精品解析：广东广州市第六中学2026届高三下学期考前自测数学试题

2026年广州六中高三三模数学试题 命题人：曹永生、杨刚；审题人：黎楚倩 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】复数满足，即， 化简可得， 所以复数的模为. 3. 已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性与导数的关系、以及函数下降速度的快慢判断即可. 【详解】当时，且递减，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”， 当时，且递增，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意. 5. 从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B独立 C. A与C互斥 D. A与C独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型求，再根据互斥事件和独立事件的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：随机选两个人参加某个比赛，可知： 样本空间：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）， 则， 事件A：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），则，； 事件B：（甲，丙），（甲，丁），（丙，丁），则，； 事件C：（甲，乙），（丙，丁），则，； 事件AB：（甲，丙），（甲，丁），则，； 事件AC：（甲，乙），则，； 对于选项A：因为，可知A与B不互斥，故A错误； 对于选项B：因为，所以A与B不独立，故B错误； 对于选项C：因为，可知A与C不互斥，故C错误； 对于选项D：因为，可知A与C独立，故D正确； 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值. 【详解】， . 故选：A 7. 已知，设函数的零点个数为，则＝（ ） A. 120 B. 210 C. 75 D. 240 【答案】A 【解析】 【分析】先利用图象的交点求出当n＝1时的零点个数，再根据正弦型函数的周期以及得出数列为等差数列即可求出. 【详解】过点， 则可作出的图象. 当n＝1时，作出的图象， 因为，故的图象与图象有3个交点； 注意到的周期为4，， n每增加1个单位，也增加个单位（一个周期），则交点增加2个， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以. 8. 在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求，进而利用线面垂直可判断点轨迹为，求解周长即可． 【详解】连接、，交于点，连接， 为菱形，， 所以，，， 所以为二面角的平面角， 于是， 又因为， 所以， 取中点，取中点，连接、、，所以、， 所以、，，相交， 所以平面， 所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为， 因为，，， 所以的周长为， 所以点轨迹的长度为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，即可表示出，再分和两种情况讨论，即可判断. 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的前项和公式为， 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确， 当时，是关于的二次函数，且该二次函数的图象过原点， 则是过原点的抛物线上的点，所以选项A、D正确． 故选：ABD． 10. 在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A. 甲组中位数为3，极差为4 B. 乙组平均数为2，众数为2 C. 丙组平均数为3，方差为2 D. 丁组平均数为3，第65百分位数为6 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为4分，由中位数为3得到矛盾，A正确；C选项，根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，故C正确；BD选项，可举出反例. 【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分， 根据极差为4，得到最低失分为4分， 此时中位数不可能为3，故假设不成立， 则该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，A正确； B选项，假设乙组的失分情况为， 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误； C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为， 丙组平均数为3，方差为2， 即， 若，则，不合要求，故， 所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，C正确； D选项，，故从小到大，选取第7个数作为第65百分位数， 即从小到大第7个数为6， 假设丁组失分情况为， 满足平均数为3，第65百分位数为6，但不是“优秀小组”，D错误. 故选：AC 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， B正确， 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确. 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求出，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为在方向上的投影向量为，即， 所以，则， 故. 13. 现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥与球的表面积公式计算求解即可． 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则其表面积为， 球的表面积为，所以， 即，解得（负值舍去）， 故圆锥的底面直径与母线长的比值为． 故答案为： 14. 已知函数有三个零点（），则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确定根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围. 【详解】函数的定义域为R，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，；时，，， 函数的图象，如图： 函数有三个不同的零点，令， 则方程有两个不同的实数根， ，， 因此，即，且， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦的和角公式及倍角公式得，再结合条件，即可求解； （2）根据条件得，由可得或，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 ， 又的最小正周期为，，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 由时，得到，所以或 即或， 因为在区间上有且仅有3个零点， 由，令，得；令，得； 由，令，得；，得； 所以， 故的取值范围是. 16. 已知三棱锥P－ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中： （1）证明：平面PAC⊥平面ABC； （2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成角最大时，求二面角M－BC－A的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形， 设的中点为，连接， 依题意，，，， 则，在中，，于是， 由，平面，得平面， 而平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，，，平面，则平面， 是直线与平面所成的角，且， 则当最短时，即是的中点时，最大，而直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，取，得， 因此，由图知二面角的大小为锐角， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. （1）求的标准方程； （2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义及所过点求出即可得椭圆方程. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理定理，结合弦长及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，， 椭圆：过点，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，设直线的方程为，，， 由消去得， ，， ，， 而，，则，解得， 所以. 18. 如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码． （1）若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率； （2）记的数学期望为，记． ①设数列的前项和为，求证：； ②设与最接近的整数为，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）①证明过程见解析；② 【解析】 【分析】（1）设出事件，接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右，从而得到概率； （2）①，由二项分布得到，故，所以，作差法得到，故； ②，分为奇数和偶数，得到的通项公式，进而分奇偶，分组求和，得到. 【小问1详解】 设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A，“小球最后落入编号为5的格子”为事件B， 设向右下落次数为． 因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子， 所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右， 所以， 小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为； 【小问2详解】 ①，则， 所以，所以． 因为，所以． 故数列的前项和． ②因为，所以． 当为奇数时，为整数，故，当为偶数时，为偶数，故． 所以， 当时，，所以， 由于，故， 当时，，所以， 由于，故， 所以. 【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 19. 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 【答案】（1）＂2次缠绕＂。理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）找到和时，，则得到其为“2次缠绕”； （2）转化为存在互异的三个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可； （3）方法一：取，令，则，且，即可证明存在，则证明了结论；方法二： 记，取，设，再对分奇数和偶数讨论即可. 【小问1详解】 函数和＂2次缠绕＂， 理由如下：，当和时，， 则对任意， 当且仅当和时，等号成立， 所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂． 【小问2详解】 设， 因为和在上＂3次缠绕＂， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时等号成立， 所以是的三个零点． 注意到，所以1是的一个零点． ， ①当时，在上单调递增， 1是的唯一零点，不合题意． ②当时，在上单调递减， 1是的唯一零点，不合题意． ③当时，令，存在两根， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上单调递减，所以，即， 所以存在． 又， 所以存在． 所以恒成立， 即时，和在上＂3次缠绕＂， 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 方法一：取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且和在上＂次缠绕＂． 方法二：记，取， 设，其中，则， 且当时，， 因为， 所以与同号，（＊） 为奇数时，设， 显然，且， 当时，与同号， 由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号； 所以． 为偶数时，设， 同理可知，，且和“次缠绕”． 综上，存在，使得， 且和在上“次缠绕” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广州六中高三三模数学试题 命题人：曹永生、杨刚；审题人：黎楚倩 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（ ） A. B. C. D. 5. 从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B独立 C. A与C互斥 D. A与C独立 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，设函数的零点个数为，则＝（ ） A. 120 B. 210 C. 75 D. 240 8. 在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A. 甲组中位数为3，极差为4 B. 乙组平均数为2，众数为2 C. 丙组平均数为3，方差为2 D. 丁组平均数为3，第65百分位数为6 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 13. 现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为______． 14. 已知函数有三个零点（），则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 16. 已知三棱锥P－ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中： （1）证明：平面PAC⊥平面ABC； （2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成角最大时，求二面角M－BC－A的余弦值． 17. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. （1）求的标准方程； （2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 18. 如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码． （1）若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率； （2）记的数学期望为，记． ①设数列的前项和为，求证：； ②设与最接近的整数为，求数列的前项和． 19. 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $