精品解析：河北省保定市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题（A卷）

2024一2025学年第一学期期末高二调研考试 数学试题（A卷） 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线与直线的距离（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即与直线平行， 故它们之间的距离为， 故选：A 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量的定义即可求解. 【详解】的一个方向向量是. 故选：C. 3. 在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量的运算求解即可. 【详解】设此等差数列为，公差为， 则，故， 所以， 故选：C 4. 过三点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】得到三角形是直角三角形，故只需求出三角形外接圆圆心、半径即可. 【详解】因为，所以三角形是直角三角形， 其外接圆圆心为的中点，半径为， 故所求为. 故答案为：D. 5. 等比数列的前项和为，，则数列的公比（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式计算解方程可得其公比. 【详解】依题意可知公比， 所以，解得. 故选：C 6. 在平行六面体中，与交于点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可求解. 【详解】 故选：D 7. 抛物线与圆交于、两点，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】联立抛物线与圆的方程求出坐标，利用建立方程求解即可. 【详解】设，联立，消y得， 由抛物线和圆都关于x轴对称，所以， 所以，所以，所以. 故选：B 8. 已知分别为椭圆的左，右焦点，点为直线与椭圆的一个公共点，满足，且，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用椭圆定义结合，可求出；又直线，可得直线的方程为，联立求出P点坐标，代入椭圆方程可求出，即得答案. 【详解】由题意知P在椭圆上，则， 故，即， 又，故，则， 结合，得； 又直线，故直线的方程为， 联立，解得，即， 代入，得，结合， 整理得，解得， 故椭圆的方程为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列数列中，一定是单调递增数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断AD，利用与0的关系验证BC. 【详解】因为 对于A：，则数列一定不单调递增，不合题意； 对于B：， 所以数列为单调递增数列； 选项C：，所以数列是单调递增数列； 选项D：当时，，此时数列不是单调递增数列，不合题意. 故选：BC 10. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，点在底面四边形内（包括边界）移动，且，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 点的轨迹长度为 D. 为线段上的点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直性质可知A正确；利用体积桥可求得B正确；根据可求得点轨迹为四分之一圆，知C正确；结合圆的性质可求得D正确. 【详解】对于A，，，，平面， 平面，又平面，，A正确； 对于B，平面，，； 是边长为的等边三角形，， 点到平面的距离，B错误； 对于C，平面，平面，， 又，，， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆在四边形（含边界）中的部分，即四分之一圆， 点轨迹长度为，C正确； 对于D，由C知：点轨迹为四分之一圆， 由圆的性质可知：当三点共线时，最小，此时最小值为， 又，，D正确. 故选：ACD. 11. 当半径为的动圆沿着半径为的定圆的内侧沿圆周无滑动地滚动时，动圆圆周上的一定点的轨迹为星形线.如图所示现有一个星形线，下列说法正确的是（ ） A. 点在曲线的外部 B. 曲线所围成的封闭区域的面积小于128 C. 曲线上的点到原点的距离最小值为4 D. 直线与曲线有三个交点 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，代入得到，故点在曲线的内部，A错误；B选项，求出，数形结合得到曲线所围成的封闭区域面积小于128；C选项，由题意得到为半径为2的小圆在圆心为原点，半径为8的大圆中滚动，小圆上的一点所形成的轨迹方程，数形结合得到最小值为，D选项，先求出和，进而得到点和在两侧，数形结合得到交点个数. 【详解】A选项，，故点在曲线的内部，A错误； B选项，如图所示，其中，连接， 则， 故曲线所围成的封闭区域，位于第一象限的部分面积小于32， 由对称性可知，曲线所围成的封闭区域面积小于128，B正确； C选项，根据题意可知为半径为2的小圆在圆心为原点， 半径为8的大圆中滚动，小圆上的一点所形成的轨迹方程，其中两圆的切点为， 数形结合可知，当三点共线，在之间时， 曲线上的点到原点的距离最小，此时为小圆直径， 故最小值为， 曲线上的点到原点的距离最小值为4，C正确； D选项，由C选项和对称性可知，与直线垂直， 故中点坐标为，故直线， 所以，解得，负值舍去， 故， 将代入中得，， 故点在左侧， 将代入中得，， 故点在右侧， 数形结合，直线与曲线有四个交点，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：C选项，曲线为半径为2的小圆在圆心为原点，半径为8的大圆中滚动，小圆上的一点所形成的轨迹方程，数形结合得到最小值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 抛物线上与焦点的距离等于的点的纵坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出准线方程，根据焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线的准线为，设所求点的纵坐标为， 则，解得. 故答案为： 13. 设是数列的前项和，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据再化简得出，即可求出通项公式再计算即可求值. 【详解】因为，左右同时乘以， 则，又因为， 所以是以1为首项以1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 14. 在棱长为2的正方体中，为平面内一动点，与所成的角为，则动点所在曲线的焦距为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】建立空间直角坐标利用空间向量由两直线夹角得出动点的坐标满足的关系式，求出轨迹方程即可得出结果. 【详解】根据题意以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示； 易知，则 设，则， 由与所成的角为可得； 整理可得，即； 因此可知动点所在曲线为双曲线，且; 所以其焦距为. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用空间向量根据夹角的大小得出动点坐标满足的轨迹方程，求出焦距. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线的方程为． （1）若曲线表示圆，求的取值范围； （2）当时，直线与曲线交于两点，求. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）将方程化为标准方程，列式求解即可； （2）根据题意可得圆心和半径，结合垂径定理求弦长. 【小问1详解】 由曲线的方程整理可得， 则，解得或， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 若，则曲线：，可知圆心，半径为， 则圆心到线的距离， 所以. 16. 在四棱锥中，底面为矩形，平面.点分别在上，且分别为的中点. （1）求证：平面； （2）当，求平面与平面的夹角. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，则， 由底面为矩形，得，平面， 于是平面，而平面，则，又，， 平面，因此平面，而平面， 则，同理，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由（1）知平面的法向量为，， 设平面的法向量，则，令，得 ，所以平面与平面的夹角为. 17. 已知数列满足，且.数列的前和为，. （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）由已知得， 因此为常数， 可得数列为等比数列. 即数列为首项为2，公比为2的等比数列； 可得， 即 （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列定义可证明为等比数列，由等比数列通项公式计算可得； （2）根据表达式利用裂项相消求和可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， ∴的前和为 ； 所以 . 18. 古希腊数学家阿基米德得到：椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，，其面积为. （1）求椭圆的方程； （2）分别是椭圆的左，右顶点，分别是椭圆的上、下顶点，设为第二象限内椭圆上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，判断直线的斜率是否为定值，若是求出这个值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）根据，其面积为 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 即可得结果； （2）设，可得直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，以及斜率公式将直线的斜率用 表示，消去 即可得结果. 【小问1详解】 椭圆的中心为原点，焦点均在轴上， ，其面积为. 设椭圆， 则， 解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设则即 直线得 直线与直线联立得 因为即代入上式 得 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (3)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径. 19. 从点引出三个不共面的向量，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架构成右手标架，如图所示.规定：为一个向量，它的长度为，它的方向与向量均垂直，且使构成右手标架.该运算满足：.为单位正交基底，且符合右手标架，以的正方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，若，则记. （1）证明：； （2）已知向量，求的坐标表示； （3）①三棱锥中，，求三棱锥的体积； ②请结合“”与“数量积”的几何意义，用表示平行六面体的体积. 【答案】（1）若与共线时，； 若与不共线时， 即与的模相等； 根据定义知与同时垂直于，因此与共线； 由于按顺序与分别构成右手标架与， 所以与方向相反，因此. （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）将两向量分共线和不共线两种情况，按照定义新运算分别判断与的模和方向即可证得； （2）按照定义新运算，用的展开式（用表示）进行运算，利用右手标架的规定求出结果，即得其坐标； （3）①利用的几何意义求出的面积，再由在方向上的投影长度，即可三棱锥的体积；②由的几何意义求出的面积，再求点到底面的距离，即得平行六面体的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 由定义知，，， 代入上式得，因此的坐标表示为 【小问3详解】 ①的几何意义为：以，为邻边的平行四边形的面积. ∴， 在方向上的投影长度为 ∴ ②由的几何意义可得平行六面体的底面的面积为. 点到底面的距离为在底面的法向量的投影的长度. 因此. 【点睛】思路点睛：本题主要考查关于空间向量的新定义运算，属于难题. 解题思路即是理解并弄清新定义运算的结果性质，按照规定进行相应的计算或判断，并把运算结果换成生活语言解决实际问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024一2025学年第一学期期末高二调研考试 数学试题（A卷） 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线与直线的距离（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 过三点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的前项和为，，则数列的公比（ ） A. B. 2 C. D. 6. 在平行六面体中，与交于点，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线与圆交于、两点，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知分别为椭圆的左，右焦点，点为直线与椭圆的一个公共点，满足，且，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列数列中，一定是单调递增数列的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，点在底面四边形内（包括边界）移动，且，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 点的轨迹长度为 D. 为线段上的点，则的最小值为 11. 当半径为的动圆沿着半径为的定圆的内侧沿圆周无滑动地滚动时，动圆圆周上的一定点的轨迹为星形线.如图所示现有一个星形线，下列说法正确的是（ ） A. 点在曲线的外部 B. 曲线所围成的封闭区域的面积小于128 C. 曲线上的点到原点的距离最小值为4 D. 直线与曲线有三个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 抛物线上与焦点的距离等于的点的纵坐标为_________. 13. 设是数列的前项和，且，则__________. 14. 在棱长为2的正方体中，为平面内一动点，与所成的角为，则动点所在曲线的焦距为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线的方程为． （1）若曲线表示圆，求的取值范围； （2）当时，直线与曲线交于两点，求. 16. 在四棱锥中，底面为矩形，平面.点分别在上，且分别为的中点. （1）求证：平面； （2）当，求平面与平面的夹角. 17. 已知数列满足，且.数列的前和为，. （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 古希腊数学家阿基米德得到：椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，，其面积为. （1）求椭圆的方程； （2）分别是椭圆的左，右顶点，分别是椭圆的上、下顶点，设为第二象限内椭圆上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，判断直线的斜率是否为定值，若是求出这个值；若不是，说明理由. 19. 从点引出三个不共面的向量，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架构成右手标架，如图所示.规定：为一个向量，它的长度为，它的方向与向量均垂直，且使构成右手标架.该运算满足：.为单位正交基底，且符合右手标架，以的正方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，若，则记. （1）证明：； （2）已知向量，求的坐标表示； （3）①三棱锥中，，求三棱锥的体积； ②请结合“”与“数量积”的几何意义，用表示平行六面体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $