精品解析：广东省深圳市部分学校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

2024~2025学年度高一上学期期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修第一册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合或，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. C. D. 7. 当，函数的零点个数为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A B. C. D. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 11. 已知函数，且时，，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定是____________. 13. 已知函数（且）图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______. 14. 已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系，，且这天的最大温差为，则______；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为______h. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 16 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）求函数的单调区间． 17. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，1月底测得凤眼莲的覆盖面积为月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型：与. （1）分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析，求出对应的函数解析式； （2）若测得6月底凤眼莲的覆盖面积约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适. 18. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度高一上学期期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修第一册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，所以与的终边相同，易知的终边在第三象限． 故选：C． 2. 已知集合或，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可. 【详解】集合或，， 所以. 故选：C 3. “”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，直接判断命题之间的关系即可. 【详解】不等式的解为， 若“”，则不一定有“”，充分性不成立， 若“”，则一定有“”，必要性成立， 所以“”是“”必要不充分条件， 故选：B 4. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及单调性列式求出值. 【详解】由幂函数在上单调递减，得，所以. 故选：A 5. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧度和角度的换算得到，然后利用弧长公式和扇形面积公式计算. 【详解】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为． 故选：B． 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简可得，即可利用正切的二倍角公式求解. 详解】， 因为，所以， 解得或（舍去） 故选:C. 7. 当，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出，在同一坐标系下的图象求得交点个数可得. 【详解】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 8. 若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和. 【详解】根据题意，定义在上的函数满足 则，故函数为周期函数，4是函数的一个周期. 因是上的奇函数，则，的图象关于点对称， 于是，， 在，取，得， 因， 则 ， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对称性解题. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、幂函数的单调性、指数函数的单调性以及对数函数的定义域和单调性等概念.我们将分别根据这些性质来判断每个选项是否成立. 【详解】对于选项A，对于幂函数，它在R上是增函数.因为，所以，选项A成立. 对于选项B，已知且.根据不等式的性质，当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变，所以，选项B不成立. 对于选项C，指数函数在R上是增函数.因为，所以，选项C成立. 对于选项D，因为，所以.对数函数在上是增函数.所以，选项D不成立. 故选：AC. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的图象求出函数解析式，再逐项判断得解. 【详解】观察图象，得，函数的最小正周期，解得，A正确； ，由，得，而， 则，B错误； 函数，，则的图象关于直线对称，C正确； 由函数的图象向左平移个单位长度， 得，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，且时，，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，作出函数的图象，，A正确；由，求得，B错误；，，从而判定C；设，则，则，可得值域，判断D. 【详解】作出函数的图象， 由图可知，若， 则，A正确； 因为，可得， 所以，可得，B错误； 依题意，，得， 则，且当接近时，接近，接近4， 此时， 且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷， 则的取值范围为，C正确； 函数，， 设，则， 则，， 所以函数的值域为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项C，依题意，，得，则，从而求范围. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定是____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定为特称命题，故命题“”的否定为：“”. 故答案为：. 13. 已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】先求出函数的定点，然后得到，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】函数的图像过定点，所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立 故答案为：12 14. 已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系，，且这天的最大温差为，则______；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为______h. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据的最大值和最小值，结合最大温差，即可求得；令，求解三角不等式，即可求得降温的时长. 【详解】对，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差，又，故，解得； 令，即，，又，令， 则或，解得， 则一天中需要降温的时长为：小时. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系得，化简后根据平方关系得，即可求解的值； （2）根据同角三角函数的平方关系，结合角的象限得，再利用二倍角的正弦公式、余弦公式求值即可. 【小问1详解】 由题意，得，则， 即，，解得. 【小问2详解】 由（1）知，又，所以， 所以. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1）奇函数，证明如见解析 （2）单调递增区间为和，单调递减区间不存在 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义推理判断即可. （2）结合反比例函数与对数函数求出单调区间. 【小问1详解】 函数中，，解得或， 则的定义域为， 函数奇函数，证明如下：， 由奇函数的定义可知，为奇函数． 【小问2详解】 令，函数在和上单调递增， 又在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间不存在. 17. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，1月底测得凤眼莲的覆盖面积为月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型：与. （1）分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析，求出对应的函数解析式； （2）若测得6月底凤眼莲覆盖面积约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适. 【答案】（1）， （2）函数模型更合适 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）将分别代入比较即可得解. 【小问1详解】 依题意，可知时，；时，， 对于函数模型，有，解得， 所以. 对于函数模型，有，解得， 所以. 故两函数模型的解析式为，； 【小问2详解】 对于， 当时，， 对于， 当时，， 由于比更接近， 所以函数模型更合适. 18. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，即可证明函数的图象是轴对称图形； （2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可； （3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求出实数的值. 【小问1详解】 由题意可知，，解得，. 所以.易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形. 【小问2详解】 不等式可化为，即， 解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 由题意可知，，得，即， 令，又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得. 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 【答案】（1）存在一个的值为. （2）（i）；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解， （2）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解（i），作出在上的图象如图所示，根据周期性结合图象，对进行讨论即可求解（ii）. 小问1详解】 存在正常数，使得是“伴随函数”. 因为，所以， 因为，所以， 所以存在一个的值为. 【小问2详解】 （i）由，得， 所以是周期为的函数. 由，得，所以为的一条对称轴， 当时，，所以. 所以当. （ii）易知在上的图象如图所示， 根据周期性结合图象， 当时，； 当，或，或时，； 当时，； 当或时，. 【点睛】方法点睛新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$