精品解析：上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

复兴中学2024学年第一学期高二年级数学期末 2025.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故答案为：. 2. 平行于同一平面的两直线的位置可能是___________. 【答案】平行或相交或异面 【解析】 【分析】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系． 【详解】若且，则与可能平行，也可能相交，也有可能异面， 故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面， 故答案为：平行或相交或异面． 3. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，可根据锐角三角函数进行求解底面圆的半径，再利用勾股定理求解母线. 【详解】已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1， 因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形， 所以底面圆半径为1，所以母线长等于. 故答案为：. 4. 求过点A(2，1)与圆相切的直线方程________ 【答案】 【解析】 【分析】首先说明切线斜率存在，设出切线方程后由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程． 【详解】显然斜率不存在的直线与圆不相切， 因此设切线方程为，即， 圆心是，圆半径为， 所以，解得， 所以切线方程为，即． 故答案为：． 5. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【详解】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 6. 长方体中，，，那么直线和平面的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】 结合长方体，将原距离转化为点和平面的距离解决，最终转化为直角三角形斜边上的高求解即可. 【详解】解：∵直线平面， ∴直线和平面的距离即为点和平面的距离. ∵面面， 在面内过作的垂线，即为面的垂线，也就是直角三角形斜边上的高d， 由面积法得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查线面距离的求法，属于基础题. 7. 已知平行直线和的距离为，则___________. 【答案】6或8 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离求出. 【详解】因为直线和平行， 所以， 又，解得或， 故答案为：6或8 8. 已知双曲线，若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，则椭圆的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出双曲线的顶点坐标，设椭圆方程为，依题意可得、，从而求出，即可得解. 【详解】双曲线的顶点为、， 设椭圆方程为，则，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 9. 如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是___________. 【答案】 【解析】 【分析】画出侧面展开图，运用两点间线段最短.结合勾股定理计算长度即可. 【详解】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：. 10. 已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为原点，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】过作，垂足为，根据抛物线定义以及正弦定理可求得，可得为等腰直角三角形，所以. 【详解】过作，垂足为，如下图所示： 易知，， 在中，，由正弦定理可得， 即， 则在中，可得，则， 所以，即. 可得为等腰直角三角形，又易知，可得. 故答案为： 11. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为. 阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得平面的法向量，同理可得平面的法向量以及的法向量，进而求得直线的一个方向向量，再利用向量的夹角公式即可得解. 【详解】平面的方程为，可得平面的法向量为， 平面的法向量为的法向量为， 设直线的方向向量为，则，即， 令，则， 设直线与平面所成角，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 12. 在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先得的轨迹方程，进一步作二面角的平面角为，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件. 【详解】因为，所以，点的轨迹方程为（椭球），    又因为，所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支）    过点作，而面， 所以面，    设为中点，则二面角为， 所以不妨设， 所以， 所以，令， 所以， 等号成立当且仅当， 所以当且仅当时，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解. 二、选择题（本大题共4题，满分18分.其中第13-14题4分，第15-16题5分）. 13. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（ ） A. x+y-4=0 B. x-y+4=0 C. x+y+4=0 D. x-y-4=0 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，判断三角形形状并求出垂心及外心，进而求出欧拉线的方程. 【详解】由，得，则的垂心为，外心为， 所以欧拉线的方程为，即. 故选：A 14. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ） A. 1895秒 B. 1896秒 C. 1985秒 D. 2528秒 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解． 【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为，高为， 所以细沙体积为 所以该沙漏的一个沙时为秒， 故选：C 15. 如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别取的中点，连接，利用平面的性质可得过的平面截该正方体所得截面为菱形，再计算其面积. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则， 又且，得是平行四边形，得， 所以，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为1，，，，， 故的面积为. 故选：D. 16. 已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ） A. 线段（不包含端点） B. 椭圆一部分 C. 双曲线一部分 D. 线段（不包含端点）和双曲线一部分 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合椭圆方程进行求解判断即可. 【详解】因为函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分， 所以， 因为，，成等比数列， 所以有，且有成立， 即成立， 由， 化简得：，或， 当时，即，因为，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）； 当时，即， 因为，所以，而，所以不成立， 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证: 直线平面; （2）求异面直线、所成角的大小. 【答案】（1） 由题意得O为的中点， 连结，又因为P是的中点，故， 又因为平面，平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设和交于点O，则O为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）由（1）知，，得到异面直线与所成的角就等于与所成的角，在直角中，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以异面直线与所成的角就等于与所成的角， 故即为所求；因为，为的中点，则， 则易知，因为为中点，则， 在直角中，可得， 又因为，所以. 18. 已知圆，直线. （1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点； （2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？ 【答案】（1）直线，即， 由，解得，故直线过定点， 又因为，故点在圆内，则直线与圆C恒相交两点， （2）能，理由如下： 设直线与圆C相交于，假设直线能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧， 则圆心角，即点C到直线的距离为化简得， 所以，所以存在直线满足题意. （或者利用此时，此时即过垂直于的直线满足题意） 【解析】 【分析】（1）首先根据直线的方程求出该线段经过的定点，再判断该点与圆的位置关系； （2）根据题干信息弧长比转化为圆心角之比，再计算到点到直线距离，即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知双曲线的左，右焦点分别为. （1）若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； （2）已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用实轴长，和焦距求出渐近线. （2）利用双曲线定义，及两点之间线段最短，得到点在线段上，得到直线的方程，再代入得到面积. 【小问1详解】 令双曲线的半焦距为，依题意，， 由，得，则，所以双曲线的渐近线方程为. 【小问2详解】 由双曲线的定义可得， 所以的周长为, 由于为定值，要使的周长最小，则应使最小为， 即点在线段上, ∵，所以直线的方程为：， 即，将其代入，解得或（舍去）， 因此点.所以 20. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. （1）求证：； （2）求证：为直角三角形； （3）若，求四棱棱的体积. 【答案】（1）作，E为垂足，如图， 在等腰梯形ABCD中，， ∴，， ∴， ∴，∴． （2）∵，平面平面PCD，平面平面PCD，平面PCD， ∴平面ADP，又平面ADP， ∴，又， ∵平面ACP， ∴平面ACP， ∵平面ACP，∴， ∴，即为直角三角形. （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由勾股定理即可得证； （2）由平面平面PCD依次证平面ADP、、平面ACP、即可； （3）由几何关系可得，结合即可求值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知在等腰梯形ABCD中，．， ．∴．∴． 又平面ADP，为直角三角形，， ∴，， ∴． ∴． 21. 已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． （1）证明：是常数； （2）过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由已知，点的坐标为，且可设直线的方程为， 联立方程组，消去， 得（*）， 因为， 所以，为方程（*）的两个实根，且， 因为点，在抛物线上， 所以，为常数． （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系证得. （2）①求得直线的方程，点的坐标，利用根与系数关系求得. ②根据抛物线的定义求得，然后求得的表达式，再利用不基本不等式求得最小值.或：假设直线的倾斜角为，将表示为含有的三角函数的形式，利用换元法、函数的单调性等知识来求得最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在题设条件下，直线，都不与坐标轴平行且， 由（1）可知直线的方程为：， ①因为抛物线的准线方程为， 代入的方程可得点的坐标为， 由（1）可知，，， ，， 因此，， ， 即的值为． ②存在最小值， 设点，的坐标分别为，， 因为点均在抛物线上， 所以，，，， 由，有，即， 变形可得， 则（**）， 同理，， 根据抛物线的定义可知，，， ，， 所以 ． 由（**）知，， 即，当且仅当时取“＝”， 同理，，当且仅当时取“＝”， 由题设，， 所以，， 所以， ， 由题意可知，，同时成立， 此时，取得最小值， 故存在最小值，最小值为． 另解： 存在最小值， 假设直线的倾斜角为，根据题意可设， 如图，设点在轴上的射影为点， 抛物线的准线与轴相交于点， 根据抛物线的定义，由题设点的位置可知 ， 所以，， 同理可得，，，， 所以 ， 令，， 则， 由，可得， 易知函数为增函数， 所以， 上式中，当且仅当，即时（此时）等号成立， 所以，， 所以，存在最小值，该最小值当且仅当时取得. 【点睛】关键点睛： 这道题涉及了多种数学工具，如抛物线的几何性质、直线方程、向量运算和不等式技巧. 解决最小值问题时，利用函数的单调性和几何对称性是非常有效的，解题时，要充分理解题目中抛物线和直线的几何关系，并使用适当的几何工具（如根与系数关系、向量积等）来简化计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复兴中学2024学年第一学期高二年级数学期末 2025.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为___________. 2. 平行于同一平面的两直线的位置可能是___________. 3. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为__________． 4. 求过点A(2，1)与圆相切的直线方程________ 5. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________. 6. 长方体中，，，那么直线和平面的距离是________． 7. 已知平行直线和的距离为，则___________. 8. 已知双曲线，若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，则椭圆的标准方程为___________. 9. 如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是___________. 10. 已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为原点，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为________. 11. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为. 阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为____________. 12. 在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为___________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分.其中第13-14题4分，第15-16题5分）. 13. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（ ） A. x+y-4=0 B. x-y+4=0 C. x+y+4=0 D. x-y-4=0 14. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ） A. 1895秒 B. 1896秒 C. 1985秒 D. 2528秒 15. 如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ） A. 线段（不包含端点） B. 椭圆一部分 C. 双曲线一部分 D. 线段（不包含端点）和双曲线一部分 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证: 直线平面; （2）求异面直线、所成角的大小. 18. 已知圆，直线. （1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点； （2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？ 19. 已知双曲线的左，右焦点分别为. （1）若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； （2）已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 20. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. （1）求证：； （2）求证：为直角三角形； （3）若，求四棱棱的体积. 21. 已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． （1）证明：是常数； （2）过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $