计数原理与概率导学提纲-2025届高三数学二轮复习

高碑店市新城紫泉中学二轮复习导学提纲（高三数学） 编制人：许志成 审核：高三数学组 编号： 班级： 姓名： 日期： 课题：计数原理与概率 [高考导航]：主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主. 要点梳理 1．排列数与组合数 (1)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m，n∈N*，m≤n)． 规定0！＝1. (2)组合数公式：C＝＝，C＝(m，n∈N*，m≤n)． (3)组合数的性质：性质1：C＝C；性质2：C＝C＋C(m，n∈N*，m≤n)． 2．排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题缩倍法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件． 3．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn.通项：Tk＋1＝Can－kbk，其中C(k＝0,1，…，n)叫做二项式系数． 4．二项式系数的性质 (1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C＝C(k＝0,1,2，…，n)． (2)二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (3)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 5．概率公式 (1)古典概型的概率公式 P(A)＝＝. (2)条件概率公式 在A发生的条件下，B发生的概率P(B|A)＝. (3)相互独立事件同时发生的概率公式 若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)． (4)互斥事件的概率公式 若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P()＝1－P(A)． (5)全概率公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝． 例1. （1）(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． （2）(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A． B． C． D． 练习：(2024·山东青岛一模)A，B，C，D四个家庭各有2个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4人(乘同一辆车的4个小孩不考虑位置)，其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个小孩恰有2个来自同一个家庭的乘坐方式共有(　　) A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 例2.(多选)(2024·河北石家庄二中摸底)已知(n∈N*)展开式中共有7项，则该展开式中(　　) A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1 C．二项式系数最大项为第4项 D．有理项共有4项 练习： （1）(2024·重庆巴蜀中学月考)若展开式中的常数项为16，则实数a＝(　　) A．1 B． C． D． （2）(2024·湖北六校联考)(2x＋y＋1)6的展开式中，xy3的系数为(　　) A．120 B．480 C．240 D．320 （3）(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________． 例2.(多选)(2024·浙江嘉兴模拟)甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以A1，A2和A3表示事件由甲盒子取出的球是红球、白球和黑球；再从乙盒子中随机取出一球，以B表示事件由乙盒子取出的球是红球，则下列结论中正确的是(　　) A．A1，A2，A3是两两互斥事件 B．P(B|A1)＝ C．P(B)＝ D．事件B与事件A1相互独立 练习： （1）(2024·四川成都联考)从5名男生2名女生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是(　　) A． B． C． D． （2）(2024·江苏四市联考)从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是(　　) A．　　　B．　　 　C．　　　D． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$