地重复‘等于’这个单词，我认真比较了许多图形与记号，觉得世界上再也没有比两条平行而 阅 读 材 料 新课讲解 第七章 一元一次不等式 又等长的线段，意义更相同了.”这位伟大的数学家很有创见地用两条平行且相等的线段“=”表示“相等”，“=”叫做等号. 当时，也有人用其他符号表示过相等关系，数学家笛卡儿（1596—1650）在1637年出版的《几何学》中，还 阅 读 材 料 新课讲解 第七章 一元一次不等式 曾用“ ”表示相等关系. 17世纪，德国数学家莱布尼兹（1646—1716），在各种场合大力倡导使用符号“=”，在他和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认. 至于不等号“>”和“<”，其“经历”就更多了. 阅 读 材 料 新课讲解 第七章 一元一次不等式 1629年，法国数学家吉拉尔（1595—1632）在他的《代数教程》中，用象征的符号“ ”表示“大于”，用“ ”表示“小于”.例如，A大于B，记作：“A B”；A小于B，记作：“A B”. 1631年，英国数学家哈里奥特（1560—1621）创造了 阅 读 材 料 新课讲解 第七章 一元一次不等式 符号“>”和“<”，分别表示“大于”和“小于”，这就是我们使用的不等号. 那时，还有数学家创造过其他符号.例如，数学家奥特雷德（1575—1660）曾于1631年采用“ ”和 “ ”分别表示“大于”和“小于”.又如，法国数 阅 读 材 料 新课讲解 第七章 一元一次不等式 学家厄里岗（ 1580—1643 ）曾在1634年采用一些看来并不简便的符号表示不等关系，如用“ a3 | 2b ”表示“ a > b”，用“ b2 | 3a ”表示“ b < a ”. 那些繁琐的记号，逐渐被人们所淘汰，只有哈里奥特创造的符号“>”和“<”，由于它们的简便性，在数学 阅 读 材 料 新课讲解 第七章 一元一次不等式 中广为传用，最终为人们所接受和认可. 由等号“=”和不等号“>”“<”，还引申出一些其他数学符号.例如，全等“≌”、恒等“ ”、相似“∽”、近似“ ”、近似“ ”、不等于“≠”、大于或等于“≥”、小于或等于“≤”、远大于“ ”、远小 阅 读 材 料 新课讲解 第七章 一元一次不等式 于“ ”、不大于“≯”、不小于“≮”等. 数学中的符号太多了，它们的出现，都是为了数学表达的简捷方便，有了这些符号，我们就能简单明了地表达数学推理与求解过程. 阅 读 材 料 新课讲解 第七章 一元一次不等式 1.填表： 课堂练习 练习 课内版 第七章 一元一次不等式 课堂练习 练习 课内版 第七章 一元一次不等式 2.解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） （2） （3） 4x-1>2x+3， x+1>2； x-1>6（x+3）， 5（x-2）-1≤4（1+x）； 0， 4 - ≤ - x . 课堂练习 练习 课内版 第七章 一元一次不等式 3.试求不等式组 的所有整数解. x+2 > 0， x-6 ≤ 0 课堂练习 练习 课内版 第七章 一元一次不等式 解下列不等式组： 1 ＜ x ＜ 5 －4 ＜ x ≤1 x ＜ 无解 课堂练习 练习 课外版 第七章 一元一次不等式 一元一次不等式组的概念 ↓ ↓ 一元一次不等式组的解集在数轴上的表示 解一元一次不等式组 一元一次不等式组 → 一元一次不等式组的解集 ↓ 把未知量 x 同时满足的两个一元一次不等式合在一起，就得到一元一次不等式组. ↓ 课后小结 第七章 一元一次不等式 利用公共部分确定不等式组的解集 在数轴上分别表示各个不等式的解集 解每个不等式 一元一次不等式组的解集在数轴上的表示 课后小结 第七章 一元一次不等式 第七章 一元一次不等式 $$