第8讲 一元一次不等式（组）及其应用（讲义） -备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第8讲 一元一次不等式（组）及其应用 ( 课标要求 ) 1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念. 2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算. 3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解. 4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 不等式的基本性质 ☆ 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 考点2 一元一次不等式（组）的解法 ☆☆ 考点3含字母的不等式的解集问题 ☆ 考点4 一元一次不等式（组）的解法 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一元一次不等式(组)的概念： (1)用 连结起来的数学式子叫做不等式． (2)使不等式成立的未知数的值的全体，叫做 ，简称不等式的解． (3)求不等式的解的过程，叫做 ． 2．不等式的基本性质： (1)不等式的两边都 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则a±c b±c． (2)不等式的两边都 同一个 ，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则ac bc， ． (3)不等式的两边都 同一个 ，不等号的方向改变． 若a＞b，c＜0，则ac bc， ． 3．不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似，不同的是一元一次不等式两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须 ．基本步骤为： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)系数化为1. 4．解不等式组： 一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的 ，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组 ．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小则无解”． 5．列不等式解应用题的一般步骤： (1)审题．(2)设未知数． (3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式． (5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)． 6．列不等式解应用题应注意的问题： (1)一般情况下题目中的条件在列不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件． (2)正确理解题目中的关键词语(如：不足、不低于、不大于、不小于、不超过、至少等)的确切含义． ( 深度讲练 ) ■考点一　不等式的基本性质► ◇典例1：（2024•萧山区一模）已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（　　） A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2 【变式训练】 1．（2024•苏州）若a＞b﹣1，则下列结论一定正确的是（　　） A．a+1＜b B．a﹣1＜b C．a＞b D．a+1＞b 2．（2024•长春）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则＞ ■考点二 一元一次不等式（组）的解法► ◇典例2： 1．（2024•眉山）解不等式：﹣1≤，把它的解集表示在数轴上． 2．（2024•湘阴县二模）解不等式组． 【变式训练】 1．（2024•福建）不等式3x﹣2＜1的解集是 　　． 2．（2024•衢州一模）不等式组的解集是（　　） A．x＞3 B．x≤2 C．2＜x≤5 D．3＜x≤5 3．（2024•婺城区模拟）下面是小明同学解不等式的过程： 去分母，得3（x﹣1）≥2x…第一步 去括号，得3x﹣3≥2x…第二步 移项、合并同类项，得x≥3…第三步 小明的解答过程从第 　　步开始出现错误，请写出你认为正确的解答过程． 4．（2023•路桥区校级二模）解不等式组：． ■考点三 含字母的不等式的解集问题► ◇典例3：（2024•济宁二模）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围为 　　． 【变式训练】 1．（2024•姜堰区二模）若x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解，则a可取的最大整数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2024•萧山区二模）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　　． 3．（2024•济南二模）如果不等式组无解，那么m的取值范围是　　． 4．（2024•南通一模）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣3 ■考点四　 一元一次不等式（组）的应用► ◇典例4：（2024•娄底模拟）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【变式训练】 1．（2024•富阳区一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元：从这个月开始，小健每个月存18元零花钱，小康每个月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康．可列不等式为 　　． 2．（2024•松北区二模）某商店准备购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要94元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要100元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店本次购进B种纪念品的数量比购进A种纪念品的数量的3倍还少5个，购进两种纪念品的总金额不超过710元，则该商店本次最多购进A种纪念品多少个？ 3．（2024•江阳区校级一模）某物流公司将一批猪肉运往某地，现有A，B两种型号的运输车可供调用，已知2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉． （1）一辆A型车与一辆B型车一次各运猪肉多少吨？ （2）该物流公司决定派出A，B两种型号的运输车共18辆参与猪肉运输，若每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ ( 真题演练 ) 1．（2024•桐乡市一模）已知a＜b，c＜0，则（　　） A．a＜b+c B．a＜b﹣c C．ac＜bc D． 2．（2024•河北）下列数中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024•浙江）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•临安区一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　） A．50x+60+80＝1000 B．50x+60+80≤1000 C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥1000 5．（2024•罗湖区校级模拟）用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•迁安市二模）某电梯乘载的重量超过300公斤时会响起警示音，且小华、小欧的体重分别为45公斤、70公斤．小华、小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响，小欧走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x满足（　　） A．185＜x≤255 B．185≤x＜255 C．230＜x≤255 D．230≤x＜255 7．（2024•滨江区校级三模）若不等式组的解集为x＞﹣b，则下列各式正确的是（　　） A．a≥b B．a≤b C．a＞b D．a＜b 8．（2024•涪城区模拟）若关于x的不等式组的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜4 B．3＜m≤4 C．3≤m＜4 D．3≤m≤4 9．（2024•广西）不等式7x+5＜5x+1的解集为 　　． 10．（2024•滨州模拟）若点P（m+1，8﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是 　　． 11．（2024•涪城区模拟）大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是 　　． 12．（2024•内蒙古）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+3b，例如5※2＝5+3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 　　． 13．（2024•梅州一模）若不等式组无解，则a的取值范围是　　． 14．（2024•钱塘区一模）解不等式：． 15．（2024•钱塘区二模）解不等式组，并把解在数轴上表示出来． 16．（2024•曹县二模）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ （2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 17．（2024•永善县二模）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购每公斤甲型茶叶的单价为400元，采购每公斤乙型茶叶的单价是300元． （1）该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30公斤，其中购进甲型茶叶的公斤数不少于购进乙型茶叶的，采购的公斤数为整数，那么该茶叶店有哪几种采购方案？ （2）在（1）的条件下，已知该茶叶店销售甲型茶叶1公斤可获得净利润100元，销售乙型茶叶1公斤可获得净利润120元，该茶叶店将这批茶叶全部售出可以获得最大净利润为多少元？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第8讲 一元一次不等式（组）及其应用 ( 课标要求 ) 1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念. 2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算. 3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解. 4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 不等式的基本性质 ☆ 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 考点2 一元一次不等式（组）的解法 ☆☆ 考点3含字母的不等式的解集问题 ☆ 考点4 一元一次不等式（组）的解法 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一元一次不等式(组)的概念： (1)用不等号连结起来的数学式子叫做不等式． (2)使不等式成立的未知数的值的全体，叫做不等式的解集，简称不等式的解． (3)求不等式的解的过程，叫做解不等式． 2．不等式的基本性质： (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则a±c ＞ b±c． (2)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则ac ＞ bc， ＞ ． (3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 若a＞b，c＜0，则ac ＜ bc， ＜ ． 3．不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似，不同的是一元一次不等式两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．基本步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 4．解不等式组： 一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小则无解”． 5．列不等式解应用题的一般步骤： (1)审题．(2)设未知数． (3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式． (5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)． 6．列不等式解应用题应注意的问题： (1)一般情况下题目中的条件在列不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件． (2)正确理解题目中的关键词语(如：不足、不低于、不大于、不小于、不超过、至少等)的确切含义． ( 深度讲练 ) ■考点一　不等式的基本性质► ◇典例1：（2024•萧山区一模）已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（　　） A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2 【思路点拨】运用不等式的性质和整式的混合运算知识进行逐一辨别． 【解析】解：∵0＞a＞b时，a2+m＜b2+m， ∴选项A不符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，a+m2＞b+m2， ∴选项B符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，a2m＞b2m不一定成立， ∴选项C不符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，am2＞bm2不一定成立， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用不等式的性质和整式混合运算知识． 【变式训练】 1．（2024•苏州）若a＞b﹣1，则下列结论一定正确的是（　　） A．a+1＜b B．a﹣1＜b C．a＞b D．a+1＞b 【思路点拨】根据不等式的基本性质逐项判定即可． 【解析】解：若a＞b﹣1，不等式两边加1可得a+1＞b，故A不合题意，D符合题意， 根据a＞b﹣1，得不到a﹣1＜b，a＞b，故B、C不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．（2024•长春）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则＞ 【思路点拨】根据不等式的性质判断即可． 【解析】解：由题意得，a＞b， ∴a+c＞b+c， ∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a+c＞b+c． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质性质是解答本题的关键． ■考点二 一元一次不等式（组）的解法► ◇典例2： 1．（2024•眉山）解不等式：﹣1≤，把它的解集表示在数轴上． 【思路点拨】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可． 【解析】解：﹣1≤， 2（x+1）﹣6≤3（2﹣x）， 2x+2﹣6≤6﹣3x， 2x+3x≤6+6﹣2， 5x≤10， x≤2， 其解集在数轴上表示如下： ． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2024•湘阴县二模）解不等式组． 【思路点拨】分别将每个一元一次不等式求解，然后求出公共解集即可． 【解析】解：解不等式2x﹣1＜﹣x+2，得 x＜1， 解不等式，得 x＞﹣5， 故不等式组的解集是：﹣5＜x＜1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式训练】 1．（2024•福建）不等式3x﹣2＜1的解集是 　x＜1　． 【思路点拨】按照解一元一次不等式的一般步骤：移项，合并同类项，系数化成1，进行计算即可． 【解析】解：3x﹣2＜1， 3x＜1+2， 3x＜3， x＜1， ∴不等式3x﹣2＜1的解集是：x＜1， 故答案为：x＜1． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 2．（2024•衢州一模）不等式组的解集是（　　） A．x＞3 B．x≤2 C．2＜x≤5 D．3＜x≤5 【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解析】解：， 解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x≤5， ∴原不等式组的解集为：3＜x≤5， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 3．（2024•婺城区模拟）下面是小明同学解不等式的过程： 去分母，得3（x﹣1）≥2x…第一步 去括号，得3x﹣3≥2x…第二步 移项、合并同类项，得x≥3…第三步 小明的解答过程从第 　一　步开始出现错误，请写出你认为正确的解答过程． 【思路点拨】观察解不等式的过程，发现从第一步开始出现错误，根据解一元一次不等式的步骤写出正确的解答过程即可． 【解析】解：小明的解答过程从第一步开始出现错误； 正确的解答过程为： 去分母得：2（x﹣1）≥3x， 去括号得：2x﹣2≥3x， 移项得：2x﹣3x≥2， 合并得：﹣x≥2， 系数化为1得：x≤﹣2， 所以原不等式的解集为：x≤﹣2． 故答案为：一． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解本题的关键．注意，在不等式两边都除以同一个负数时，不等号的方向要改变． 4．（2023•路桥区校级二模）解不等式组：． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【解析】解：解不等式①得：x＜5． 解不等式②得：x≥2． ∴原不等式组的解集为2≤x＜5． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． ■考点三 含字母的不等式的解集问题► ◇典例3：（2024•济宁二模）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围为 　a≥﹣1　． 【思路点拨】解含参的不等式组，然后结合已知条件确定a的取值范围即可． 【解析】解：， 由①得：x≥﹣a， 由②得：x≤1， ∵原不等式组有解， ∴﹣a≤1， 解得：a≥﹣1， 故答案为：a≥﹣1． 【点睛】本题考查根据含参不等式组是否有解确定参数的取值范围，解不等式组求得﹣a≤1是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•姜堰区二模）若x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解，则a可取的最大整数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】先把x＝2代入不等式，再计算求解． 【解析】解：∵x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解， ∴6﹣a+2＞0， ∴a＜8， ∴a是最大整数为7， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，理解等式代换是解题的关键． 2．（2024•萧山区二模）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　a≤﹣1　． 【思路点拨】求出不等式组的解，根据其解集求出a的取值范围即可． 【解析】解：解不等式组，得． ∵它的解集为﹣1＜x＜4， ∴a≤﹣1． 故答案为：a≤﹣1． 【点睛】本题考查不等式的解集，正确求解不等式是本题的关键． 3．（2024•济南二模）如果不等式组无解，那么m的取值范围是　m≥7　． 【思路点拨】根据大大小小无处找，可得答案． 【解析】解：由不等式组无解，得m≥7． 故答案为：m≥7． 【点睛】本题考查了不等式的解集，确定不等式组解集的方法：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找． 4．（2024•南通一模）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣3 【思路点拨】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有3个整数解，即可得到a的取值范围． 【解析】解：， 解不等式①，得：x≤2， 解不等式②，得：x＞a， ∴该不等式组的解集是a＜x≤2， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴这三个整数解是0，1，2， ∴﹣1≤a＜0， 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． ■考点四　 一元一次不等式（组）的应用► ◇典例4：（2024•娄底模拟）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【思路点拨】（1）根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”（120﹣m）套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【解析】解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x﹣40）元， 由题意可得5x+10（x﹣40）＝1100， 解得x＝100， x﹣40＝60． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”（120﹣m）套， 由题意可得：， 解得85≤m＜90， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是31×100+60×89＝8440（元）． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•富阳区一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元：从这个月开始，小健每个月存18元零花钱，小康每个月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康．可列不等式为 　50+18x＞80+12x　． 【思路点拨】利用小健原来存款数+18×月数x＞小康原来存款数+12×月数x，此题得解． 【解析】解：由题意可得：50+18x＞80+12x． 故答案为：50+18x＞80+12x． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键． 2．（2024•松北区二模）某商店准备购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要94元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要100元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店本次购进B种纪念品的数量比购进A种纪念品的数量的3倍还少5个，购进两种纪念品的总金额不超过710元，则该商店本次最多购进A种纪念品多少个？ 【思路点拨】（1）设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要94元；购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要100元得：，即可解得答案； （2）该商店本次购进A种纪念品a个，根据购进两种纪念品的总金额不超过710元得：8a+10（3a﹣5）≤710，解得a的范围，即可得到答案． 【解析】解：（1）设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元， 根据题意得：， 解得， 答：购进A种纪念品每件需8元，B种纪念品每件需10元； （2）该商店本次购进A种纪念品a个， 根据题意得：8a+10（3a﹣5）≤710， 解得a≤20， 答：该商店本次最多购进A种纪念品20个． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和一元一次不等式． 3．（2024•江阳区校级一模）某物流公司将一批猪肉运往某地，现有A，B两种型号的运输车可供调用，已知2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉． （1）一辆A型车与一辆B型车一次各运猪肉多少吨？ （2）该物流公司决定派出A，B两种型号的运输车共18辆参与猪肉运输，若每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 【思路点拨】（1）设一辆A型车一次运猪肉x吨，一辆B型车一次运猪肉y吨，由2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉．列出方程组可求解； （2）设B型车a辆，则A型车（18﹣a）辆，由每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，列出不等式组，即可求解． 【解析】解：（1）设一辆A型车一次运猪肉x吨，一辆B型车一次运猪肉y吨， 由题意可得：， 解得：， 答：一辆A型车一次运猪肉9吨，一辆B型车一次运猪肉6吨； （2）设B型车a辆，则A型车（18﹣a）辆， 由题意可得：， 解得：2≤a≤， ∵a为整数， ∴a＝2或3， 答：派出2辆B型车，16辆A型车或派出3辆B型车，15辆A型车． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． ( 真题演练 ) 1．（2024•桐乡市一模）已知a＜b，c＜0，则（　　） A．a＜b+c B．a＜b﹣c C．ac＜bc D． 【思路点拨】根据a＜b，c＜0，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【解析】解：∵a＜b，c＜0， ∴a＜b+c不一定成立，有可能a＝b+c或a＞b+c， ∴选项A不符合题意； ∵a＜b，c＜0， ∴﹣c＞0， ∴a＜b﹣c， ∴选项B符合题意； ∵a＜b，c＜0， ∴ac＞bc， ∴选项C不符合题意； ∵a＜b，c＜0， ∴＞， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．（2024•河北）下列数中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】先求解不等式，再确定满足不等式的选项． 【解析】解：解不等式5x﹣1＜6， 得x＜． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法．会求解一元一次不等式是解决本题的关键． 3．（2024•浙江）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解析】解：， 解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x＜4， ∴原不等式组的解集为：1≤x＜4， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 4．（2024•临安区一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　） A．50x+60+80＝1000 B．50x+60+80≤1000 C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥1000 【思路点拨】根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可． 【解析】解：设每次搬x箱重物，根据题意得，50x+60+80≤1000， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 5．（2024•罗湖区校级模拟）用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】如果设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组． 【解析】解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物． ∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空， ∴装满的有x﹣1辆车， 由题意，得， 即：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，表示出货物总量，再根据题目中的关键语句列出不等式组． 6．（2024•迁安市二模）某电梯乘载的重量超过300公斤时会响起警示音，且小华、小欧的体重分别为45公斤、70公斤．小华、小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响，小欧走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x满足（　　） A．185＜x≤255 B．185≤x＜255 C．230＜x≤255 D．230≤x＜255 【思路点拨】小华的体量为45公斤，且进入电梯后，警示音没响，小欧的体重为70公斤，进入电梯后，警示音响起，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解析】解：由题意得：， 解得：185＜x≤255， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 7．（2024•滨江区校级三模）若不等式组的解集为x＞﹣b，则下列各式正确的是（　　） A．a≥b B．a≤b C．a＞b D．a＜b 【思路点拨】根据不等式组取解集的方法确定出所求即可． 【解析】解：∵不等式组的解集为x＞﹣b， ∴﹣a≤﹣b， 整理得：a≥b， 故选：A． 【点睛】此题考查了不等式的解集，不等式组取解集的方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 8．（2024•涪城区模拟）若关于x的不等式组的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜4 B．3＜m≤4 C．3≤m＜4 D．3≤m≤4 【思路点拨】表示出不等式组的解集，由所有整数解和是6，确定出m的范围即可． 【解析】解：不等式组整理得：， 解得：1≤x＜m， 由所有整数解和是6，得到整数解为1，2，3， 则m的范围为3＜m≤4． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 9．（2024•广西）不等式7x+5＜5x+1的解集为 　x＜﹣2　． 【思路点拨】先移项、再合并同类项，系数为1即可求解． 【解析】解：7x+5＜5x+1， 7x﹣5x＜1﹣5， 2x＜﹣4， x＜﹣2． 故答案为：x＜﹣2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 10．（2024•滨州模拟）若点P（m+1，8﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是 　m＞4　． 【思路点拨】根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可． 【解析】解：∵点P（m+1，8﹣2m）在第四象限， ∴， 解得m＞4， ∴m的取值范围是m＞4． 故答案为：m＞4． 【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是根据点在第四象限正确列出不等式组． 11．（2024•涪城区模拟）大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是 　51人或59人　． 【思路点拨】设共分为x组，根据每个小组8人，则还余3人，每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，表示出该班人数以及不等式组，进而可求出班级人数． 【解析】解：设八年级网络班级计划将全班同学分成x组，由题意得： ∵若每个小组8人，则还余3人， ∴该班人数为：8x+3， ∵若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人， 根据题意得出不等式组： ， 解得：5＜x＜8， ∴该班可分为6组或7组， ∴该班有：6×8+3＝51人，或7×8+3＝59人， 故答案为：51人或59人． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据已知表示出该班人数进而得出不等式组是解决问题的关键． 12．（2024•内蒙古）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+3b，例如5※2＝5+3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 　0≤m＜　． 【思路点拨】根据所给定义，得出关于x的不等式，再根据此不等式只有一个正整数解，得出关于m的不等式组，据此可解决问题． 【解析】解：由题知， x※m＝x+3m， 所以x+3m＜2， 解得x＜﹣3m+2． 因为此不等式有且只有一个正整数解， 所以1＜﹣3m+2≤2， 解得0≤m＜． 故答案为：0≤m＜． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 13．（2024•梅州一模）若不等式组无解，则a的取值范围是　a≤2　． 【思路点拨】根据不等式的解集大于大的，不等式的解集小于小的，不等式组无解，可得答案． 【解析】解；不等式组无解， 得 a+1≥2a﹣1， 解得a≤2， 故答案为：a≤2． 【点睛】本题考查了不等式的解集，不等式的解集大于大的，小于小的小于，不等式组无解． 14．（2024•钱塘区一模）解不等式：． 【思路点拨】根据解一元一次不等式的方法可以解答本题． 【解析】解：， 去分母，得：3（x+1）﹣6≤2（2x﹣1）， 去括号，得：3x+3﹣6≤4x﹣2， 移项及合并同类项，得：﹣x≤1， 系数化为1，得：x≥﹣1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 15．（2024•钱塘区二模）解不等式组，并把解在数轴上表示出来． 【思路点拨】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解析】解：， 解不等式①得：x＜4， 解不等式②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4， 在数轴上表示为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 16．（2024•曹县二模）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ （2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【思路点拨】（1）设该班胜x场，负y场，根据该班在15场比赛中获得总积分为39分，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该班这场比赛中投中了m个3分球，则投中（27﹣m）个2分球，利用总分＝3×投中3分球的个数+2×投中2分球的个数，结合总分不少于58分，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解析】解：（1）设该班胜x场，负y场， 根据题意得：， 解得：． 答：该班胜12场，负3场； （2）设该班这场比赛中投中了m个3分球，则投中（27﹣m）个2分球， 根据题意得：3m+2（27﹣m）≥58， 解得：m≥4， ∴m的最小值为4． 答：该班这场比赛中至少投中了4个3分球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 17．（2024•永善县二模）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购每公斤甲型茶叶的单价为400元，采购每公斤乙型茶叶的单价是300元． （1）该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30公斤，其中购进甲型茶叶的公斤数不少于购进乙型茶叶的，采购的公斤数为整数，那么该茶叶店有哪几种采购方案？ （2）在（1）的条件下，已知该茶叶店销售甲型茶叶1公斤可获得净利润100元，销售乙型茶叶1公斤可获得净利润120元，该茶叶店将这批茶叶全部售出可以获得最大净利润为多少元？ 【思路点拨】（1）设购买乙型茶叶a公斤，则购买甲型茶叶（30﹣a）公斤，根据采购资金不超过10200元以及购进甲型茶叶的公斤数不少于购进乙型茶叶的列出不等式组求解即可； （2）设茶叶全部售出的利润为w元，可得w＝100（30﹣a）+120a＝20a+3000，据此利用一次函数的性质求解即可． 【解析】解：（1）设购买乙型茶叶a公斤，则购买甲型茶叶（30﹣a）公斤． 根据题意得：， 解得：18≤a≤20， ∵a为整数， ∴a＝18或19或20， 故该茶叶店有3种采购方案． 方案一：采购甲型茶叶12公斤，乙型茶叶18公斤； 方案二：采购甲型茶叶11公斤，乙型茶叶19公斤； 方案三：采购甲型茶叶10公斤，乙型茶叶20公斤． （2）设茶叶全部售出的利润为w元， 根据题意得：w＝100（30﹣a）+120a＝20a+3000， ∵20＞0， ∴w随a的增大而增大． 又18≤a≤20， ∴a＝20时，w有最大值，此时w＝20×20+3000＝3400， 答：这批茶叶全部售出可以获得最大净利润为3400元． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，关键是根据题意找到关系式． 1 / 1 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