江苏省南京市2024-2025学年九年级下学期数学开学适应性模拟测试卷

2024-2025学年九年级下学期数学开学适应性模拟测试卷 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）方程x2＝2x的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x＝0或x＝﹣2 D．x＝0或x＝2 2．（2分）（2023春•法库县期末）下列说法正确的是（　　） A．“在12名同学中有两人的生日在同一个月”是必然事件 B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数一定是10次 3．（2分）某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数和中位数是（　　） A．5岁和23岁 B．24岁和24岁 C．24岁和23岁 D．24岁和23.5岁 4．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①abc＞0；②2a＜b；③（a+c）2＜b2；④a﹣2b+4c＜0．上述结论中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（2分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1，AB＝10，则CD的值是（　　） A．13 B．20 C．26 D．28 6．（2分）如图，D是等边△ABC边上的点，AD＝3，BD＝5，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）已知，则 　 　． 8．（2分）二次函数y＝﹣x2+3x+9的图象开口向　 　． 9．（2分）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2﹣αβ﹣3α的值为 　 　． 10．（2分）某企业招聘工作人员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李强的三项测试百分制得分依次是94分，80分，85分，其中计算机成绩占50%，语言表达占30%，写作能力成绩占20%，则李强最终的成绩是 　 　分． 11．（2分）已知二次函数y（x+2）2+4，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是 　 　． 12．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝150°，则∠B＝ 　 　． 13．（2分）将半径为5cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 　 　cm． 14．（2分）如图，△ABC是等腰三角形，O是底边AC上的一点，半圆O与AC交于A，D两点，与BC相切于点B，CD＝4，则图中阴影部分面积的大小为 　 　． 15．（2分）如图，已知点M（a，b）是函数y＝﹣x2+x+2图象上的一个动点．若|a|＜1，则b的取值范围是　 　． 16．（2分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OA，AC，则∠OAC的大小是 　 　． 三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分） 17．（8分）解下列方程： （1）25x2+10x+1＝0； （2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）． 18．（8分）已知二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标是（﹣2，），求这个二次函数的表达式． 19．（8分）周末小明的爸爸开车（记为B车）带他去北陵公园玩，车要停在北陵公园的停车场，到的时候，看到北陵公园的停车场显示只剩下3个挨着的停车位了（如图），并且还有一辆车（记为A车）排在他们前面等待进停车场． （1）直接写出A车停在1号位的概率； （2）用列表法或树状图法，求A、B两车挨着的概率． 20．（8分）为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中．各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如表（单位：秒）： 编号 类型 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲种电子钟 4 ﹣3 ﹣1 2 ﹣2 1 ﹣2 2 ﹣2 1 乙种电子钟 2 ﹣3 ﹣3 4 1 ﹣2 1 ﹣1 ﹣1 2 （1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数； （2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差：（方差公式：s2 （3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？ 21．（8分）如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点A1、B1、C1和A2、B2、C2都在正方形的顶点上．求证：△A1B1C1∽△A2B2C2． 22．（7分）某商场今年4月份盈利20万元，6月份盈利达到24.2万元，且从4月份到6月份，每月的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计7月份这家商场的盈利将达到 　 　万元． 23．（7分）如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案： 方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是 　 　． 方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是 　 　． 设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m 　 　n（填“＞”、“＝”或“＜”）． 24．（8分）已知函数y1＝x2+2ax+1与y2＝ax+2a+5（a≠﹣4）． （1）求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点； （2）当x＞4时，y1＞y2，求a的取值范围． 25．（8分）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k为常数且k＞0，k≠1）． （1）若c＝a1，用k表示a和c的数量关系； （2）在（1）的条件下，请写出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数； （3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1相似使得k是正整数？请说明理由． 26．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G． （1）求证：△EFD∽△EGA； （2）求FG的长； （3）直接写出DF+DG的最小值为　 　． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且OA，OB的长满足式子，AE平分∠OAB，将△OAE沿AE所在直线翻折，使点O落在边AB上的点D处． （1）求A，B两点的坐标及AB的长； （2）点E到直线AB的距离为 　 　； （3）在坐标平面内是否存在一点P，使以A，E，B，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）方程x2＝2x的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x＝0或x＝﹣2 D．x＝0或x＝2 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题；一元二次方程及应用． 【答案】D 【分析】移项后利用因式分解法求解可得． 【解答】解：∵x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得：x＝0或x＝2， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 2．（2分）（2023春•法库县期末）下列说法正确的是（　　） A．“在12名同学中有两人的生日在同一个月”是必然事件 B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数一定是10次 【考点】概率公式；随机事件． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义以及概率的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．“在12名同学中有两人的生日在同一个月”是随机事件，因此选项A不符合题意； B．“概率为0.0001的事件”是可能事件，只是发生的可能性非常小，因此选项B不符合题意； C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，因此选项C符合题意； D．任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件以及概率公式，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提． 3．（2分）某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数和中位数是（　　） A．5岁和23岁 B．24岁和24岁 C．24岁和23岁 D．24岁和23.5岁 【考点】众数；中位数． 【专题】统计的应用；数据分析观念． 【答案】D 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【解答】解：根据图示可得，24岁的队员人数最多， 故众数为24岁， 根据图示可得，共有人数：3+1+2+5+1＝12（人）， 故第6和7名队员年龄的平均值为中位数， 即中位数为：23.5（岁）． 故选：D． 【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 4．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①abc＞0；②2a＜b；③（a+c）2＜b2；④a﹣2b+4c＜0．上述结论中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】推理填空题；推理能力． 【答案】A 【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；即可得出b﹣2a＞0，b＜0；Δ＝b2﹣4ac＞0；再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；当x＝﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0，即可求解． 【解答】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0， ∴a＜0，﹣＜0，c＞0， ∴b＜0， ∴abc＞0，故①正确； ∵1， ∴2a＜b，故②正确； 当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0； 当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0； ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；故③正确； ∵x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故④错误； 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键． 5．（2分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1，AB＝10，则CD的值是（　　） A．13 B．20 C．26 D．28 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】连接OA，设圆的半径为x，则OE＝x﹣1，由垂径定理可得AB⊥CD，AE＝5，Rt△OAE中由勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， 设圆的半径为x，则OE＝x﹣1， 由垂径定理可得AB⊥CD，AE＝BEAB＝5， Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2， x2＝25+（x﹣1）2， 解得：x＝13， ∴CD＝26， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2分）如图，D是等边△ABC边上的点，AD＝3，BD＝5，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED＝∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝8， 由折叠的性质可知，∠EDF＝∠C＝60°，EC＝ED，FC＝FD， ∴∠AED＝∠BDF， ∴△AED∽△BDF， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）已知，则 　　． 【考点】比例的性质． 【专题】计算题；实数；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】设k，用含k的代数式表示出x，y，z，再代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键． 8．（2分）二次函数y＝﹣x2+3x+9的图象开口向　下　． 【考点】二次函数的性质． 【专题】常规题型． 【答案】见试题解答内容 【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下，根据这一性质直接判断． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+3x+9中，a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， 故本题答案为：下． 【点评】本题考查了抛物线的开口方向的性质，抛物线的开口方向只与解析式的二次项系数符号有关． 9．（2分）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2﹣αβ﹣3α的值为 　8　． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】8． 【分析】根据根与系数的关系可得αβ＝﹣4以及方程解的定义可得α2﹣3α＝4，然后再对α2﹣αβ﹣3α变形后代入计算即可． 【解答】解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根， ∴α2﹣3α﹣4＝0，αβ＝﹣4， ∴α2﹣3α＝4， ∴α2﹣αβ﹣3α ＝（α2﹣3α）﹣αβ ＝4﹣（﹣4） ＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了二元一次方程根与系数的关系以及方程的解的定义，灵活运用二元一次方程根与系数的关系以及方程的解的定义是解答本题的关键． 10．（2分）某企业招聘工作人员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李强的三项测试百分制得分依次是94分，80分，85分，其中计算机成绩占50%，语言表达占30%，写作能力成绩占20%，则李强最终的成绩是 　88　分． 【考点】加权平均数． 【专题】数据的收集与整理；运算能力． 【答案】88． 【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【解答】解：李强最终的成绩是94×50%+80×30%+85×20%＝88（分）， 故答案为：88． 【点评】本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提． 11．（2分）已知二次函数y（x+2）2+4，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是 　x≥﹣2　． 【考点】二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】x≥﹣2． 【分析】由函数开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，则当x≥﹣2时，y随x的增大而增大． 【解答】解：∵二次函数y（x+2）2+4的对称轴为直线x＝﹣2， ∴当x≥﹣2时，y随x的增大而增大， 故答案为x≥﹣2． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴与函数值的关系是解题的关键． 12．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝150°，则∠B＝ 　105°　． 【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】105°． 【分析】根据圆周角定理求出∠D，再根据圆内接四边形的性质求出∠B． 【解答】解：由圆周角定理得：∠D∠AOC150°＝75°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣75°＝105°， 故答案为：105°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键． 13．（2分）（2022•鼓楼区二模）将半径为5cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 　　cm． 【考点】圆锥的计算． 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】． 【分析】圆锥的底面圆半径为r cm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解． 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r cm，依题意，得： 2πr， 解得r． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 14．（2分）如图，△ABC是等腰三角形，O是底边AC上的一点，半圆O与AC交于A，D两点，与BC相切于点B，CD＝4，则图中阴影部分面积的大小为 　4　． 【考点】切线的性质；扇形面积的计算；等腰三角形的性质；垂径定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 【答案】4． 【分析】连接OB，利用圆周角定理和等腰三角形的性质得到∠BOD＝2∠C，利用圆的切线的性质和直角三角形的性质求得∠C＝30°；利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得线段OB，BC，过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝BEAB，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得线段OE，AB，最后利用图中阴影部分面积＝S△OBC+S扇形OAB﹣S扇形OBD﹣S△OAB解答即可． 【解答】解：连接OB，如图， ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C． ∵∠BOD＝2∠A， ∴∠BOD＝2∠C． ∵半圆O与BC相切于点B， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， ∴∠C+∠BOD＝90°， ∴3∠C＝90°， ∴∠C＝30°． ∴OC＝2OB． ∵OB＝OD， ∴OC＝2OD， ∴OD＝CD＝4． ∴OA＝OB＝OD＝4，OC＝8． ∴BC4． ∴BC•OB＝8， ∵∠BOD＝2∠C＝60°， ∴． 过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝BEAB， ∵∠A＝∠C＝30°， ∴OEOA＝2，∠AOE＝60°， ∴AE2， ∴AB＝2AE＝4． ∴AB•OE42＝4． ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴∠BOA＝2∠AOE＝120°． ∴， ∴图中阴影部分面积＝S△OBC+S扇形OAB﹣S扇形OBD﹣S△OAB ＝84 ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，三角形的面积，扇形的面积，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 15．（2分）如图，已知点M（a，b）是函数y＝﹣x2+x+2图象上的一个动点．若|a|＜1，则b的取值范围是　　． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】求得抛物线与x轴的交点坐标，根据题意得出﹣1＜a＜1，由图象可知0＜b． 【解答】解：函数y＝﹣x2+x+2中，令y＝0，则﹣x2+x+2＝0， 解得x＝﹣1或2， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0）， ∵点M（a，b）是函数y＝﹣x2+x+2图象上的一个动点．|a|＜1， ∴﹣1＜a＜1， ∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x）2， ∴当x时，有最大值， ∴b的取值范围是0＜b， 故答案为0＜b． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 16．（2分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OA，AC，则∠OAC的大小是 　18°　． 【考点】正多边形和圆；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理． 【专题】正多边形与圆；几何直观；推理能力． 【答案】18°． 【分析】根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠AOB＝∠BOC72°， ∴∠AOC＝144°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC18°， 故答案为：18°． 【点评】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分） 17．（8分）解下列方程： （1）25x2+10x+1＝0； （2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）x1＝3，x2＝1． 【分析】（1）用公式法解方程； （2）把方程转化成（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0，然后用因式分解法即可解出． 【解答】解：（1）∵a＝25，b＝10，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝102﹣4×25＝0， ∴方程有两个相等的实数根， ∴． （2）（x﹣3）2＝2（3﹣x） ∴（x﹣3）2﹣2（3﹣x）＝0， ∴（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）[（x﹣3）+2]＝0， 即（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴（x﹣3）＝0或（x﹣1）＝0， ∴x1＝3，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程一公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18．（8分）已知二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标是（﹣2，），求这个二次函数的表达式． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】y2x． 【分析】利用待定系数法解答即可． 【解答】解：设这个二次函数的表达式为y＝a， ∵二次函数的图象经过点（1，0）， ∴（1+2）2a0， 解得：a， ∴这个二次函数的表达式为y2x． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 19．（8分）周末小明的爸爸开车（记为B车）带他去北陵公园玩，车要停在北陵公园的停车场，到的时候，看到北陵公园的停车场显示只剩下3个挨着的停车位了（如图），并且还有一辆车（记为A车）排在他们前面等待进停车场． （1）直接写出A车停在1号位的概率； （2）用列表法或树状图法，求A、B两车挨着的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据概率公式可直接求出结论； （2）用树状图法表示所有可能出现的结果情况，在找出“两车相邻”的情况，进而求出相应的概率． 【解答】解：（1）A车共有三种选择的可能性，即1号、2号、3号， 因此A车停在1号位的概率为； （2）用树状图表示所有等可能出现的结果情况如下： 一共有六种情况，A、B两车“相邻”的情况有4钟， ∴A、B两车挨着的概率为． 【点评】本题考查列表法、树状图法求简单的随机事件发生的概率，利用此法注意每种情况出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 20．（8分）为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中．各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如表（单位：秒）： 编号 类型 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲种电子钟 4 ﹣3 ﹣1 2 ﹣2 1 ﹣2 2 ﹣2 1 乙种电子钟 2 ﹣3 ﹣3 4 1 ﹣2 1 ﹣1 ﹣1 2 （1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数； （2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差：（方差公式：s2 （3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？ 【考点】方差；算术平均数． 【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力． 【答案】（1）0，0； （2）4.8，5； （3）买甲种电子钟，理由见解析． 【分析】（1）根据表格中的数据可以计算出甲乙两种电子钟走时误差的平均数； （2）根据第（1）问中求得的平均数和方差的计算方法可以分别求出甲、乙两种电子钟走时误差的方差； （3）根据方差的意义可以解答本题． 【解答】解：（1）甲种电子钟走时误差的平均数是：0， 乙种电子钟走时误差的平均数是：0； （2）甲种电子钟走时误差的方差是：[（4﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（﹣1﹣0）2+2×（2﹣0）2+3×（﹣2﹣0）2+2×（1﹣0）2]＝4.8， 乙种电子钟走时误差的方差是：[2×（2﹣0）2+2×（﹣3﹣0）2+（4﹣0）2+2×（1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+2×（﹣1﹣0）2]＝5； （3）买甲种电子钟， ∵， ∴甲种电子钟走时稳定性好，故买甲种电子钟． 【点评】本题考查方差、算术平均数，解题的关键是明确算术平均数和方差的计算方法、知道方差的意义． 21．（8分）如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点A1、B1、C1和A2、B2、C2都在正方形的顶点上．求证：△A1B1C1∽△A2B2C2． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】见解析． 【分析】由勾股定理求出△A1B1C1与△A2B2C2各边的长，通过对应边成比例即可得出结论． 【解答】解：由图形知：A，，B1C1＝5， A2B2，A2C2＝2，B2C2， ∴， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 22．（7分）某商场今年4月份盈利20万元，6月份盈利达到24.2万元，且从4月份到6月份，每月的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计7月份这家商场的盈利将达到 　26.62　万元． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）每月盈利的平均增长率为10%； （2）26.62． 【分析】（1）设每月盈利的平均增长率为x，根据该商店4月份及6月份的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据7月份的盈利额＝6月份的盈利额×（1+增长率），即可求出结论． 【解答】解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，根据题意，得 20（1+x）2＝24.2． 解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）； ∴每月盈利的平均增长率为10%． （2）按照这个平均增长率，预计7月份这家商场的盈利将达到24.2×（1+10%）＝26.62（万元）， 故答案为26.62． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（7分）如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案： 方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是 　两点之间线段最短　． 方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是 　垂线段最短　． 设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m 　＞　n（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【考点】作图—应用与设计作图． 【专题】作图题；几何直观． 【答案】两点之间线段最短，＞，垂线段最短． 【分析】根据题意可以作出合适的图形，并得到m与n的大小关系和相应的理由，本题得以解决． 【解答】解：图形如图所示， 由题意可得，方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，m＝AB，n＝AM+BN ∴m＞n（垂线段最短）， 故答案为：两点之间线段最短，＞，垂线段最短． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（8分）已知函数y1＝x2+2ax+1与y2＝ax+2a+5（a≠﹣4）． （1）求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点； （2）当x＞4时，y1＞y2，求a的取值范围． 【考点】二次函数与不等式（组）；一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识． 【答案】（1）见解答． （2）a≥﹣6且a≠﹣4． 【分析】（1）令y1＝y2，可得x2+ax﹣2a﹣4＝0，由根的判别式可知，一元二次方程x2+ax﹣2a﹣4＝0有两个不相等的实数根，即y1与y2的函数图象总有两个公共点． （2）设y＝y1﹣y2＝x2+ax﹣2a﹣4，令y＝0，可得x1＝2，x2＝﹣a﹣2．分别讨论﹣a﹣2≤2和2＜﹣a﹣2两种情况，结合二次函数的图象可得答案． 【解答】（1）证明：令y1＝y2，得x2+2ax+1＝ax+2a+5， ∴x2+ax﹣2a﹣4＝0， ∴Δ＝a2﹣4×（﹣2a﹣4）＝a2+8a+16＝（a+4）2， ∵a≠﹣4， ∴Δ＞0， ∴方程x2+ax﹣2a﹣4＝0有两个不相等的实数根， 即y1与y2的函数图象总有两个公共点． （2）解：设y＝y1﹣y2＝x2+ax﹣2a﹣4， 可知抛物线y＝x2+ax﹣2a﹣4的图象开口向上． 令y＝0，得x2+ax﹣2a﹣4＝（x﹣2）（x+a+2）＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣a﹣2． 若﹣a﹣2≤2，满足当x＞4时，y＞0， 即y1＞y2， ∴a≥﹣4， ∵a≠﹣4， ∴a＞﹣4； 若2＜﹣a﹣2， 得a＜﹣4， ∵当x＞4时，y1＞y2，即y＞0， ∴﹣a﹣2≤4， 解得a≥﹣6， ∴﹣6≤a＜﹣4． 综上所述，a的取值范围为a≥﹣6且a≠﹣4． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 25．（8分）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k为常数且k＞0，k≠1）． （1）若c＝a1，用k表示a和c的数量关系； （2）在（1）的条件下，请写出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数； （3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1相似使得k是正整数？请说明理由． 【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质． 【专题】证明题． 【答案】（1）a＝kc； （2）取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2； （3）不存在，理由见解析． 【分析】（1）已知两个三角形的相似比为k，则对应边a＝ka1，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论； （2）先选取△ABC的三边长，然后以c的长作为a的值，再根据相似比得到△A1B1C1的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可； （3）首先根据已知条件求出a、b与c的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立． 【解答】解：（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞I）， ∴k，a＝ka1； 又∵c＝a1， ∴a＝kc； （2）解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2； 此时2， ∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1； （3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下： 解法一：假设存在这样的k，使得△ABC∽△A1B1C1， ∴k，则a＝ka1，b＝kb1，c＝kc1， ∵b＝a1，c＝b1， ∴a＝kb＝k2b1＝kc， ∴b＝kc， 由三角形两边之和大于第三边，得：b+c＝kc+c＞a＝k2c， ∴k+1＞k2，即k（k﹣1）＜1， 由于k是大于0不等于1的正整数，两个连续正整数的积不可能小于1， ∴不存在． 解法二：∵b＝a1，c＝b1， a＝bk＝ck2； ∵a＞b＞c； ∴ck2＞ck＞c， ∴k＞1， ∵b+c＞a， ∴ck+c＞ck2 ∴； ∴1＜k， 故不存在正整数k． 【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质及三角形三边关系定理的应用，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． 26．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G． （1）求证：△EFD∽△EGA； （2）求FG的长； （3）直接写出DF+DG的最小值为　2　． 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；轴对称﹣最短路线问题． 【专题】三角形；运算能力． 【答案】（1）见解答； （2）2； （3）2． 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质即可求解； （2）根据已知条件，找出相似三角形，得出边之间的比例关系的即可求解； （3）如图作点D关于AC的对称点D′，连接GD′，DD′交AC于点J，过点D′作D′T∥AC，使得D′T＝FG＝2，连接DT．求出DT，可得结论． ． 【解答】解：（1）∵以DE为直径的圆交对角线AC于F， ∴∠EAG＝∠EDF，∠EFD＝90°， ∵EG⊥AC垂足为G， ∴∠EGA＝90°＝∠EFD， ∴△EFD∽△EGA； （2）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4， ∴∠EAD＝90°＝∠EFD， ∴tan∠EAG， ∴∠EAG＝30°， ∴在三角形EGA中，sin∠EAG， ∵∠EGF＝∠EAD＝90°， ∵DE为圆的直径， ∴∠GFE＝∠ADE， ∴△EGF∽△EAD， ∴， ∵DA＝BC＝4， ∴FG＝2； （3）如图作点D关于AC的对称点D′，连接GD′，DD′交AC于点J，过点D′作D′T∥AC，使得D′T＝FG＝2，连接DT． ∵DD′AC，D′T∥AC， ∴DD′⊥D′T， ∴DT2， ∵D′T＝FG．D′T∥FG， ∴四边形GFTD′是平行四边形， ∴TF＝GD′＝DG， ∴DG+DF＝TF+DF≥DT＝2， ∴DF+DG取最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、垂径定理、圆周角定理、轴对称的含义，解题关键是找出相似三角形，求出边之间比例关系． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且OA，OB的长满足式子，AE平分∠OAB，将△OAE沿AE所在直线翻折，使点O落在边AB上的点D处． （1）求A，B两点的坐标及AB的长； （2）点E到直线AB的距离为 　3　； （3）在坐标平面内是否存在一点P，使以A，E，B，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】几何变换综合题． 【专题】几何综合题；推理能力． 【答案】（1）点A（0，6），B（8，0），10； （2）3； （3）存在，（﹣5，6）或（11，﹣6）或（5，6）． 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可得OA＝6，OB＝8．再由勾股定理求出AB，即可求解； （2）过点E作EF⊥AB于点F，根据角平分线的性质定理可得EF＝OE，可证得Rt△AOE≌Rt△AFE，从而得到BF＝4，设OE＝EF＝x，则BE＝8﹣x，由勾股定理，即可求解； （3）分三种情况讨论：若以AB和AE为一组邻边；若以AB和BE为为一组邻边；若以BE为对角线，即可求解． 【解答】解：（1）∵，|OA﹣6|≥0，， ∴OA﹣6＝0，OB2﹣64＝0， ∴OA＝6，OB＝8， ∴点A（0，6），B（8，0）， 在Rt△AOB中，； （2）如图，过点E作EF⊥AB于点F， ∵AE平分∠OAB，∠AOE＝90°， ∴EF＝OE， ∵AE＝AE， ∴Rt△AOE≌Rt△AFE（HL）， ∴AF＝OA＝6， ∴BF＝4， 设OE＝EF＝x，则BE＝8﹣x， ∵EF2+BF2＝BE2，即x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴点E到直线AB的距离为3； 故答案为：3； （3）存在， 理由：设点P的坐标为（m，n）， 由（2）得：BE＝5， 若以AE和BE为一组邻边，则AP1∥BE，且AP1＝BE＝5， 此时点P1（5，6）； 若以AB和BE为为一组邻边，则AP2∥BE，且AP2＝BE＝5， 此时点P2（﹣5，6）； 若以BE为对角线，则BE与AP3的中点重合， 由（2）得：OE＝3， ∴点E（3，0），，解得：， 此时P3（11，﹣6）； 综上所述点P的坐标为（﹣5，6）或（11，﹣6）或（5，6）． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质定理，坐标与图形，二次根式和算术平方根的非负性，熟练掌握平行四边形的性质，角平分线的性质定理，坐标与图形，二次根式和算术平方根的非负性是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$