计数原理与统计初步 学案-2025届高三数学二轮复习

学案31 计数原理与统计初步（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）两个计数原理、排列与组合、二项式定理主要以选择题、填空题的形式考查，其中排列与组合时常与概率相结合； （2）对统计图表与数字特征的考查，一般难度较小 2、易错易混点归纳 （1）二项式定理不熟练，对系数与二项式系数理解不到位致错； （2）排列组合题型不清晰致错； 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.易错提醒　易混淆（a＋b）n展开式的“项的系数”与“二项式系数”. 2.求一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据； 第2步：计算i＝n×p%； 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数. 3.利用频率分布直方图求百分位数 第p百分位数的求法：确定要求的p%分位数所在分组[A，B），由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距×. 【典例探究】 考点一　两个计数原理、排列与组合 学法指导：求解排列与组合问题的方法 （1）直接法：相邻问题“捆绑法”，不相邻问题“插空法”.解决定序问题，可先不考虑顺序限制，排好后，再除以定序元素的全排列； （2）间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法求解. 【例1】（新编）（1）（2021·山东卷）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（　　） A.12 B.18 C.20 D.60 （2）为了缩小城乡教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A，B，C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法种数有（　　） A.25 B.60 C.90 D.150 【答案】（1）根据题意，可分为两类：①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有＝4×2＝8种方法；②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有＝4×3＝12种方法，由分类加法计数原理得，共有8＋12＝20种不同的插法.故选C. （2）由题意可知，先将5人分成3组，有两类分法，第一类，各组人数分别为3，1，1，共有种分法；第二类，各组人数分别为1，2，2，共有种分法.将3组人员分配到A，B，C三个乡村学校去，共有种分法，所以不同的选派方法共有（ ＋）＝150（种）.故选D. 考点二　二项式定理 学法指导：1.求（a＋b）n的展开式中的特定项一般要应用通项公式Tk＋1＝an－kbk（k＝0，1，2，…，n），注意它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项. 2.求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解. 3.求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法. 4.求解系数和问题应用赋值法. 【例2】（新编）（1）（多选）在（ 2x－）8的展开式中，下列说法正确的是（　　） A.常数项是1 120 B.第四项和第六项的系数相等 C.各项的二项式系数之和为256 D.各项的系数之和为256 （2）（2＋）（x－2y）6的展开式中x4y2的系数为 .（用数字作答） 【答案】（1）根据二项式定理，（ 2x－）8的通项为Tk＋1＝28－k（－1）kx8－2k，常数项为24（－1）4＝1 120，故A正确；第四项的系数为28－3（－1）3＝－1 792，第六项的系数为28－5（－1）5＝－448，故B错误；因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确；令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误. （2）（x－2y）6的通项公式为Tr＋1＝x6－r（－2y）r＝（－2）rx6－ryr，令r＝2得，T3＝（－2）2x4y2＝60x4y2，此时60x4y2·2＝120x4y2，令r＝3得，T4＝（－2）3x3y3＝－160x3y3，此时－160x3y3·＝－160x4y2，故x4y2的系数为120－160＝－40. 考点三　统计图表与数字特征 学法指导：1.关于平均数、方差的计算 样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式，要特别注意标准差是方差的算术平方根. 2.用样本的数字特征估计总体的数据分布特征 （1）估计总体集中趋势的统计量：众数、中位数、平均数； （2）用百分位数估计数据的分布特征； （3）估计总体的离散程度的统计量：极差、方差、标准差. 【例3】（1）（多选）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（　 　） A.该地农户家庭年收入的极差为12 B.估计该地农户家庭年收入的75%分位数为9 C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D.估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元 （2）（2024·赣州模拟改编）若一组样本数据x1，x2，…，x8的方差为2，（－1）ixi＝－2，yi＝xi＋（－1）i（i＝1，2，…，8），则样本数据y1，y2，…，y8的方差为 . 【答案】（1）设极差为t，由题中频率分布直方图可知，组距为1，共有12组，所以t≤1×12＝12，且不是一定取等号，所以A不正确；前6组频率之和为0.02＋0.04＋0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.7，前7组频率之和为0.7＋0.1＝0.8，所以75%分位数应位于[8.5，9.5）内，由8.5＋1×＝9，可以估计75%分位数为9，所以B正确；家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64＞0.5，所以C正确；由题中频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋（12＋13＋14）×0.02＝7.68（万元），又7.68＞6.5，所以D正确.综上，选B、C、D. （2）设样本数据x1，x2，…，x8的平均数为，则（xi－）2＝2，设样本数据y1，y2，…，y8的平均数为，由yi＝xi＋（－1）i（i＝1，2，…，8），则＝，所以（yi－）2＝[xi＋（－1）i－]2＝2＋（－1）i（xi－）＋1＝3＋（－1）ixi＝3＋×（－2）＝2.5. 【训练检测】 1.（2024·深圳期末考试）“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，如图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A，B，C为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（　　） A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 【答案】C　以A为起点时，三条路线依次连接即可到达B点.共有3×2＝6种选择，自B连接到C时，在C右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有2种选择，∴以A为起点，C为终点时，共有6×2＝12种方法；同理可知，以C为起点，A为终点时，共有12种方法.∴完成该图“一笔画”的方法数为12＋12＝24种. 2.（2024·太原高三模拟考试）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（　　） A.30　　　　B.31 C.34　　　　D.35 【答案】B　法一（排除法）　从7个点中任意取3个点共有种取法，因为B，D，E，F四点共线，其中任意三点都不能构成三角形，所以共可以构成－＝35－4＝31（个）不同三角形，故选B. 法二（分类法）　第一类：B，D，E，F四个点中一个点都不取，可构成＝1（个）三角形；第二类：从B，D，E，F四个点中取1个点，在A，C，G中取2个点，可构成＝12（个）三角形；第三类：从B，D，E，F四个点中取2个点，在A，C，G中取1个点，可构成＝18（个）三角形.共可以构成1＋12＋18＝31（个）三角形，故选B. 3.（2024·苏锡常镇四市调研）设（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋…＋a5＝（　　） A.－2 B.－1 C.242 D.243 【答案】C　令x＝0，则15＝a0，∴a0＝1；令x＝1，则35＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35－1＝242.故选C. 4.（3x－y＋2z）5的展开式中所有不含字母z的项的系数之和为 ；含x3yz项的系数为 . 【答案】由二项式定理得（3x－y＋2z）5的展开式的通项公式为Tr＋1＝（3x－y）5－r·（2z）r，欲使得不含z，则r＝0，∴T1＝（3x－y）5，令x＝1，y＝1，则所有不含字母z的项的系数之和为25＝32；含x3yz的项是·（3x）3（－y）·2z＝－1 080x3yz，故其系数为－1 080. 5．在调查某中学的学生身高时，已知全校共600名学生，其中有400名男生，200名女生，现从全校的学生身高中用分层随机抽样的方法抽取30名学生的身高作为样本，样本中男生身高的平均数为170，方差为16，女生身高的平均数为164，方差为25，则利用样本估计总体的平均值为 ，估计总体的方差为 . 【答案】易知抽取的30名学生中，男生有20名，女生有10名，则用样本估计总体的平均值为＝168，估计总体的方差为s2＝×[16＋（170－168）2]＋×[25＋（164－168）2]＝27. 【预习要求】 1、 认真阅读学案、熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 提前解题，提前口述排列组合有哪些方法、类型，并说出适用题型(建议用笔记本纸书写)； 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学案31 计数原理与统计初步（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）两个计数原理、排列与组合、二项式定理主要以选择题、填空题的形式考查，其中排列与组合时常与概率相结合； （2）对统计图表与数字特征的考查，一般难度较小 2、易错易混点归纳 （1）二项式定理不熟练，对系数与二项式系数理解不到位致错； （2）排列组合题型不清晰致错； 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.易错提醒　易混淆（a＋b）n展开式的“项的系数”与“二项式系数”. 2.求一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据； 第2步：计算i＝n×p%； 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数. 3.利用频率分布直方图求百分位数 第p百分位数的求法：确定要求的p%分位数所在分组[A，B），由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距×. 【典例探究】 考点一　两个计数原理、排列与组合 学法指导：求解排列与组合问题的方法 （1）直接法：相邻问题“捆绑法”，不相邻问题“插空法”.解决定序问题，可先不考虑顺序限制，排好后，再除以定序元素的全排列； （2）间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法求解. 【例1】（新编）（1）（2021·山东卷）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（　　） A.12 B.18 C.20 D.60 （2）为了缩小城乡教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A，B，C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法种数有（　　） A.25 B.60 C.90 D.150 考点二　二项式定理 学法指导：1.求（a＋b）n的展开式中的特定项一般要应用通项公式Tk＋1＝an－kbk（k＝0，1，2，…，n），注意它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项. 2.求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解. 3.求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法. 4.求解系数和问题应用赋值法. 【例2】（新编）（1）（多选）在（ 2x－）8的展开式中，下列说法正确的是（　　） A.常数项是1 120 B.第四项和第六项的系数相等 C.各项的二项式系数之和为256 D.各项的系数之和为256 （2）（2＋）（x－2y）6的展开式中x4y2的系数为 .（用数字作答） 考点三　统计图表与数字特征 学法指导：1.关于平均数、方差的计算 样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式，要特别注意标准差是方差的算术平方根. 2.用样本的数字特征估计总体的数据分布特征 （1）估计总体集中趋势的统计量：众数、中位数、平均数； （2）用百分位数估计数据的分布特征； （3）估计总体的离散程度的统计量：极差、方差、标准差. 【例3】（1）（多选）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（　 　） A.该地农户家庭年收入的极差为12 B.估计该地农户家庭年收入的75%分位数为9 C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D.估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元 （2）（2024·赣州模拟改编）若一组样本数据x1，x2，…，x8的方差为2，（－1）ixi＝－2，yi＝xi＋（－1）i（i＝1，2，…，8），则样本数据y1，y2，…，y8的方差为 . 【训练检测】 1.（2024·深圳期末考试）“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，如图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A，B，C为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（　　） A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 2.（2024·太原高三模拟考试）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（　　） A.30　　　　B.31 C.34　　　　D.35 3.（2024·苏锡常镇四市调研）设（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋…＋a5＝（　　） A.－2 B.－1 C.242 D.243 4.（3x－y＋2z）5的展开式中所有不含字母z的项的系数之和为 ；含x3yz项的系数为 . 5．在调查某中学的学生身高时，已知全校共600名学生，其中有400名男生，200名女生，现从全校的学生身高中用分层随机抽样的方法抽取30名学生的身高作为样本，样本中男生身高的平均数为170，方差为16，女生身高的平均数为164，方差为25，则利用样本估计总体的平均值为 ，估计总体的方差为 . 【预习要求】 1、 认真阅读学案、熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 提前解题，提前口述排列组合有哪些方法、类型，并说出适用题型(建议用笔记本纸书写)； 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$