2.1.1 平方根的概念 课件 2024--2025学年湘教版七年级数学下册

第2章 实数 第2章 实数 2.1 平方根 2.1.1 平方根的概念 第2章 实数 如何运用乘法公式进行计算： 3.灵活应用公式进行求值计算. 2.有时会结合其它运算法则； 1.先观察式子的特点，选取适当的乘法公式； 知识回顾 第2章 实数 祖冲之（429—500），南朝科学家，推算出了圆周率 π 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之间. 古往今来，数学家们乐此不疲地寻求 π 的精确值，如今借助超级计算机，π 的值已经推算到了小数点后万亿位以上，但还是无法穷尽. 新课导入 第2章 实数 除此之外，还有很多像 π 这样的数，它们都不是有理数， 从而我们需要扩充对数的认识. 将数扩充后，原有的运算律及运算法则是否适用于新的数？ 怎样用有理数估计这些数的大致范围？ 本章将为你解开上述疑惑. 新课导入 第2章 实数 某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？ ？ 每块正方形地垫的面积是 10.8÷30=0.36(m2). 即 边长×边长=0.36. 由于 0.62=0.36， 因此正方形地垫的边长是0.6m. 新课导入 第2章 实数 小明将一个长为2、宽为1的长方形纸片，按图所示方法剪拼成了一个正方形. 新课讲解 说一说 新课讲解 第2章 实数 观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？ 正方形的面积是2，但不知道边长. 这个问题的实质就是要找一个 数，使它的平方等于给定的数. 新课讲解 说一说 新课讲解 第2章 实数 如果有一个数 r，使得 r2=a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说， 若 r2 =a，则 r 是 a 的一个平方根. 例如，由于22=4，因此2是4的一个平方根. 抽象 新课讲解 第2章 实数 4的平方根除了2以外，还有其他的数吗？ 2 4 -2 我是你的平方根 很高兴认识你. 其实我也是你的平方根. 为什么-2也是4的平方根？ 因为(-2)2=4，因此-2也是4的一个平方根. 新课讲解 第2章 实数 4的平方根除了2和－2以外，还有其他的数吗？ 因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以比2大的数都不是4的平方根. 类似地，边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，从而比2小的正数都不是4的平方根. 探究 新课讲解 第2章 实数 又由于(-b)2=b2，因此，大于-2或小于-2的负数都不是4的平方根. 0显然不是4的平方根. 所以4的平方根有且只有两个：2与-2. 探究 新课讲解 第2章 实数 一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r. 正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”； 正数a的负平方根记作 -，读作“负根号a”. 这样，正数a的两个平方根可以用“±”来表示，读作“正、负根号a”. 新课讲解 第2章 实数 于是，4的平方根是±，由上可知±=±2. 同样，2的平方根是±.由于正方形的边长为正数， 因此，本节开篇“说一说”中拼成的面积是2的正方形的边长为. 新课讲解 第2章 实数 0 的平方根是多少？负数有平方根吗？ 思考 新课讲解 第2章 实数 由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此 0的平方根就是0本身. 在目前我们所学习的数中， 由于同号两数相乘得正数，且02=0，因此，不存在一个数的平方是负数，从而负数没有平方根. 0的平方根也叫作0的算术平方根，记作，即=0. 思考 新课讲解 第2章 实数 正数平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根. 新课讲解 归纳总结 第2章 实数 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数. 根号“”可理解为一种运算符号，表示对被开方数进行开平方运算.开平方与平方互为逆运算，根据这种关系,可以求一个数的平方根. 例如，9的平方根是±3， ±3的平方是；5的平方根是±， ±的平方是5. 新课讲解 第2章 实数 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 开平方 平方 新课讲解 第2章 实数 例1 分别求下列各数的平方根： （1） 36； （2）； （3）1.21. 解 : （1）由于（±6）2=36， 因此36的平方根是6与-6， 即 （2）由于（±）2= ， 因此 的平方根是 与 - ， 即 新课讲解 第2章 实数 例1 分别求下列各数的平方根： （1） 36； （2）； （3）1.21. （3） 由于（±1.1）2=1.21， 因此1.21的平方根是1.1与-1.1， 即 新课讲解 第2章 实数 练习 已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________． 解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4， ∴2a－2＋a－4＝0， 解得a＝2. 2 新课讲解 练一练 第2章 实数 方法总结：本题考查了平方根的概念． 一个正数有两个平方根，它们是互为相反数， 两个数互为相反数，它们的和为0. 新课讲解 练一练 第2章 实数 例2 分别求下列各数的算术平方根： （1）100； （2）1.96； （3）. 解: （1）由于102=100，因此=10 . （3）由于 （）2 = ，因此 = . （2）由于1.42=1.96，因此 1.4 . 正数的算术平方根只有一个. 新课讲解 第2章 实数 下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？ （1）； （2）（-5）2 . 新课讲解 议一议 新课讲解 第2章 实数 练习 若|m-1| + =0,求m+n的值. 解: 因为|m-1| ≥0， ≥0， 又|m-1| + =0， 所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3， 所以m+n=1+(-3)= -2. 新课讲解 练一练 第2章 实数 方法归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0， 初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根. 新课讲解 练一练 第2章 实数 1. 分别求下列各数的平方根： （1）64； （2）； （3）6.25. 解： （1）64的平方根是8与-8， （2） 的平方根是 与 ， （3） 6.25的平方根是2.5与-2.5. 练 习 课 内 版 课堂练习 第2章 实数 2. 分别求下列各数的算术平方根. （1）81； （2） ； （3）0.16. 解： （1）81 的算术平方根是 9， （2） 的算术平方根是 ， （3）0.16 的算术平方根是 0.4. 练 习 课 内 版 课堂练习 第2章 实数 3. 判断下列说法是否正确，并说明理由. （1） 的值是±4； 练 习 课 内 版 课堂练习 第2章 实数 3. 判断下列说法是否正确，并说明理由. （2）(-4)2的平方根是-4. 练 习 课 内 版 课堂练习 第2章 实数 已知 ，求x的值． 解：∵ ∴ ∴ x=12 或 x=－10. 练 习 课 外 版 课堂练习 第2章 实数 课后小结 第2章 实数 平方根的概念 正数的平方根 正平方根 算术平方根 负平方根 0的平方根 就是0本身 负数的平方根 没有 第2章 实数 $$