精品解析：河北省保定市四县一中2024-2025学年高二上学期12月期末数学试题

高二年级1＋3考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为直线的倾斜角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，利用二倍角公式及齐次式可得结果. 【详解】∵为直线的倾斜角， ∴直线斜率， ∴. 故选：A. 2. 在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，在正三棱锥中，取中点，连接， 则点为底面中心，且在上， 所以 . 故选：D. 3. 已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案. 【详解】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A 4. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 5. 已知直线的斜率小于0，且经过点，并与坐标轴交于，两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可设直线：，由题意分别求出，，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】由题意可设直线：，将点的坐标代入， 得，则，则. 不妨假设在轴上，则， 记为坐标原点，因为线段与的长度分别为，， 所以的面积， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 6. 已知为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导可得，则为奇函数且，结合选项即可求解. 【详解】由题意知，，定义域为， 又，所以为奇函数，排除BD； 又，排除C； 结合选项，A符合题意. 故选：A 7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 8. 曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 曲线关于对称 B. 的最大值为 C. 该椭圆的离心率为 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的特点分析曲线的对称性，可判断A的真假，并求出椭圆的长轴长和短轴长，根据离心率的概念，可求椭圆的离心率，判断C的真假；利用基本（均值）不等式可以判断B的真假；把方程看成关于的不等式，利用可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】由方程可以看出其关于，对称，A正确； 由题意知，，，，，B正确： 联立方程，解得顶点坐标为和，所以椭圆长轴长为；同理可得另外两个顶点坐标为和，所以椭圆的短轴长为，所以，所以该椭圆的离心率为：，C错误； 看作关于的一元二次方程，，解得，D正确， 故选：C． 【点睛】结论点睛：在曲线方程中，若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，代替，方程不变，则曲线关于原点对称；若用代替，同时用代替，方程不变，则曲线关于直线对称. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过抛物线的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（ ） A. 的坐标为 B. 若，则 C. 若，则的最小值为3 D. 面积的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线，联立直线方程和抛物线方程后消元结合最小弦长可求的值，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由题设有，直线的斜率不为零，故设直线， 则由可得，， 所以，所以 而， 当且仅当时等号成立，故，故， 故，故A正确； 若，则，故，故的斜率为， 其倾斜角为或，故B错误； 若，则过作准线的垂线，垂足为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立， 故的最小值为3，故C正确； ， 当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立. 故选：ACD. 10. 已知数列满足，关于数列有下述四个结论：其中正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. C. D. 若为数列的前项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将条件进行变形即可构造数列；对于B，由A用累加法即可求数列的通项；对于C，由A得，即可判断；对于D，由B利用分组求和即可得到. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以数列为公比为3的等比数列,所以A正确; 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以,故C正确； 由累加法得,所以B错误； 由分组求和得, 所以D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛： 递推关系的解法：理解递推数列的性质，并通过累加法求解通项公式. 等比数列的性质：通过分析递推关系得出等比数列的公比和性质. 分组求和技巧：利用分组求和技巧计算前项和. 11. 如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 存在点P，使得 B. 的最小值为有 C. 面积的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 写出各点坐标，其中点坐标，可设（），即可得出. 对于A选项，要使，即，得到关于的方程，解方程即可； 对于B选项，将和沿展开，连接，的最小值即的长度，利用锐角三角函数和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可得到； 对于C选项，设（），利用向量的夹角公式求得，由同角三角函数的平方关系得到，代入三角形面积公式：，结合二次函数的性质讨论最值即可； 对于D选项，利用等体积法得，即可求解. 【详解】由题意得，，即， 又在直三棱柱中，底面，平面，平面， ，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，，所以，，，，，，，则，， 设（），则，解得，，， 所以， 对于A选项，，， 要使，即，解得， 当，即在中点时，，故A选项正确； 对于B选项，如图所示，将和沿展开，如图所示， 连接交于点，可知，当点与点重合时取得最小值， 由题意得，，，，，， 所以，，，， 则， 在中，由余弦定理得， ，则， 所以的最小值为，故B选项错误； 对于C选项，，，设（）， 则，即， 所以， 则， 因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确； 对于D选项， ，故D选项正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的动点的相关线段的位置关系、线段长度、面积和体积的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理及转化思想的应用. 解答本题关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决空间的中的相关问题，同时对于转化思想的应用，利用两点之间线段最短求距离的最值，本题中B选项， 将和沿展开，利用两点之间的线段最短，，求解即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用来求得正确答案. 【详解】根据题意，数列满足， 当时，有； 当时，有，不符合， 故 故答案为： 13. 已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案. 【详解】设为坐标原点，则， 从而. 设的左焦点为，连接， 由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得， 解得. 由，得，解得， 所以. 故答案为：. 14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用同构的方法对进行转化，然后构造函数，利用函数的单调性得到，即，代入，将问题转化为求单变量式子的最小值问题，再次构造函数，利用导数判断函数的单调性即可求解最值． 【详解】由得，即， 设，则，， 当时，，所以在上单调递增． 因为x，y均为正实数，所以， 由，可得，即． 由知，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以． 则．令， 则，所以在上单调递减， 所以，所以，即的最小值为． 故答案为： 【点睛】与和相关的常见同构模型， ①，构造函数（或，构造函数）； ②，构造函数（或，构造函数；） ③，构造函数（或，构造函数）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离向量求法即可求解； （2）求出两个平面的法向量，利用面面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 因为线段是底面圆的直径，所以，所以， 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 所以，设点到直线的距离为， 则，故点到直线的距离为； 【小问2详解】 由（1）可知，， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设平面与平面所成角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 已知圆上一点 （1）求圆在点处的切线方程； （2）过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先依题求得圆的方程，再求直线的斜率，即得切线斜率，由点斜式方程即得切线方程； （2）设直线的点斜式方程，代入圆的方程，由韦达定理求出点A的坐标，计算弦长和点到直线的距离，由三角形面积公式列方程，解之即得直线的方程. 【小问1详解】 由题意，点在圆上，可得， 因直线的斜率为，则圆在点处的切线斜率为， 故切线方程为，即； 【小问2详解】 如图， 由（1）知圆，又点，， 当直线的斜率不存在时，直线，易知此时，， 点到的距离为3，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 代入中，整理得：， 设，由韦达定理，，即， 代入，可得，即， 于是， 则得， 点到直线的距离为：， 则，解得或， 故直线的方程为或. 17. 若数列的前项和为，且，等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由条件根据关系可得，证明数列是等比数列，由此可求，由条件求数列的公差，再求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【小问1详解】 因为①， 所以②，， ①②得，又 所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列， ， ， 等差数列的公差为. 【小问2详解】 由（1）可得， ， 两式相减得， 18. 已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为， （1）求的方程； （2）证明：为定值； （3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程． 【答案】（1）； （2）证明如下： 可设点，且， 点关于原点的对称点为， 点在上，，作差得， 直线的斜率为，直线的斜率为， ，即为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率及所过点求椭圆方程； （2）设点，且，得，点差法及斜率两点式求，即可证； （3）设弦的中点，点重心,，联立直线与椭圆，应用韦达定理及重心坐标性质得坐标与m的表达式，代入椭圆求参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 由已知，得，解得，则椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设弦的中点，点重心,， 由，得， ，且， 的重心在轴上，， ， 则， 在上的投影向量相等，则，且， 则直线的方程为， ，得，又点在上， ，即 又，则直线的方程为 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令，得到函数的单调性，即可求出函数的最小值； （2）将原问题转化为有两个不同的解，构造函数，分和两种情况讨论，利用函数的单调性及零点存在定理求解实数a的取值范围． 【小问1详解】 由题意可得，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的最小值为； 【小问2详解】 有两个不同的解可化为有两个不同的解， 令， 则， （ⅰ）若，则，由得． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． ①当时，，即，故没有零点，不满足题意． ②当时，，只有一个零点，不满足题意． ③当时，，即， 当时，，， 又，故，所以，又， 故在上有一个零点． 又，因此在上有一个零点， 所以当时，有两个不同的零点，满足题意． （ⅱ）若，由得，． ①当时，， 当时，；当时，；当时，． 所以在和上单调递减，在上单调递增． 又，所以至多有一个零点，不满足题意． ②当时，，则， 所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意． ③当时，， 当时，；当时，；当时，． 所以在和上单调递减，在上单调递增，又，所以至多有一个零点，不满足题意． 综上，实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：与方程的根或函数零点有关的参数范围问题，往往需要对参数分类讨论，并利用导数研究函数的单调性和极值，进而确定参数的取值范围；或通过变形转化为两个函数图象的交点问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级1＋3考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为直线的倾斜角，则（ ） A. B. C. D. 2. 在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 4. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的斜率小于0，且经过点，并与坐标轴交于，两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（ ） A. B. C. D. 8. 曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 曲线关于对称 B. 的最大值为 C. 该椭圆的离心率为 D. 的最大值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过抛物线的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（ ） A. 的坐标为 B. 若，则 C. 若，则的最小值为3 D. 面积的最小值为2 10. 已知数列满足，关于数列有下述四个结论：其中正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. C. D. 若为数列的前项和，则 11. 如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 存在点P，使得 B. 的最小值为有 C. 面积的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且满足，则_______． 13. 已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为_____. 14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 16. 已知圆上一点 （1）求圆在点处的切线方程； （2）过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 17. 若数列的前项和为，且，等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为， （1）求的方程； （2）证明：为定值； （3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程． 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $