精品解析：湖北省随州市部分高中2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

湖北省随州市部分高中2025年元月期末联考 高一数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知a，b为不相等的实数，记，则M与N的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 关于的方程的两个不等根都在之内，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，设甲：在上单调递增，乙：满足，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为偶函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列函数中，以为周期的函数有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________. 13. 已知函数及其导函数定义域均为R，记函数，若函数的图象关于点中心对称，为偶函数，且则______. 14. 函数，的值域为______． 四、解答题：本题共5小题，共75分. 15. 已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 16. 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 17. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. （1）若，，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 19. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省随州市部分高中2025年元月期末联考 高一数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知a，b为不相等的实数，记，则M与N的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法即可比较M与N的大小﹒ 【详解】因为， 又，所以，即． 故选：A 2. 关于的方程的两个不等根都在之内，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 根据根的分布可得不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】∵方程有两个不相等的实数根且两个不等根都在之内， 又由二次方程根的判别式有， 且. 故选：D. 3. 已知函数的定义域为，设甲：在上单调递增，乙：满足，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用函数的单调性和函数的值的关系，利用充分条件和必要条件的应用求出结果． 【详解】由题意，函数的定义域为，当在上单调递增， 则满足成立，当满足成立， 在上不一定单调递增， 故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A． 4. 若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间. 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 5. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究函数单调性，作出函数的图象，结合图象即可得解. 【详解】依题意可得，的图象与直线有3个公共点， 因为函数 所以 当或时，；当或时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 故的极小值为，极大值为. 作出的大致图象，如图所示. 由图可知，实数m的取值范围是. 故选：A. 6. 已知点是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】依题意点的坐标为， 故选： 7. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题得，代入已知条件化简即得解. 【详解】由题得 所以, 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：解三角形时，遇到,要联想到和角的正切公式求解. 8. 已知函数为偶函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数为上的偶函数，取化简得，即得的值. 【详解】因的定义域为，且为偶函数， 则，即，可得，即得. 因则得， 当时，为偶函数，满足题意. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系以及子集的定义求解即可. 【详解】由题意可知且，而或2与4同时出现，所以且，所以满足条件的非空集合有， 故选：AC 10. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二次函数、反比例函数和指数函数的性质逐一判断可得. 【详解】对A，的值域为，A错误； 对B，y=的值域为，B错误； 对C，的值域为，C正确； 对D，的值域为，D正确. 故选：CD. 11. 下列函数中，以为周期的函数有（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质以及周期公式逐一计算判断即可. 【详解】对于A，因为，所以最小正周期为， 故A正确； 对于B，因为，所以函数的最小正周期为，故B不正确； 对于C，因为，所以函数的最小周期函数为， 所以也是函数的周期，故C正确； 对于D，因为，所以函数的最小周期函数为， 所以也是函数的周期，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________. 【答案】#### 【解析】 【分析】等价于，解即得解. 【详解】解：因为命题“是假命题”， 所以， 所以. 故答案为： 13. 已知函数及其导函数定义域均为R，记函数，若函数的图象关于点中心对称，为偶函数，且则______. 【答案】678 【解析】 【分析】由的图象关于点中心对称结合导数可知，再结合为偶函数可知的一个周期为3，.又注意到即可得答案. 【详解】因的图象关于点中心对称，则 . 因为偶函数，根据函数的伸缩变化可知也是偶函数， 所以. 则，即的一个周期为3.令，由可得. 注意到，则. 故答案为：678 14. 函数，的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为，所以， ， 则当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共75分. 15. 已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用基本不等式证明. 【详解】因为, 所以,即≥,当且仅当时取得等号, 则有， 同理得≥，≥， 相加可得++≥++，当且仅当时等号成立. 16. 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：，且二次函数的对称轴为， 若，则，解得； 若，则，符合题意； 综上所述：a的取值范围. 【小问2详解】 因为，则开口向上，且的对称轴为， 若，即时，则在区间上单调递增， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得； 综上所述：. 17. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元 【解析】 【分析】（1）根据已知，分以及，分别求解，即可得出函数解析式； （2）分为以及两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案. 【小问1详解】 因每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得： 当时，， 当时，， ∴． 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值9； 当时，， 此时，当即时，取得最大值. 综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元. 18. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. （1）若，，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【答案】（1） （2）时，面积最大 （3）cm2. 【解析】 【分析】（1）直接利用弧长公式即可； （2）由扇形的周长得，表示出扇形的面积，求最值即可； （3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积. 小问1详解】 由，则扇形的弧长(cm). 【小问2详解】 由已知得，，则， ∴ 当且仅当，即时扇形的面积最大， 此时圆心角. 【小问3详解】 设弓形面积为，由，得， 所以. 19. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$