精品解析：广东省东莞市东城区联考2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末质量自查 八年级数学试题 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，6，11 B. 3，4，5 C. 4，4，10 D. 1，1，2 3. 纳米是非常小的长度单位，1纳米米，某种病菌的长度约为50纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果是（ ） A. B. C. D. 4. 点关于轴对称点的坐标为（） A. B. C. D. 5. 如图用直尺和圆规作一个角角平分线，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算中结果正确的是 （ ）． A. B. C. D. 7. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若等腰三角形一个角的度数是，则这个等腰三角形底角的度数是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 若，，则的值为（ ） A. 21 B. C. D. 10. 如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：__________． 12. 计算：__________． 13. 已知，则代数式的值是___． 14. 如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为______． 15. 如图，等边三角形边长是6，高是，E是的中点，P是上一动点，连接，，则的最小值是_______． 三、解答题一（共4小题，每小题6分，共24分） 16. 计算：． 17 如图，已知，且，，求证：． 18. 已知一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并直接写出点，的坐标； （2）面积为________． 四．解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 20. 先化简：，再从，，0三个数中选择一个合适的a值．代入求值． 21. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板总面积． 22. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 五．解答题三（共2小题，每小题12分，共24分） 23. 数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． 【生活观察】人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． 【数学思考】 （1）再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为_______； （2）请证明（1）中的数学关系式； 【知识迁移】 （3）在中，三条边的长度分别为a，b，c，证明： 24. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于点于点，则与的数量关系是____________； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点于点，求的长； （3）拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末质量自查 八年级数学试题 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，选项A、B、C中的图形都能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故A、B、C不符合题意； 选项D中的图形不是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，6，11 B. 3，4，5 C. 4，4，10 D. 1，1，2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：A、，故不能构成三角形； B、，故能构成三角形； C、，故不能构成三角形； D、，故不能构成三角形； 故选：B． 3. 纳米是非常小的长度单位，1纳米米，某种病菌的长度约为50纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 50纳米米； 故选：C． 4. 点关于轴对称的点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：A． 5. 如图用直尺和圆规作一个角的角平分线，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 连接，，由作图痕迹可知，，，结合全等三角形的判定可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，， 由作图痕迹可知，，， ， ， ， 能得出的依据是． 故选：A． 6. 下列运算中结果正确的是 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算、单项式除以单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 根据同底数幂的乘法运算、单项式除以单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算及幂的乘方运算分别求解即可得到结论． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，直接运用三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】由题意可知，，， ， 故选：B． 8. 若等腰三角形一个角的度数是，则这个等腰三角形底角的度数是（ ） A B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键．根据等腰三角形的一个角的度数为，分为顶角和底角两种情况求解，即可解题． 【详解】解：当等腰三角形的底角是时，等腰三角形的底角的度数是， 当等腰三角形的顶角是时，等腰三角形的底角的度数是， 故选：C． 9. 若，，则的值为（ ） A. 21 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方的逆运算等知识点，应用同底数幂的除法法则和幂的乘方的逆运算，进行计算即可，熟练掌握运算法则是解决此题的关键． 【详解】， ∵，， ∴原式， 故选：C． 10. 如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质平行线的判定等知识。①根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得为等边三角形，所以，据此判断出即可．③根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．④首先根据，可得，然后判断出，再根据，即可判断出．⑤，据此判断即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，结论②正确． ∵， ∴，结论③正确． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，结论④不正确． ∵，结论⑤正确． 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，运用分式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 12 计算：__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了负指数幂，零次幂的计算，掌握负指数幂的计算方法，任何非零数的零次幂的结果为1是解题的关键． 根据计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5 ． 13. 已知，则代数式的值是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式，得出，再把代入，结合二次根式的性质，计算即可得出答案． 详解】解：∵， 又∵， ∴原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式的性质、求代数式的值，解本题的关键在熟练掌握完全平方公式． 14. 如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积和角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过D作于E， ∵，对角线平分， ∴， ∵， ∴, 故答案为： 15. 如图，等边三角形的边长是6，高是，E是的中点，P是上一动点，连接，，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称称最短路线问题，等边三角形的性质“三线合一”，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化的值，从而找出其最小值求解． 【详解】∵是等边三角形，是边的中线， ∴垂直平分， ∴点C与点关于对称，连接交于，则此时，的值最小，且等于的长， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 三、解答题一（共4小题，每小题6分，共24分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，掌握单项式乘以多项式，完全平方公式的计算是解题的关键． 根据单项式乘以多项式，完全平方公式先展开，再根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解： = ． 17. 如图，已知，且，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中运用斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据题意，运用“”判定，即可求解． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 18. 已知一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数． 【答案】 【解析】 【分析】边形的内角和是，列出方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【详解】解：根据n边形的内角和公式，得： ， 解得：． ∴这个多边形的边数是：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，能根据多边形的内角和定理，列出方程，通过解方程来解决问题是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并直接写出点，的坐标； （2）的面积为________． 【答案】（1）图形见解析，， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和轴对称的性质： （1）根据图形轴对称的性质可知，点，，的对应点分别为点，，，依次连接点，，． （2）用的三个顶点所在矩形的面积减去该矩形内减去面积以外的部分的面积即可． 【小问1详解】 解：根据轴对称的性质可知，点，，的对应点分别为点，，，依次连接点，，． 【小问2详解】 故答案为： 四．解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 20. 先化简：，再从，，0三个数中选择一个合适的a值．代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式加减混合运算，代入求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 当时，原式． 21. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板总面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据板模型的总面积为上面的三角形的面积中间梯形的面积下面梯形的面积，列式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式得出，再代入（1）中所求的式子即可得解． 【小问1详解】 解：由图可得： 板模型的总面积为： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴板模型的总面积为． 22. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】（1）甲单价为55元，乙单价为50元 （2）40个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． 【小问2详解】 设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 五．解答题三（共2小题，每小题12分，共24分） 23. 数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． 【生活观察】人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． 【数学思考】 （1）再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为_______； （2）请证明（1）中的数学关系式； 【知识迁移】 （3）在中，三条边的长度分别为a，b，c，证明： 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系证明是解决本题的关键． （1）根据浓度公式代入以及变甜了判断所得分式大小即可； （2）利用作差法，并化简通过判断结果的正负即可； （3）利用三角形的三边关系得到，，，即，，，在通过本题糖水不等式变形求证即可． 【详解】解：（1）由题意得：加入克糖后糖水浓度为：， 由糖水变甜可知：， 故答案：； （2）利用作差法比较大小： ． ∵，， ∴，，即， ∴，即； （3）在中，，，，且，，， ∴，，． 由糖水不等式得，，，， ∴， ∴． 24. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于点于点，则与的数量关系是____________； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点于点，求的长； （3）拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，求点坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由，可得，，则，证明，即可得解； （2）同理可证；则，，计算求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点，证明得到，得出，，从而可得出结论． 【小问1详解】 解：与的数量关系是． 证明：， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在与中， ， ， 又， ； 【小问3详解】 解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， 点坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$