精品解析：江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

南昌二中2024-2025学年度上学期高一数学期末试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 故. 故选：D. 2. 已知，则“”是“二次函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得或， 由二次函数在单调递增，得， 由或不能推出，而能推出或， 所以“”是“二次函数在上单调递增”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数及指数函数的单调性比较对数式及指数式大小即可. 【详解】，，，所以. 故选:A. 4. 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求．为此，某市公交公司从某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示： 组号 一 二 三 四 五 候车时间/min [0，5） [5，10） [10，15） [15，20） [20，25] 人数 2 6 4 2 1 则这15名乘客的平均候车时间为（ ） A. 8.5 min B. 9.5 min C. 10.5 min D. 11.5 min 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据以及平均数公式，即可求值. 【详解】这15名乘客的平均候车时间为（min）. 故选：C． 5. 在《航拍中国》江西篇中，摄制组的飞机飞过庐山西海时，一座天然的爱心形状岛屿格外吸引眼球.下图左边是庐山西海这座岛屿的地图，其形状如一颗爱心．右边是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数是偶函数，逐项分析函数解析式可排除B，D；求得C，D中函数的最大值可排除C. 【详解】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数， 则函数和都不满足，故排除B、D； 的图象过点，，， 且时，，当且仅当时，等号成立， 即函数的最大值为，又“心形”函数的最大值为，故排除A； 由的图象过点，，，且时， ，当时，等号成立， 即函数的最大值为，满足题意，故C满足． 故选：C． 6. 甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设  分别表示甲两轮答对个，个题目的事件，  分别表示乙两轮答对个，个题目的事件，利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设  分别表示甲两轮答对个，个题目的事件，  分别表示乙两轮答对个，个题目的事件， 则，， ，， 设“两轮活动星队答对个题目”，则， 因为且  与  互斥，  与  ，  与  分别相互独立， 所以， 因此，“星队”在两轮竞答中答对个题目的概率是  ， 故选：B 7. 已知，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可知在上单调递增，结合单调性解不等式即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 可知在上单调递增， 因为，则不等式即为，可得， 又因为，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 8. 已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求得的值域为，利用基本不等式可得的值域为，根据题意可知，根据包含关系列式求解即可. 【详解】因为，， 设，， 令，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 则，所以的值域为， 又因为，当且仅当时取等号， 可得，所以的值域为， 根据题意可知：，则， 即，解得且， 所以实数的取值范围． 故选：C. 【点睛】结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 图象的对称轴为直线 C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得图象的一条对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性及单调性即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D． 【详解】因为为偶函数，所以， 所以图象关于直线对称，又函数在上单调递增， 所以在上单调递减，故A错误，B正确； 因为在上单调递减，所以，故C正确； 由不等式结合的对称性及单调性，得， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为，故D正确， 故选：BCD． 10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B. 张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C. 甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D. 设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立事件的概率计算判断A；利用古典概型的概率公式求解判断B；利用独立事件和互斥事件的概率公式计算判断C；利用独立事件的概率乘法公式建立方程组求解判断D. 【详解】对于A，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯， 第个路口是红灯，所求概率为，A正确； 对于B，从这张卡片中随机抽取张，不同结果为，共6个， 取出张卡片上的数字之和为奇数的结果为，共4个，概率为，B错误； 对于C，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球， 从每个袋子中各任取一个球，则取到不同色球的概率为，C正确； 对于D，由独立事件的概率公式可得， 解得，D错误. 故选：AC 11. 对于函数若存在两个常数使得则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据“U函数”定义，题意选项所给函数性质逐项分析判断可得答案. 【详解】对于A，若，则， 即存在两个常数，，使得成立，故A正确； 对于B，若，则 ，若为定值， 则，解得，且， 故存在两个常数，，使得，故B正确； 对于C，若，则， ，不为定值， 即不存在两个常数，，使得，故C错误； 对于D，若，则不为定值， 故D错误． 故选：AB. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题要充分理解定义，严格按照定义的要求推理、运算，注意区别我们已学的相近知识.该题型重点考查学生的思维逻辑能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用指数及对数运算律化简求值. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 一个袋子里红球和黑球的数量之比为，小球除颜色外，其余完全相同.先按分层抽样从袋子中抽取6个小球，再从中任意取出两个小球，其中至少含有个黑球的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出红球、黑球抽取的个数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】因为袋子里红球和黑球的数量之比为， 所以红球抽取个，分别记作、、、； 黑球抽取个，分别记作、； 从中任意取出两个小球，则可能结果有、、、、、、、、 、、、、、、共个； 其中至少含有个黑球的有、、、、、、、、共个； 所以至少含有个黑球的概率. 故答案为： 14. 已知正实数，满足，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，构造函数，根据函数的单调性得到，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以，又因为  都是正数，所以 ，， 可构造函数 ， 因为与均在上单调递增，所以函数在上单调递增， 由 ，即  ， 根据函数单调性可得 ， 则  ， 当且仅当 ，，即 ，取等号， 因此  的最小值是  ． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是同构得到，结合函数的单调性得到. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.  15. 已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为． （1）求此二次函数的解析式； （2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式的关系可知和是关于的方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即可； （2）由题意可得对，不等式恒成立，令，，则，求解即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以和是关于的方程的两个根且， 所以， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 又因为该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 所以，解得， 所以此二次函数的表达式为，即． 【小问2详解】 对不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，， 则，解得， 即实数的取值范围为． 16. 随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 （1）请你估计该地区所有用户评分的，分位数； （2）若从这个用户中抽取一个容量为的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他个用户的评分分别为，且这个数据的平均数，记这个数据的方差为，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的个数据，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比． （3）平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 附：；参考数据：，，. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可； （2）先根据平均数的计算公式求出丢失的数据，再计算方差，根据评分范围求解即可； （3）根据平均数和参考中方差的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由表可知这个用户评分按从小到大排列如下：，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ， 因为，， 所以这个用户评分的，分位数分别为第项数据和第项和第项数据的平均数， 分别为，，据此估计该地区所有用户评分的，分位数分别约为和． 【小问2详解】 设丢失数据为， 则，解得， 所以 ， 由题意知评分在，即内的满意度等级为“级”， 样本中评分在内的有人， 则可估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为. 【小问3详解】 由题意，，，， 因为老系统的10个数据占两个系统所有数据总和的 所以，， 即新老系统所有评分的方差为. 17. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，解不等式<； （2）已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【答案】（1）{或} （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集； （2）根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，求出，将原题转化为有解问题即可求解. 小问1详解】 当时，由函数单调性的性质可得函数是减函数， 所以不等式<等价于， 即原不等式解集为； 【小问2详解】 由于是偶函数，则， 代入化简得， 解得，又， 令，则由，， 可得， 令，可得， 则在区间上有零点， 可转化为在上有解， 易知函数在上单调递增， 所以，则， 解得，故的取值范围为． 18. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 （2）的所有可能取值为． 【解析】 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为的概率，由此得解. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为． 【小问2详解】 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即． 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为． 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意区间，存在且使，则是的生成函数． （1）判断函数是否是的生成函数； （2）若是的生成函数. ①判断并证明单调性； ②令，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）是 （2）①为上的增函数，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）对，且，整理可得，根据结合生成函数的定义判断即可； （2）①根据生成函数的定义可得，根据函数单调性的定义证明即可；②令，，根据奇偶性和单调性的定义可知在上单调递增，且为奇函数，则原不等式可转化为恒成立，利用单调性的概念求解即可. 【小问1详解】 由题意，且，， 由，得， 则存在，，使得，，满足， 所以是的生成函数. 【小问2详解】 ①由生成函数的定义可得，且，， 因为， 所以，即， 也即， 又，所以，即， 所以函数为上的增函数. ②， 令，， 由函数单调性的性质可得函数在上单调递增， 又， 所以函数也是上的奇函数， 若恒成立，则恒成立， 即恒成立， 所以恒成立，即， 解得实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：关于新概念问题，可以通过列举实例熟悉概念，加深对新概念的理解，然后再进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南昌二中2024-2025学年度上学期高一数学期末试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“二次函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则（ ） A B. C. D. 4. 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求．为此，某市公交公司从某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示： 组号 一 二 三 四 五 候车时间/min [0，5） [5，10） [10，15） [15，20） [20，25] 人数 2 6 4 2 1 则这15名乘客的平均候车时间为（ ） A. 8.5 min B. 9.5 min C. 10.5 min D. 11.5 min 5. 在《航拍中国》江西篇中，摄制组的飞机飞过庐山西海时，一座天然的爱心形状岛屿格外吸引眼球.下图左边是庐山西海这座岛屿的地图，其形状如一颗爱心．右边是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 图象的对称轴为直线 C. D. 不等式的解集为 10. 下列对各事件发生概率判断正确的是（ ） A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B. 张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C. 甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D. 设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 11. 对于函数若存在两个常数使得则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 13. 一个袋子里红球和黑球的数量之比为，小球除颜色外，其余完全相同.先按分层抽样从袋子中抽取6个小球，再从中任意取出两个小球，其中至少含有个黑球的概率为__________． 14. 已知正实数，满足，则的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.  15. 已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为． （1）求此二次函数的解析式； （2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16. 随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 （1）请你估计该地区所有用户评分的，分位数； （2）若从这个用户中抽取一个容量为的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他个用户的评分分别为，且这个数据的平均数，记这个数据的方差为，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的个数据，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比． （3）平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 附：；参考数据：，，. 17. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，解不等式<； （2）已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 18. 为了建设书香校园，营造良好读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券概率更大． 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意区间，存在且使，则是的生成函数． （1）判断函数是否是的生成函数； （2）若是的生成函数. ①判断并证明的单调性； ②令，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$