精品解析：福建省南平市2024-2025学年九年级上学期期末教学质量第一次抽测数学试卷

南平市2024-2025学年初中毕业班教学质量第一次抽测数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） 友情提示： ① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效； ② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列符号中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 三角形内角和是 B. 明天的太阳从西边升起 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 汽车累计行驶，从未出现故障 3. 对于反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 任意实数 4. 如图，是由绕点A顺时针旋转得到，下列各角中，度数一定等于的角是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，A，B，C，D是上的四个点，若 ，则的大小为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形对角线的长为8，则正六边形的边长为（　　） A. 2 B. C. D. 4 7. 已知某个一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是下列四个方程中的（　　） A. B. C. D. 8. 玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现在从一块直径为的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩（在圆上，且），则这个扇形玉佩的面积是（　　） A. B. C. D. 9. 飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与y 轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 12. 点关于原点对称的点的坐标是_______________． 13. 将二次函数化为的形式为__________． 14. 有20件外观相同的产品，其中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为______． 15. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利3456元，且从2月到4月，每月盈利平均增长率都相同．设每月盈利的平均增长率为x，根据题意，列出的方程为______． 16. 如图，正方形中，，把绕点逆时针旋转得到，连接．那么______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程：． 18. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，绕点O顺时针旋转后得到（两个三角形的顶点都在格点上），点A，B，C分别对应点D，E，F． （1）在图中标出点O位置； （2）求点B所经过的路径长度（结果保留）． 19. 小明一家5人搭乘高铁外出旅游，在“铁路12306”网站上购买车票，5人的车票在同一车厢同一排（如图，是高铁座位示意图），如果5个座位是随机分配的，用画树状图或列表的方法，求小明与爸爸分配的座位是相邻（过道两侧也算是相邻）的概率是多少？ 20. 如图①，某实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到4组数据(如下表)．该同学经过分析数据发现，m与对应的h的值成反比例关系． 重物质量m/kg 2 3 4 6 活塞与桶底的距离h/cm 24 16 12 t （1）计算：t =_____； （2）请你以m的值作为一个点的横坐标，对应的h 值作为该点的纵坐标，利用表中数据得到4个点的坐标，将这4个点描在如图②所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； （3）要使活塞与筒底距离h满足：时，求出m 的取值范围． 21. 如图，是的直径，直线与相切于点B，点D是上的一点，，延长交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：． 22. 如图，在足够大的空地上，某人利用墙和一段长29米的篱笆围成矩形菜园，墙长12米，其中的长不超过墙长，在边上留一个1米宽的小门．设为x米，当x取何值时，矩形菜园的面积最大，最大面积为多少平方米？ 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数取值范围； （2）若两个实数根和满足，求k的整数值． 24. 如图，在五边形中，点，，，是上四个点，，平分． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：； （3）若，，求面积的最大值． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点坐标； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在点，使得，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南平市2024-2025学年初中毕业班教学质量第一次抽测数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） 友情提示： ① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效； ② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列符号中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，故C符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 三角形内角和是 B. 明天的太阳从西边升起 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 汽车累计行驶，从未出现故障 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键．根据必然事件的定义进行逐一判断即可：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； B、明天的太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； D、汽车累计行驶，可能出现故障，也可能不出现故障，因此是随机事件，不符合题意； 故选：A． 3. 对于反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．根据当时，反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴， 故选：A． 4. 如图，是由绕点A顺时针旋转得到，下列各角中，度数一定等于的角是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转求角度．熟记旋转性质，数形结合是解决问题的关键． 由旋转的性质可直接求解．根据是是由绕点A顺时针旋转得到，即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵是由绕点A顺时针旋转得到的， ∴A. 的度数一定等于； B. 的度数一定不等于； C. 的度数一定不等于； D. 的度数不一定等于． 故选：A． 5. 如图所示，A，B，C，D是上的四个点，若 ，则的大小为（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 故选：C． 6. 如图，正六边形对角线的长为8，则正六边形的边长为（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质和等边三角形的判定与性质，掌握正多边形的性质是解题的关键．设正六边形的中心为，连接，则是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：设正六边形的中心为，连接，如图， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵正六边形对角线的长为8， ∴． 故选：D． 7. 已知某个一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是下列四个方程中的（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关系 【详解】解：A.得，该项符合题意； B.得，该项不符合题意； C.得，该项不符合题意； D.得，该项不符合题意； 故选：A． 8. 玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现在从一块直径为的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩（在圆上，且），则这个扇形玉佩的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，关键是圆周角定理的应用．如图，连接，取的中点O，根据等腰直角三角形的性质得，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 在圆上，且 是的直径． , , ， ． 故选：B． 9. 飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，将二次函数化成顶点式并结合实际意义确定函数图象成为解题的关键． 先将关系式化为顶点式确定抛物线的对称轴和最值，再结合实际意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴函数图像是对称轴为，最值为600，开口方向向下的抛物线， ∵时间不可能为负，飞机着陆后滑行就回停止， ∴C选项符合题意． 故选C． 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与y 轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象和性质．根据对称轴为直线，当时，，则时，，又由时得到时，，即可求出m的值． 【详解】解：抛物线，此抛物线的对称轴为直线， 当时，，所以当时，， 又∵当时， ∴当时，，即， 所以 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入方程可得关于a的方程，解这个方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义和解方程的能力，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 12. 点关于原点对称的点的坐标是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 将二次函数化为的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于二次项系数为1，利用配方法直接加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得到答案． 【详解】解：， 将二次函数化为的形式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用配方法将一般式转化为顶点式，准确进行配方是解题的关键． 14. 有20件外观相同的产品，其中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：有20件外观相同的产品，其中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为． 故答案为：． 15. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．设每月盈利的平均增长率为x，根据题意，列出的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，熟练掌握是解题的关键，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 根据增长率为x，2月份盈利额，4月份的盈利额运用增长率公式列出方程即可． 【详解】解：设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：， 故答案为：． 16. 如图，正方形中，，把绕点逆时针旋转得到，连接．那么______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由旋转性质可得，，则是等边三角形，从而证明直线是线段的垂直平分线，设交于点，则，由正方形的性质可得，，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：连接， ∵由绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，设交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程. 详解】解： 所以 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，属于基础题． 18. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，绕点O顺时针旋转后得到（两个三角形的顶点都在格点上），点A，B，C分别对应点D，E，F． （1）在图中标出点O位置； （2）求点B所经过的路径长度（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2）点B所经过的路径长度为 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心； （2）画出图形，利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：点O的位置如图所示， ； 【小问2详解】 解：，， ∴点B所经过的路径长度． 19. 小明一家5人搭乘高铁外出旅游，在“铁路12306”网站上购买车票，5人的车票在同一车厢同一排（如图，是高铁座位示意图），如果5个座位是随机分配的，用画树状图或列表的方法，求小明与爸爸分配的座位是相邻（过道两侧也算是相邻）的概率是多少？ 【答案】小明与爸爸分配的座位是相邻的概率是 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有20种等可能性结果，符合条件的有8种， 所以小明与爸爸分配的座位是相邻的概率是． 20. 如图①，某实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到4组数据(如下表)．该同学经过分析数据发现，m与对应的h的值成反比例关系． 重物质量m/kg 2 3 4 6 活塞与桶底的距离h/cm 24 16 12 t （1）计算：t =_____； （2）请你以m的值作为一个点的横坐标，对应的h 值作为该点的纵坐标，利用表中数据得到4个点的坐标，将这4个点描在如图②所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； （3）要使活塞与筒底的距离h满足：时，求出m 的取值范围． 【答案】（1）8 （2）见解析 （3）m的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、画函数图象，理解题意，正确求出函数解析式并利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据反比例函数的定义可求解； （2）根据题意，利用描点法画出图形即可； （3）将，代入分别求出m的值，再根据函数的性质得到m取值范围． 【小问1详解】 解：设m与对应的h的值反比例关系为， 将代入，得， ∴， 当时，， 故答案为8； 【小问2详解】 图象如图： 【小问3详解】 当时，， 当时，， ∵， ∴m随h的增大而减小， ∴时，． 21. 如图，是的直径，直线与相切于点B，点D是上的一点，，延长交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）解法一：连接；由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，，从而有，即得证； 解法二：连接；由切线的性质得，再证明，则可得，从而得证； （2）连接，由等腰三角形的性质得，从而；由及得，从而结论得证． 【小问1详解】 证明：解法一：连接，如图， ∵直线与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线是的切线； 解法二：连接，如图， ∵直线与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴； ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，利用切线的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 22. 如图，在足够大的空地上，某人利用墙和一段长29米的篱笆围成矩形菜园，墙长12米，其中的长不超过墙长，在边上留一个1米宽的小门．设为x米，当x取何值时，矩形菜园的面积最大，最大面积为多少平方米？ 【答案】时，矩形菜园的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．设矩形菜园的面积为，依题意得，为，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】设矩形菜园的面积为，依题意得，为， 所以是的二次函数， 因为， 所以抛物线开口向下， 对称轴为直线， 其中，， 所以， 在对称轴的右侧，S随着的增大而减小， 所以当时，S取最大值，为， 答：时，矩形菜园的面积最大，最大面积为． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求k整数值． 【答案】（1） （2）整数k的值为或0 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的求出求参数，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入得到不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：，， 由已知得， 所以； 【小问2详解】 由根与系数得关系可知，， 因为， 所以， 解得， 由（1）知， 所以，， 所以，整数k的值为或0． 24. 如图，在五边形中，点，，，是上的四个点，，平分． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：； （3）若，，求面积的最大值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）面积的最大值为． 【解析】 【分析】（）由角平分线的定义得，然后根据圆周角定理得，通过三角形的内角和定理得，最后由等边三角形的判定即可求解证； （）延长至，使，证明是等边三角形，所以，，证明，则，然后由线段和差即可求证； （）设的外心为，连接，，所以，又，则，所以点为定点，从而可得点在以为圆心，为半径的圆上，当点，，三点共线时，的面积最大，然后由面积公式求解即可； 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明： ∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 证明：延长至，使， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由（）知，，， ∴, 即， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：设的外心为，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴点为定点， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示， 在等腰直角三角形中，于点，则有， 当点，，三点共线时，的面积最大， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在点，使得，请说明理由． 【答案】（1），， （2）①；②当时，点在运动过程中，抛物线上始终存在点，使得，理由见解析 【解析】 【分析】（1）对于抛物线，首先令，可得，即可确定点坐标，再令时，可得，求解即可获得答案； （2）①首先利用待定系数法解得直线的解析式，再确定，结合题意可设，，易得，根据平行四边形的性质可得，易得，求解即可确定点坐标； ②解法一：作点关于直线的对称点，设直线的解析式为，结合点的坐标确定直线的解析式为，联立并整理，根据一元二次方程的根的判别式，即可证明结论； 解法二：作点关于直线的对称点，易得当时可有，整理可得，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 解：在中， 当时，， ∴点， 当时，， 解得：， ∴点，； 【小问2详解】 解：①由（1）知，， 设直线的解析式为， 将点，代入上式，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵过作轴的平行线，交线段于点，如下图， 可设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得，， 当，得， ∴； ②解法一：作点关于直线的对称点，如下图， 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得，， 则， ， 解方程得， ∵， ∴， ∴当时，点在运动过程中，抛物线上始终存在点，使得． 解法二：作点关于直线的对称点， 在中， 当时，， 则， ∵， ∴， ∴点在抛物线内， ∴当时，点在运动过程中，抛物线上始终存在点，使得． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点、二次函数综合应用、平行四边形的性质、一元二次方程的判别式等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$