精品解析：河北省保定市竞秀区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期阶段性检测 九年级数学试卷 本试卷分卷I和卷II两部分；卷I为选择题，卷II为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷I（选择题，共36分） 注意事项： 1．答卷I前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题；每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 一元二次方程的解为（    ） A. B. C. ， D. ， 2. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 4. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白球 B. 黄球 C. 红球 D. 黑球 5. 若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．若，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率就是概率 C. 若顺次连接某四边形的四边中点得到一个正方形，则原四边形一定是正方形 D. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 10. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，道路的宽为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，点在边上，且，过点作交的延长线于点，那么图中相似三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 12. 如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至处，延长交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 卷II（非选择题，共84分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题共4个小题；每小题每题3分，共12分） 13. 如果，那么__________． 14. 把一转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆等分成三等份，并标上数字如图所示，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在奇数区域的概率是 _____． 15. 已知m、n、6分别是等腰三角形的三边长，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则k的值为______． 16. 如图，折叠矩形纸片ABCD，，，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合）．把沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点． （1）如图1，若，则DG的长是______． （2）如图2，若点C恰在射线EF上，连接DH，则线段DH的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得． …第一步 移项，合并同类项，得． …第二步 系数化为1，得． …第三步 任务： （1）小明的解法从第______步开始出现错误； （2）请写出此题的正确解题过程． 18. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 19. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 20. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 21. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，依题意，可列方程________； （2）从7月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物付降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物每件售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【推理证明】已知：如图1，在中，，点是边的中点．求证：． 证明：如图2，延长至，使，连接，．请你补全余下的证明过程： 【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由： 【拓展思考】如图，在四边形中，，点是的中点．若则=______． 24. 综合与实践 问题情境： 在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接． 数学思考： （1）线段与的数量关系为___________，位置关系为___________． 猜想证明： （2）如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展探究： （3）在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期阶段性检测 九年级数学试卷 本试卷分卷I和卷II两部分；卷I为选择题，卷II为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷I（选择题，共36分） 注意事项： 1．答卷I前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题；每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 一元二次方程的解为（    ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，， 故选：C． 2. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据，，可计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ∵裁出的每面彩旗与矩形绸布相似， ， ， ， (舍去)或 故选：D． 4. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白球 B. 黄球 C. 红球 D. 黑球 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是白球， 故选：A． 5. 若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到，，再根据一次函数的性质判断即可得到答案； 【详解】解：方程配方得， ， ∴，， ∴直线经过一、二、四象限，不经过三象限， 故选：C． 6. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．若，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行的性质、相似三角形的性质与判定，由题意得，，可证，得，即，再利用求解即可． 【详解】解：如图，由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A 7. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】①当时，，解得： ②当时，关于x的方程有实数根 ∴ ∴且 综上所述，k的取值范围为：． 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率就是概率 C. 若顺次连接某四边形的四边中点得到一个正方形，则原四边形一定是正方形 D. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，频率估计概率，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定方法即可判断A，根据频率根据概率可以判断B，根据中点四边形的性质，可以判断C，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以判断D． 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； B．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率接近概率，但频率不是概率，故原说法错误，不符合题意； C．若顺次连接某四边形的四边中点得到一个正方形，则原四边形的对角线相等且互相垂直，而对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故原说法错误，不符合题意； D．如图，中为边上的中线，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴为直角三角形， ∴如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，故此说法正确，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，道路的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 【详解】解：设道路的宽为， ， 解得：（舍去），， 故选：A． 11. 如图，在中，点在边上，且，过点作交的延长线于点，那么图中相似三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定及性质；掌握相似三角形的判定方法是解题的关键；由平行条件及已知得；由，得；由，可得；由，，得 ，再由相似的传递性质得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， 由相似三角形的传递性，得； 故有4对相似三角形． 故选：C． 12. 如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至处，延长交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积，多边形内角和问题等等．先求出，，再由折叠的性质得到，，，即可利用证明即可判断①；设，则，在中，，，，由勾股定理可得，求得的值，即可判断②；分别求出两个三角形的面积即可判断③；在五边形中，由，得到，即可判断④． 【详解】解：∵在正方形中，，， ∴，， ∴，， ∵将沿对折至， ∴，，， 又∵， ∴，故①正确； ∴，， 设，则， 在中，，，， 由勾股定理可得， 解得，此时，则，满足条件，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 在五边形中，， 即， ∴，故④正确； ∴正确的有4个， 故选：D． 卷II（非选择题，共84分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题共4个小题；每小题每题3分，共12分） 13. 如果，那么__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由，求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 把一转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆等分成三等份，并标上数字如图所示，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在奇数区域的概率是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：指针落在奇数区域的概率是就是所标数字为奇数的面积与总面积的比值． 【详解】解：观察这个图可知：所标数字为奇数的面积占总面积的， ∴指针落在奇数区域的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率的计算，理解并掌握“概率＝相应的面积与总面积之比”是解题关键． 15. 已知m、n、6分别是等腰三角形的三边长，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则k的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，分两种情况讨论：为底边或为腰，依次代入计算，即可解答，根据题意，注意无法组成三角形的情况，是解题的关键． 【详解】解：当为底边时，则， 即关于x的一元二次方程的两根相等， ， 解得， 当时，可得方程，解得， 等腰三角形的三边长为，符合题意； 当为腰时，则其中有一个为6， 将代入，可得， 解得， 当时，可得方程， 解得， 无法组成三角形， 该种情况，不符合题意， 综上所述，， 故答案为：1． 16. 如图，折叠矩形纸片ABCD，，，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合）．把沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点． （1）如图1，若，则DG的长是______． （2）如图2，若点C恰在射线EF上，连接DH，则线段DH的长是______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】（1）证△AEB≌△DGE即可； （2）先证CE=CB=10，从而求出CF=8，则AE=EF=2，DE=8，再证△ABE∽△DEG，得，即可求出DG=，由勾股定理即可求得EG=，最后根据S四边形DGFE=，即可求出DH． 【详解】解：（1）如图1，∵矩形ABCD， ∴AD=BC=10，CD=AB=6，∠A=∠D=90°， ∴DE=AD-AE=10-4=6， ∴DE=AB， 由折叠得：∠AEB=∠BEF，∠DEG=∠HEG， ∴∠AEB+∠BEF+∠DEG+∠HEG=180°， ∴∠AEB+∠DEG=90°， ∵∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠DEG， ∴△AEB≌△DGE（ASA）， ∴DG=AE=4， 故答案为：4； （2）如图2，由折叠可知∠AEB=∠FEB，AE=EF，AB=BF=6，∠BFE=∠A=90°， ∵ADBC， ∴∠AEB=∠EBC， ∴∠FEB=∠EBC， ∴CE=CB=10， ∵点C在直线EF上， ∴∠BFC=90°，CF=10-EF=10-AE， ∴CF=， ∴AE=EF=CE-CF=10-8=2， ∴DE=AD-AE=10-2=8， 由（1）知，∠ABE=∠DEG， 又∵∠GDE=∠A=90°， ∴△ABE∽△DEG， ∴，即， ∴DG=， ∴EG=， 由折叠可知，EG垂直平分线段DH， ∴S四边形DGFE=， ∴， ∴， ∴DH=． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，本题属矩形折叠问题，属中考试常考题型． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得． …第一步 移项，合并同类项，得． …第二步 系数化为1，得． …第三步 任务： （1）小明的解法从第______步开始出现错误； （2）请写出此题的正确解题过程． 【答案】（1）一 （2） 解∶ ， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：小明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； 【小问2详解】 略 18. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 19. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）概率公式：； （2）画树状图求概率． 【小问1详解】 解：恰好抽到B（滑板）的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：． 20. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】（1）属于 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【小问1详解】 解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； 【小问2详解】 解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 21. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质. （1）先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形的判定即可得证； （2）先利用菱形的性质得出， ，，然后勾股定理求出，然后利用等面积法求出，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，对角线与交于点O ，，， ， ， 菱形的面积 ， ， ∵四边形是矩形， ． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，依题意，可列方程________； （2）从7月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物付降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物每件售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据题意得出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 故答案为： 【小问2详解】 设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 23. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【推理证明】已知：如图1，在中，，点是边的中点．求证：． 证明：如图2，延长至，使，连接，．请你补全余下的证明过程： 【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由： 【拓展思考】如图，在四边形中，，点是的中点．若则=______． 【答案】【推理证明】证明：∵点是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴为矩形， ∴， 【探究问题】四边形是菱形． 理由：，， 四边形是平行四边形， ， ， 又，为的中线，，为的中线 四边形为菱形． 【拓展思考】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形、矩形及菱形的判定． [推理证明]：依据对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明． [探究问题]：结合题意四边形为平行四边形，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可． [拓展思考]：连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，，，利用外角定理设未知数、，列出方程即求出，即可得出答案． 【详解】[推理证明]略 [探究问题]略 拓展思考 连接，如图， ，点是的中点， ， ，，， 设，， ，， 故答案为：． 24. 综合与实践 问题情境： 在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接． 数学思考： （1）线段与的数量关系为___________，位置关系为___________． 猜想证明： （2）如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展探究： （3）在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2） 解：． 理由：如图1，连接． 图1 由（1）知，和都是等腰直角三角形． 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 在中，， ， ． （3）或 【解析】 【分析】连接，则， ，，根据题意得，判定，有，，即可得到； 连接，由（1）知，和都是等腰直角三角形．可证得，有，进一步证得，得到．在中，即可； 当点在线段上时，由题意得，得到．利用勾股定理得，即可求得，利用（2）的结论即可求得；当点在线段上时，同上求得，利用（2）的结论即可求得． 【小问1详解】 解： ．理由如下： 连接，如图， ∵四边形为正方形纸片， ∴， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 则 【小问2详解】 略 【小问3详解】 线段的长为或． 情况1：如图2，当点在线段上时， 图2 ， ． 在中，． 是的中点， ． ，且点在同一条直线上， ， 在中，， ． ， ． 情况2：如图3，当点在线段上时， 图3 ， ， 在中，． 是的中点， ． ，且点在同一条直线上， ． 在中，， ． ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形、勾股定理和二次根式的混合运算，解题的关键是熟悉旋转的性质和相似三角形的性质，以及作辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $