第7讲 分式方程及其应用（讲义） -备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第7讲 分式方程其应用 ( 复习目标 ) 1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定义及产生增根的原因； 2.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能对分式方程的解进行检验，判断方程的解是不是增根； 3.会列分式方程解决实际问题. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 分式方程的解法 ☆☆ 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 考点2 分式方程的增根或无解 ☆ 考点3分式方程的应用 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．分式方程的概念： 的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法： (1)基本思路：分式方程转化为整式方程． (2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 ，使 的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验． （3）分式方程的增根：解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一过程中，产生了使原分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，称为增根． （4）分式方程的无解：分式方程无解有两种可能的情况：(1)去分母后的整式方程无解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最简公分母为0，分式方程也无解 3．分式方程的应用： （1）列分式方程解应用题的一般步骤：审(审清题意)、设(设未知数)、找(找相等关系)、列(列方程)、解(解出这个方程)、验(既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)． （2）常见类型及数量关系 ( 深度讲练 ) ■考点一　解分式方程► ◇典例1：（2024•三原县一模）解方程：﹣1＝ 【变式训练】 1．（2024•无锡）分式方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣2 C． D．x＝2 2．（2024•铁东区二模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　） A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3） 3．（2024•徐州）分式方程＝的解为 　　． 4．（2024•海东市二模）解方程：． 5．（2024•西宁）解方程：＝﹣1． 6．（2024•大余县校级一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得x﹣（x﹣3）＝x﹣2 去括号，得x﹣x+3＝x﹣2 合并同类项，得3＝x﹣2 解得x＝5 ∴原方程的解是x＝5 小迪： 解：去分母，得x+（x﹣3）＝1 去括号得x+x﹣3＝1 合并同类项得2x﹣3＝1 解得x＝2 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． ■考点二 分式方程的解► ◇典例2：（2024•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是（　　） A．m＜1且m≠0 B．m＜1 C．m＞1 D．m＜1且m≠﹣1 【变式训练】 1．（2024•遂宁）分式方程＝1﹣的解为正数，则m的取值范围（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2 2．（2024•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣2＝无解，则k的值为（　　） A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2 C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣1 3．（2024•高坪区三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≥2 B．k≤2 C．k≤2且k≠﹣1 D．k＜2且k≠1 ■考点三 分式方程的应用► ◇典例3：（2024•新宁县一模）过节了，某超市用6000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，购进苹果的数量是试销时的2倍． （1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？ （2）如果超市将该品种苹果按每千克8元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的7折（“7折”即定价的70%）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？ 【变式训练】 1．（2024•宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（2024•杭州一模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 3．（2024•石景山区二模）列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 4．（2024•雅安）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ ( 真题演练 ) 1．（2024•广东）方程＝的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9 2．（2024•海南模拟）分式的值为，则x的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．（2024•济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（　　） A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5 C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5 4．（2024•鞍山模拟）已知关于x的方程的解是x＝﹣2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 5．（2024•甘南州）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（　　） A．5km/h B．6km/h C．7km/h D．8km/h 7．（2024•北京）方程的解为 　　． 8．（2024•兴隆台区校级三模）在解分式方程：+2＝的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母　 　． 9．（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 　　． 10．（2024•牡丹江）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 　　． 11．（2024•达州）若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 　　． 12．（2024•福建）解方程：． 13．（2024•义乌市二模）小汪解答“解分式方程：”的过程如下： 解：去分母得：2x+3﹣2＝﹣（x﹣1）…① 去括号得：2x+3﹣2＝﹣x+1…②， 移项得：2x+x＝1+2﹣3…③． 合并同类项得：3x＝0…④， 系数化为1得：x＝0…⑤ 经检验，x＝0是原分式方程的解． 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 14．（2024•大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00﹣23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00﹣次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 15．（2024•周村区二模）已知关于x的分式方程． （1）当m＝1时，求方程的解． （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 16．（2024•杭州二模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 17．（2024•重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元． （1）求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 常见类型及等量关系 销售问题 销量＝ 工程问题 工作时间＝，特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率＝　 行程问题 时间＝ 注意点 列分式方程解应用题必须双检查，既要检验是否为所列分式方程的根，又要检验是否符合实际情况 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第7讲 分式方程其应用 ( 复习目标 ) 1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定义及产生增根的原因； 2.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能对分式方程的解进行检验，判断方程的解是不是增根； 3.会列分式方程解决实际问题. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 分式方程的解法 ☆☆ 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 考点2 分式方程的增根或无解 ☆ 考点3分式方程的应用 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法： (1)基本思路：分式方程转化为整式方程． (2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 最简公分母转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 最简公分母，使最简公分母≠0的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验． （3）分式方程的增根：解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一过程中，产生了使原分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，称为增根． （4）分式方程的无解：分式方程无解有两种可能的情况：(1)去分母后的整式方程无解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最简公分母为0，分式方程也无解 3．分式方程的应用： （1）列分式方程解应用题的一般步骤：审(审清题意)、设(设未知数)、找(找相等关系)、列(列方程)、解(解出这个方程)、验(既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)． （2）常见类型及数量关系 ( 深度讲练 ) ■考点一　解分式方程► ◇典例1：（2024•三原县一模）解方程：﹣1＝ 【思路点拨】本题是分式方程，去分母后把分式方程转化为整式方程，求解检验即可． 【解析】解：方程两边乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3 即：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3 整理，得x＝1 检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是方程的两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程．注意验根． 【变式训练】 1．（2024•无锡）分式方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣2 C． D．x＝2 【思路点拨】先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【解析】解：， x+1＝2x， x＝1， 检验，当x＝1时，x（x+1）≠0， ∴x＝1是原分式方程的解， 故选：A． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 2．（2024•铁东区二模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　） A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3） 【思路点拨】方程两边都乘x（x﹣3），可得一个一元一次方程． 【解析】解：方程两边都乘x（x﹣3），可得2x＝3（x﹣3），为一个一元一次方程， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，关键是使分式方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程． 3．（2024•徐州）分式方程＝的解为 　x＝1　． 【思路点拨】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解析】解：原方程去分母得：6x＝3x+3， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，2x（x+1）≠0， 故原方程的解为x＝1， 故答案为：x＝1． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 4．（2024•海东市二模）解方程：． 【思路点拨】方程去分母后得整式方程，求得方程解后再进行检验即可得到方程的解． 【解析】解：， 去分母得：2x+2﹣x+2＝6x， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 所以方程的解为． 【点睛】本题主要考查解分式方程，关键是四则混合运算的应用． 5．（2024•西宁）解方程：＝﹣1． 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】解：去分母得：2x＝3﹣2x+2， 解得：x＝， 经检验x＝是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 6．（2024•大余县校级一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得x﹣（x﹣3）＝x﹣2 去括号，得x﹣x+3＝x﹣2 合并同类项，得3＝x﹣2 解得x＝5 ∴原方程的解是x＝5 小迪： 解：去分母，得x+（x﹣3）＝1 去括号得x+x﹣3＝1 合并同类项得2x﹣3＝1 解得x＝2 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【思路点拨】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【解析】解：小丁和小迪的解法错误； ﹣＝1，去分母，得x+（x﹣3）＝x﹣2， 去括号，得2x﹣3＝x﹣2， 解得，x＝1， 经检验：x＝1是方程的解． 所以小丁和小迪的解法错误． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． ■考点二 分式方程的解► ◇典例2：（2024•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是（　　） A．m＜1且m≠0 B．m＜1 C．m＞1 D．m＜1且m≠﹣1 【思路点拨】先解分式方程，然后根据关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，分母不为0，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【解析】解：， x+1﹣mx＝0， x﹣mx＝﹣1， （1﹣m）x＝﹣1， ， ∵关于x的分式方程﹣＝0的解是负数， ∴m﹣1＜0且m﹣1≠﹣1， 解得：m＜1且m≠0， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤． 【变式训练】 1．（2024•遂宁）分式方程＝1﹣的解为正数，则m的取值范围（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2 【思路点拨】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可． 【解析】解：去分母得：2＝x﹣1﹣m， 解得：x＝m+3， 由方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠1， 则m的范围为m＞﹣3且m≠﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解，求参数的取值范围，找出x的取值范围是本题的关键． 2．（2024•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣2＝无解，则k的值为（　　） A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2 C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣1 【思路点拨】先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可． 【解析】解：， kx﹣2（x﹣3）＝﹣3， kx﹣2x+6＝﹣3 （k﹣2）x＝﹣9， x＝， ∵关于x的分式方程无解， ∴x﹣3＝0，解得：x＝3，＝3， ∴3k﹣6＝﹣9或k﹣2＝0， 解得：k＝﹣1或2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤和分式方程无解的条件． 3．（2024•高坪区三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≥2 B．k≤2 C．k≤2且k≠﹣1 D．k＜2且k≠1 【思路点拨】先解含有k的分式方程，再根据已知条件列出关于k的不等式，解不等式，从而求出答案即可． 【解析】解：， k+2（x﹣1）＝﹣x， k+2x﹣2＝﹣x， 2x+x＝2﹣k， 3x＝2﹣k， ， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴， 2﹣k≥0 ﹣k≥﹣2， k≤2， ∵x﹣1≠0，’ ∴， 解得：k≠﹣1， ∴k的取值范围是：k≤2且k≠﹣1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． ■考点三 分式方程的应用► ◇典例3：（2024•新宁县一模）过节了，某超市用6000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，购进苹果的数量是试销时的2倍． （1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？ （2）如果超市将该品种苹果按每千克8元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的7折（“7折”即定价的70%）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？ 【思路点拨】（1）设试销时这种苹果的进货价是每千克x元，根据等量关系2×试销时的数量＝本次数量，列出方程求解即可． （2）先求出试销时和第二次进的苹果数量，再根据盈利＝（售价﹣进价）×销量列出算式，然后求解即可． 【解析】解：（1）设试销时这种苹果的进货价是每千克x元，依题意，得： ＝×2， 解得：x＝6， 经检验：x＝6是原方程的解． ∴x＝6． 答：试销时该品种苹果的进货价是每千克6元； （2）试销时进苹果的数量为：＝1000（千克）， 第二次进苹果的数量为：2×1000＝2000（千克）， 盈利为：（3000﹣400）×8+400×8×0.7﹣6000﹣13000＝4040（元）， 答：超市在这两次苹果销售中共盈利4040元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（2024•宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【解析】解：由题意可得， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 2．（2024•杭州一模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 【思路点拨】绫布有x尺，则罗布有（30﹣x）尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；根据方程得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可． 【解析】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺， 设绫布有x尺，则可得方程为， ∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 故选：C． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 3．（2024•石景山区二模）列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 【思路点拨】设引进新设备前工程队每天改造道路x米．根据某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用22天完成了任务．列出分式方程，解方程即可． 【解析】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米． 根据题意得：+＝22， 解得 x＝30， 经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意， 答：引进新设备前工程队每天改造道路30米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（2024•雅安）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【思路点拨】（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1+25%）x米，根据原计划的时间＝实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排y名工人施工，根据工作时间＝工作总量÷工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【解析】解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1+25%）x＝1.25x米， 根据题意得：+15＝， 解得：x＝40， 经检验x＝40是分式方程的解，且符合题意， ∴1.25x＝50， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）设该公司原计划应安排y名工人施工，3000÷40＝75（天）， 根据题意得：300×75y≤180000， 解得：y≤8， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． ( 真题演练 ) 1．（2024•广东）方程＝的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9 【思路点拨】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【解析】解：＝， 2x＝3（x﹣3）， 解得：x＝9， 检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0， ∴x＝9是原方程的根， 故选：D． 【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 2．（2024•海南模拟）分式的值为，则x的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【思路点拨】根据解分式方程的步骤解答即可． 【解析】解：， 2x＝x+1， 解得：x＝1， 经检验x＝1是分式方程的解． 故选：A． 【点睛】本题考查了解分式方程，注意检验是关键． 3．（2024•济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（　　） A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5 C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5 【思路点拨】原方程两边同乘2（1﹣3x）去分母即可． 【解析】解：原方程两边同乘2（1﹣3x）得2（1﹣3x）+2＝﹣5， 即2﹣6x+2＝﹣5 故选：A． 【点睛】本题考查解分式方程﹣去分母，找到正确的最简公分母是解题的关键． 4．（2024•鞍山模拟）已知关于x的方程的解是x＝﹣2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【思路点拨】将x＝﹣2代入得，，然后解分式方程即可． 【解析】解：将x＝﹣2代入得，， ∴2a＝a+1， 解得a＝1， 经检验，当a＝1时，2a+2≠0， ∴a＝1是原分式方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程．正确的解分式方程是解题的关键． 5．（2024•甘南州）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【解析】解：由题意可得， ＝×， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 5．（2024•绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（　　） A．5km/h B．6km/h C．7km/h D．8km/h 【思路点拨】设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为（40+x）km/h，沿江逆流航行的速度为（40﹣x）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合它以该航速沿江顺流航行120km所用时间与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解析】解：设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为（40+x）km/h，沿江逆流航行的速度为（40﹣x）km/h， 根据题意得：＝， 解得：x＝8， ∴江水的流速为8km/h． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 7．（2024•北京）方程的解为 　x＝﹣1　． 【思路点拨】方程两边同乘x（2x+3），将分式化为整式方程求解即可． 【解析】解： x+（2x+3）＝0 3x+3＝0 x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1是原方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 8．（2024•兴隆台区校级三模）在解分式方程：+2＝的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母　x（x+2）（x﹣2）　． 【思路点拨】先把分母x2﹣4和x2+2x因式分解，即可求得分式的最简公分母； 【解析】解：x2﹣4＝x（x+2）（x﹣2），x2+2x＝x（x+2） ∴分式和的最简公分母为x（x+2）（x﹣2） ∴去分母时，需方程两边都乘以最简公分母x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查最简公分母的知识，同时考查了如何解分式方程，同学们要熟练掌握． 9．（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 　x＝4　． 【思路点拨】根据关于x的分式方程（m为常数）有增根，可知x﹣4＝0，进一步计算即可． 【解析】解：∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴x﹣4＝0， ∴x＝4， 故答案为：x＝4． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键． 10．（2024•牡丹江）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 　﹣1　． 【思路点拨】表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数m的值即可． 【解析】解：， 化简得：， 去分母得：x＝3（x﹣1）+mx， 移项合并得：（2+m）x＝3， 解得：， 由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2+m＝1或2+m＝3， 解得：m＝﹣1或m＝1（舍去，会使得分式无意义）． 故答案为：﹣1． 【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 11．（2024•达州）若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 　2或﹣1　． 【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【解析】解：方程去分母得：3﹣（kx﹣1）＝x﹣2 解得：x＝， ①当x＝2时分母为0，方程无解， 即＝2， ∴k＝2时方程无解； ②当k+1＝0即k＝﹣1时，方程无解； 故答案为：2或﹣1． 【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容． 12．（2024•福建）解方程：． 【思路点拨】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解析】解：原方程两边都乘（x+2）（x﹣2），去分母得：3（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2）， 整理得：3x﹣10＝2x， 解得：x＝10， 检验：当x＝10时，（x+2）（x﹣2）≠0， 故原方程的解为x＝10． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 13．（2024•义乌市二模）小汪解答“解分式方程：”的过程如下： 解：去分母得：2x+3﹣2＝﹣（x﹣1）…① 去括号得：2x+3﹣2＝﹣x+1…②， 移项得：2x+x＝1+2﹣3…③． 合并同类项得：3x＝0…④， 系数化为1得：x＝0…⑤ 经检验，x＝0是原分式方程的解． 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 【思路点拨】根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可． 【解析】解：不正确，从第①步开始错，正确步骤如下： 原方程去分母得：2x+3﹣2（x﹣2）＝﹣（x﹣1）， 去括号得：2x+3﹣2x+4＝﹣x+1， 移项得：2x﹣2x+x＝1﹣4﹣3， 合并同类项得：x＝﹣6， 检验：当x＝﹣6时，x﹣1≠0， 故原方程的解为x＝﹣6． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 14．（2024•大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00﹣23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00﹣次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 【思路点拨】设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，利用用电量＝总价÷单价，结合峰时用电量与谷时用电量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解析】解：设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度， 根据题意得：＝， 解得：x＝0.3， 经检验，x＝0.3是所列方程的解，且符合题意． 答：该市谷时电价为0.3元/度． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15．（2024•周村区二模）已知关于x的分式方程． （1）当m＝1时，求方程的解． （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）将m＝1代入分式方程，解分式方程的即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【解析】解：（1）当m＝1时， ， ， ， ， 去分母得：x+1＝2（x﹣1）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时x﹣1≠0， 故方程的解为：x＝3； （2）， ， ， ， 去分母得：x+m＝2（x﹣1）， 解得：x＝m+2， 由分式方程有解且解为非负数，x≠1且x≥0， 即：m+2≠1且m+2≥0 即：m≥﹣2且m≠﹣1 【点睛】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 16．（2024•杭州二模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【思路点拨】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可． 【解析】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1 解得x＝0 经检验，x＝0是原分式方程的解． （2）设？为m， 方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1 由于x＝2是原分式方程的增根， 所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1 所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 17．（2024•重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元． （1）求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【思路点拨】（1）设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，根据“购买外墙漆总费用为15000元，且A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是m方米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解析】解：（1）设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元； （2）设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是m方米， 根据题意得：﹣＝5， 解得：m＝25， 经检验，m＝25是所列方程的解，且符合题意． 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 常见类型及等量关系 销售问题 销量＝ 工程问题 工作时间＝，特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率＝　 行程问题 时间＝ 注意点 列分式方程解应用题必须双检查，既要检验是否为所列分式方程的根，又要检验是否符合实际情况 $$