精品解析：江西省抚州市东乡区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期 九年级数学期中测试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 甲、乙、丙3名志愿者报名参加核酸检测工作，随机抽取2名志愿者，甲在其中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲在其中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中甲在其中的结果数为4，所以甲在其中的概率为， 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 3. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】 或 解得或 ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：C． 4. 如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 连接，先证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 于点，于点， ， 四边形是正方形， ∴，， 四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 当时，最小，则最小， 此时，， 即， ， 的最小值为， 故选：A． 5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 6. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据翻折的性质可得CF＝FH，∠HFE=∠CFE，可证△FEH是等腰三角形，可得HE=HF=FC，判断出四边形CFHE是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，判断出②错误；过点F作FM⊥AD于M，点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=FM=MD＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确． 【详解】解：∵将纸片ABCD沿直线EF折叠， ∴FC=FH，∠HFE=∠CFE， ∵AD∥BC， ∴∠HEF=∠EFC=∠HFE，HE∥FC， ∴△HFE为等腰三角形， ∴HE=HF=FC， ∵EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分， ∴EH∥CF，且HE=FC， ∴四边形CFHE是平行四边形， ∵FC=FH， ∴四边形CFHE是菱形，故①正确； ∵HC为菱形的对角线， ∴∠BCH＝∠ECH，∠BCD=90°， ∴只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，故②错误； 过点F作FM⊥AD于M， 点H与点A重合时，BF最小，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， 点G与点D重合时，点H与点M重合，BF最大，CF=FM=DM＝CD＝4， ∴BF＝4， ∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确； 当点H与点A重合时，由③中BF=3， ∴AF=AE=CF=EC=8-3=5， 则ME＝5﹣3＝2， 由勾股定理得， EF＝＝2，故④错误； 综上所述，结论正确的有①③共2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握矩形折叠性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ___________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2023． 8. 有四张正面分别标有数字， ， ， 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个正数的概率是 _____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之积为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为正数的结果有4种， ∴抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是， 故答案为：． 9. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，即可求出的长，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 11. 已知关于的方程两个根是互为相反数，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2，再由题意方程x2-（a2-2a-15）x+a-1=0两个根是互为相反数，即可得x1+x2=0，即可求a的值． 【详解】根据题意得x1+x2=-=a2-2a-15， 又∵x1+x2=0， ∴a2-2a-15=0， ∴a=5或a=-3， ∵当a=5时，x2+4=0无实根， ∴a的值为-3． 【点睛】一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=-，x1•x2=． 12. 矩形，平分交矩形一边于点E，若，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】画出符合条件的两种情况，根据矩形性质求出，，求出的度数，求出即可得出结论． 【详解】解：有两种情况： ①与边相交时，如图1， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②与边相交时，如图2， ∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形性质和含30度角的直角三角形性质，勾股定理的应用，解题的关键是画出符合条件的所有情况的图形． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 14. 2021年我省开始实施“”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门，共计6门科目，总分750分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治（A）、地理（B）、化学（C）、生物（D）四门科目中任选2门选到化学（C）、生物（D）的概率． 【答案】 【解析】 【分析】从所有等可能结果中找到同时包含生物和化学的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】设思想政治为 A， 地理为 B，   化学为 C， 生物为 D，画出树状图如下： ∵共有 12 种等可能情况，选中化学、生物的有2 种 ∴P（选中化学、生物）==． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率． 15. 如图，在正方形中，为上任意一点，于，于，试说明：． 【答案】 证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ∴， 又， 四边形是矩形； ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的判定与性质．根据条件可以得到四边形是矩形，因而，同时易证是等腰直角三角形，因而，则． 【详解】略 16. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一个根为3，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值； （1）根据一元二次方程根的判别式：即可得出结论； （2）根据方程有一个根为3，得出， 然后整体代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根为3， ∴， 整理，得：， ∴ ． 17. 如图，在正方形中，是对角线上一点，点在的延长线上，连接交于点． （1）求证：； （2）若，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质证明是解题的关键． （1）由正方形性质可得，，再利用即可证明； （2）结合（1）的结论，可得，，再根据，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结论：，， 理由：∵， ∴， ∵， ∴；， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 四、解答题（本大题共3题，每题8分，共24分） 18. 先化简，再求值：，其中x是方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则，进行化简，因式分解法解一元二次方程，选择使分式有意义的解代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， 解得：， ∵， ∴， ∴当时，原式． 19. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用） 【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元 【解析】 【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式； （2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程． 【详解】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， ∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20． 故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20； （2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000， 整理，得 x2﹣420x+32000=0， 解得x1=320，x2=100． 当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）． 当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）． 所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况； （2）设，是方程的两个根，求的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2） 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，由，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【小问1详解】 解：由整理得：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 由（）得：， ∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 五、（本大题共两题，每题9分，共18分） 21. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质： （1）先证明四边形是平行四边形，矩形的性质得到，即可得证； （2）根据矩形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积 22. 阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． （1）按照上述方法，将代数式变形为的形式； （2）若，用配方法求的最小值； （3）已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）的最小值是5 （3） 是等边三角形， 理由：， ， ， 是等边三角形； 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，整式的混合运算，非负性，等边三角形的判定和性质， （1）根据材料提示的配方法即可求解； （2）运用配方法及非负性即可求解； （3）运用分组配方法可得，根据非负性可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴ ， 所以，的最小值是； 【小问3详解】 略 六、本大题12分 23. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期 九年级数学期中测试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 甲、乙、丙3名志愿者报名参加核酸检测工作，随机抽取2名志愿者，甲在其中的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 3. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 4. 如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ___________． 8. 有四张正面分别标有数字， ， ， 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个正数的概率是 _____________ ． 9. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为________ 10. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 11. 已知关于的方程两个根是互为相反数，则的值为________． 12. 矩形，平分交矩形一边于点E，若，，则______． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）． 14. 2021年我省开始实施“”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门，共计6门科目，总分750分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治（A）、地理（B）、化学（C）、生物（D）四门科目中任选2门选到化学（C）、生物（D）的概率． 15. 如图，在正方形中，为上任意一点，于，于，试说明：． 16. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一个根为3，求的值． 17. 如图，在正方形中，是对角线上一点，点在的延长线上，连接交于点． （1）求证：； （2）若，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 四、解答题（本大题共3题，每题8分，共24分） 18. 先化简，再求值：，其中x是方程的解． 19. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况； （2）设，是方程的两个根，求的值． 五、（本大题共两题，每题9分，共18分） 21. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 22. 阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． （1）按照上述方法，将代数式变形为的形式； （2）若，用配方法求的最小值； （3）已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 六、本大题12分 23. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $