福建省南平市2024-2025学年上学期九年级一检数学试卷

九年级数学试题 第1页（共 7 页） 南平市 2024-2025 学年初中毕业班教学质量第一次抽测 数 学 试 题 （考试时间：120 分钟；满分：150 分；考试形式：闭卷） 友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效； ② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．每小题只有一个正 确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂） 1．下列符号中，是中心对称图形的是 A． B． C． D．⊥ 2．下列事件是必然事件的是 A．三角形内角和是180 B．明天的太阳从西边升起 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．汽车累计行驶 10 000km，从未出现故障 3．对于反比例函数 k y x = 的图象，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小， 则 k 的取值范围是 A． 0k B． 0k C． 0=k D．任意实数 4．如图， ADE△ 是由 ABC△ 绕点 A 顺时针旋转50得 到，下列各角中，度数一定等于50的角是 A． BAD B． BAE C． CAD D． DAE E D C B A 第 4 题图 第 4 题图 九年级数学试题 第2页（共 7 页） 5．如图所示，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，若 38DAC = ，则 DBC 的大小为 A．62 B．52 C．38 D．30 6．如图，正六边形 ABCDEF 对角线 AD 的长为 8， 则正六边形 ABCDEF 的边长为 A．2 B． 2 2 C．2 3 D．4 7．已知某个一元二次方程的两根是 21 −=x ， 32 =x ， 则这个方程可以是下列四个方程中的 A． 0)3)(2( =−+ xx B． 0)3)(2( =+− xx C． 0)3)(2( =++ xx D. 0)3)(2( =−− xx 8．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品.现在从一块直 径为 8cm 的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩 （A，B，C 在圆上，且 90ABC = ），则这个扇形玉 佩的面积是 A． 24πcm B． 28πcm C． 216πcm D． 216 2πcm 9. 如果飞机着陆后滑行的距离 s(单位：m)与滑行的时间 t(单位：s)之间的关 系式是 25.160 tts −= ，下列图象能反映这一变化过程的是 九年级数学试题 第3页（共 7 页） 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线 122 −+−= mmxmxy 与 y 轴正半轴有 交点，当 2 1 0  x 时， 0y ；当 2 3 1  x 时， 0y ，则 m 的值等于 A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共 6 小题，每空 4 分，共 24 分．将答案填入答题卡．．．的相 应位置） 11．已知 1=x 是关于 x 的方程 02 =−ax 的一个根，则常数 a 的值是 ． 12．点 ( 3,2)A − 关于原点对称的点的坐标是 ． 13．将二次函数解析式 2 2y x x= − 化为 2( )y a x h k= − + 的形式为 ． 14．有 20 件外观相同的产品，其中有 2 件不合格，现从中随机抽取 1 件进行 检测，抽到不合格产品的概率为 ． 15．李师傅去年开了一家商店，今年 1 月份开始盈利，2 月份盈利 2400 元，4 月份盈利 3456 元，且从 2 月到 4 月，每月盈利的平均增长率都相同.设每 月盈利的平均增长率为 x，根据题意，列出的方程 为 ． 16．如图，正方形 ABCD 中， 2=AB ，把 ABC △ 绕点 A 逆时针旋转 60°得到 AEF △ ，连接 DF．那么 =DF ． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分．解答题写出文字说明、证明过程或 演算步骤，在答题卡．．．的相应位置作答） 17．（本小题满分 8 分） 解方程： 2 3 2 0x x+ − = . 九年级数学试题 第4页（共 7 页） 18．（本小题满分 8 分） 如图，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，△ABC 绕点 O 顺 时针旋转 90 后得到△DEF（两个三角形的顶点都在格点上）,点 A，B，C 分别对应点 D，E，F． （1）在图中标出点 O 位置； （2）求点 B 所经过的路径长度 （结果保留 π）． 19．（本小题满分 8 分） 小明一家 5 人搭乘高铁外出旅游，在“铁路 12306”网站上购买车票，5 人 的车票在同一车厢同一排（如图，是高铁座位示意图），如果 5 个座位 是随机分配的，用画树状图或列表的方法，求小明与爸爸分配的座位是 相邻（过道两侧也算是相邻）的概率是多少？ 九年级数学试题 第5页（共 7 页） 20.（本小题满分 8 分） 如图 1，某实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活 塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内 的空气.某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到 筒底的距离，得到 4 组数据(如下表).该同学经过分析数据发现，m 与对 应的 h 的值成反比例关系. （1）计算：t =_____； （2）请你以 m 的值作为一个点的横坐标，对应的 h 值作为该点的纵坐 标，利用表中数据得到 4 个点的坐标，将这 4 个点描在如图 2 所示的 平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； （3）要使活塞与筒底的距离 h 满足：10 20h≤ ≤ 时，求出 m 的取值范围. 重物质量 m（单位：g ) 2 3 4 6 活塞与桶底的距离 h(单位：cm) 24 16 12 t 九年级数学试题 第6页（共 7 页） 21.（本小题满分 8 分） 如图，AB 是⊙O 的直径，直线 BC 与⊙O 相切于点 B，点 D 是⊙O 上的 一点，CD＝CB，延长 CD 交 BA 的延长线于点 E． （1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线； （2）求证： 2C DBE =  ． 22.（本小题满分 10 分） 如图，在足够大的空地上，某人利用墙和一段长 29 米的篱笆围成矩形菜 园 ABCD，墙长 12 米，其中 AD 的长不超过墙长，在 BC 边上留一 个 1 米宽的小门 EF.设 AB 为 x 米，当 x 取何值时，矩形菜园的面积最大， 最大面积为多少平方米？ 23.（本小题满分 10 分） 已知关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0x x k+ + + = 有两个实数根 1x 和 2x ． （1）求实数 k 的取值范围； （2）若两个实数根 1x 和 2x 满足 12121 −−+ xxxx ，求 k 的整数．．值． 九年级数学试题 第7页（共 7 页） 24.（本小题满分 12 分） 如图，在五边形 ABCDE 中，点 A，B，C，D 是⊙O 上的四个点， 120ABC = ，BD 平分 ABC . （1）求证： ACD △ 是等边三角形； （2）求证：BD=BA+BC； （3）若 = 45AED ，AC=2，求 ADE △ 面积的最大值. 25．（本小题满分 14 分） 如图，已知抛物线 2 3 4y x x= − + + 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左 侧），与 y 轴交于点 C. （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）点 P（m，n）是线段 BC 上方抛物线上的一动点，过 P 作 y 轴的平 行线，交线段 BC 于点 Q. ①当四边形 OCPQ 为平行四边形时，求点 P 的坐标； ②当 3 0 2 m  时，在点 P 运动过程中，抛物线上是否始终存在点 E， 使得 CPQEPQ = ，请说明理由. 南平市2024-2025学年初中毕业班教学质量第一次抽测 数学试题参考答案及评分说明 说明： (1)解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分. (2)对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅.当考生 的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超 过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分， (3)若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分 (4)评分只给整数分.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.C;2.A;3.A:4.A;5.C:6.D:7.A:8.B:9.C:10.B. 第10题解析：此抛物线的对称轴=1， 当1Kx<号时，0，所以当2<1时.<0， 又因为当0<x<时>0， 所以当x=时，0，即m》 -2m+m-1=0,所以m=4. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.1: 12.(3,-2): 13.y=(x-1)2-1: 14.0.1: 15.2400(1+x)=3456: 16.√6-√2（备注：写出V8-45不扣分）. 第16题解析： 解法一：连接FC, :由△ABC绕点A逆时针旋转60得到△AEF,可得 AC=AF,∠CAF=609 :△CAF是等边三角形， A ÷FA=FC DA-DC G ∴直线DF是线段AC的垂直平分线，设DF交AC于 点G 易得：FG=√6，DG=√5 y “DF=V6-V2. 解法二如图1，连接CF,过D作DGLAF于点G, 在Rt△ABC中，AC=2√2， 由△ABC绕点A逆时针旋转60得到△AEF,可得AC=AF,∠CAF=609 ∴△CAF是等边三角形，FC=AF=AC-2√5， 易证△ADF兰△CDF,:∠AFD-309? 设DG=x,则DF=2x,FG=√5x,AG=2√2-√5x, 在RIAADG中，AD2=AG2+DG,22=(2N2-V5x)2+x2 解得：5=645（窗，飞=6,5 2 ∴DF=√6-√5 D D E B B 图1 图2 解法三：如图2，连接BE,CE,作EHLBC, 由△ABC绕点A逆时针旋转60得到△AEF,可得AB=AE,∠BAE=60° ÷△ABE是等边三角形÷LABE=60°BE=AB=2 ∠ABC-90°÷∠EBC-309 在RIAEHB中，EH=)BE=1,BH=5.CH=2-5 在Rt△EHC中，EC=√EH+HC2=V1+(2-V5)?=V8-4W5=N6-√2 易证△AEC兰AADF, “DF=EC=√6-√2 2 (备注：写出V8-4√5不扣分) 三、解答题（本大题共9小题，共86分） (说明：解答题的其它解法酌情给分) 17.(8分) 解：a=1,b-3,c=-2 1分 △=b2-4ac=32-4×1×(-2)=17>0 2分 方程有两个不相等的实数根 x=-b±vB2-4ac …3分 2a (说明：判别式不写不扣分，公式或代值正确得3分) --3±17 …6分 2 即斯=3+万 3- …8分 2 18.(8分)解：(1) 第18题图 如图所示，点O即为所作： …3分 (备注：正确画出点O得2分，说明得1分) (2)0B=V32+32=32 …4分 1 90 ×πx3V2 …6分 180 32 π 7分 2 答：点B所经过的路径长度为5 8分 19.(8分) 解法1：列表如下： 爸 A B C 0 F 小明 1 (A,B) (A,C) (A,D) (A,F) B (B,A) (B,C) (B,D) B,) C (C,A) (C,B) (C,D) (C,F) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,F) F (F,A) (F,B) (F,C) (F,D) 5分 共有20种等可能性结果，符合条件的有8种， 所以小明与爸爸分配的座位是相邻的概率是8=？ 8分 205 解法2：画树状图如下： 开始 B 小明 D 爸爸B C D F AC D F A B DF A BCF A B CD 5分 共有20种等可能性结果，符合条件的有8种， 所以小明与爸爸分配的座位是相邻的概率是 2 …8分 205 20.(8分) 解：(1)8： 1分 (2)正确描出点(2,24)，(3,16)，(4,12)，(6,8)， …5分 (正确描出每个点各得1分) 用平滑的曲线画出函数图象…6分 (3)由已知得，当h=10时，m=4.8, 当h=20时，m=2.4…7分 h/em 在第一象限内，h随着m的增大而减小 所以m的取值范围是2.4≤m≤4.8…8分 4 20 备注：如果只画出从(2,24) 16 至(6,8)这一部分的图象，不扣分 12 8 2L.(8分) 证明：(1)解法一：连接OD 012 3 456789 7/g 直线BC与⊙O相切于点B 图2 :OB⊥BC ∠OBC-909…-1分 B 4 CD=CB LCDB=∠CBD OD=OB ÷∠ODB=∠OBD …2分 ∠CDB+LODB=∠CBD+LOBD ÷∠ODC=∠OBC-=90° 4ODLCD 3分 OD为半径 :直线CD是⊙O的切线 …小分 解法二：连接OD,OC ~直线BC与⊙O相切于点B :OB⊥BC D ÷∠OBC=909 ……1分 CD=CB.OD=OB,OC=OC E B △ODC兰△OBC(SSS)…-2分 0 ∴∠ODC=∠OBC=909 OD1CD… ……3分 OD为半径 :直线CD是⊙O的切线 4分 (2)由(1)知∠ODB=∠DBE 'LDOE=LODB+∠DBE ÷∠DOE-2∠DBE …5分 '∠ODC-900 ÷∠ODE=1802∠ODC=90° ∠DOE=90e∠E- …6分 'LOBC-90° LC=90Q∠E 7分 ÷∠C=∠DOE=2LDBE …8分 22.(10分) 解：设矩形菜园的面积为Sm2,依题意得，BC为(29+1-2x)m, 1分 S=x(29+1-2x)=-2x2+30r…3分 12米 所以S是x的二次函数， 墙 因为a=-2<0, 所以抛物线开口向下…4分 菜园 3015 B 对称轴为直线x= 2×(-2)2· -6分 其中，0<30-2x≤2 所以9≤x<15 …8分 在对称轴的右侧，S随着x的增大而减小 …9分 所以当x=9时，S取最大值，为108m2,… -10分 答：x=9时，矩形菜园的面积最大，最大面积为108m, 23.(10分) (1)解法1：a=1,b=2,c=k+1 …1分 △=b2-4aC… …2分 =22-4×1×(k+1) =-4k… …3分 由已知得，-4k≥0 …4分 所以k≤0… …5分 解法2：方程可化为(x+1)=-k …3分 由已知得，一k≥0… …4分 所以k≤0.… …5分 (2)由根与系数得关系可知，x+x2=-2,x2=k+16分 因为x+x2-x2<-1, 所以，-2-(k+1)<-1. …7分 解得，k>-2. …8分 由(1)知k≤0， 所以，-2<k≤0， -9分 所以，整数k的值为-1或0. …10分 24.(12分) (1)证明：：∠ABC=120°，BD平分∠ABC. y ∠ABD=∠CBD=)∠ABC=60°. “0 …小分 0 AD=AD,CDCD」 六∠ACD=∠ABD=60°，∠CAD=∠CBD=60°，-2分 六∠ACD=∠CAD=60°， …3分 ∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=60°， ÷∠ADC=∠ACD=∠CAD=60°， △ACD是等边三角形.… -4分 6 (2)证明：延长AB至F,使BF-BC ÷△BCF是等腰三角形. …5分 :∠CBF=180°-∠ABD-∠CBD=60°， ∴△BCF是等边三角形 6分 .CF=CB,∠FCB=60°. 由(1)知，CA=CD,∠ACD=60°， ·∠FCB+∠BCA=∠ACD+∠BCA, 即∠FCA=∠BCD, E ∴△FCA=△BCD(SAS),-7分 .FA=BD. FA=AB+BF=AB+BC. BD=AB+BC.…8分 D (3)解：设△ADE的外心为M,连接AM,DM,那么AMMD, :∠AED=45°，·∠AMMD=90°，÷点M为定点， AD=AC=2, ∴点E在以M为圆心，AM=√2为半径的圆上，如图所示.9分 在等腰直角三角形ADM中，MNLAD于点N,MN=1 当点E,M,N三点共线时，△ADE的面积最大… -10分 ∴ME=MD=√2 EN=ME+MN=√2+1.- …11分 5r=4D-EN-x2x(2+1)-+1 -12分 25.(14分) (1)证明：在y=-x2+3x+4中 当X0时，=4，所以点C(0,4)-1分 当y0时，-x2+3x+4=0, 解得：x=-1,x2=4,所以点A(-1,0),B(4,0)3分 (备注：正确求出每个点各1分) (2)①由(1)知B(4,0),C(0,4) D 所以，直线BC的解析式为y=-x+4,OC=4 …4分 由己知可设P(m,-m2+3m+4),Q(m,-m+4) 所以PQ=-m2+3m+4-(-m+4)=-m2+4m, …5分 B 因为四边形OCPQ为平行四边形 所以PQ=OC=4 所以-m2+4m=4, …6分 解得，m=m2=2…7分 当m=2,n=6 所以P(2,6) 8分 ②作点C关于直线PQ的对称点D(2m,4)9分 设直线PD的解析式为y=+b 因为P(m,-m2+3m+4) k·2m+b=4 所以 km+b=-m2+3m+4 k=m-3 解得 b=-2m2+6m+4 直线PD的解析式为y=(m-3)x-2m2+6m+4… -10分 y=(m-3)x-2m2+6m+4 联立 y=-x2+3x+4 整理得，x2+(m-6)x-2m2+6m=0 △=(m-6)}-4×1×(-2m2+6m） =9m2-36m+36 =9(m-2)}≥0 …11分 解方程得x=m,x2=6-2m, -12分 8 因为0<mK2' x3=6-2m>x -13分 当0<m时，点P在运动过程中，抛物线上始终存在点E 使得∠EPO=∠CPQ …14分 ②另解：作点C关于直线PQ的对称点D2m,4) …9分 在y=-x2+3x+4中， 当x=2m时，y=-(2m)}2+3×2m+4=-4m2+6m+4-10分 y-4=-4m2+6m=4mm-2 …11分 因为0mK2 所以，y-4>0 …13分 所以点D在抛物线内， 所以当0<m<时，点P在运动过程中，抛物线上始终存在点E, 使得∠EPQ=∠CPQ.… …14分 D B 9