精品解析：山西省太原市2024-2025学年高一上学期1月期末学业诊断数学试卷

2024～2025学年第一学期高一年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8:00-10:00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到的图象，若函数在上没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，，则下列结论正确是（ ） A. ，的最小正周期都是 B. ，都是奇函数 C. ，在上都是单调递增 D. ，的对称中心相同 10. 已知函数，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象过定点 B. C. D. 11. 函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期 C. 在上递增 D. 若在上恰有4个零点，则实数的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为________ 13. 已知，且，则值为__________. 14. 已知函数，若函数恰有7个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求的值； （2）已知，，请用，表示. 16 已知 （1）化简； （2）若，求下列各式的值： ①；②. 17. 已知． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间曼哈顿距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期高一年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8:00-10:00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】因为， 根据诱导公式得：， 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的范围与三角函数值的符号的关系，即可判断得出结论. 【详解】易知“”可以推出“”，即充分性成立； 而当时，，此时推不出“”，即必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 3. 已知，，，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性计算限定出的取值范围，可得结论. 【详解】易知，即； ，即， 而，即； 所以可得. 故选：A 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数零点存在性定理判断可得答案 【详解】，， 且在单调递增， 由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为. 故选：B. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据的值求出和的值，再代入两角和公式求解. 【详解】因为，所以. 又因为，将代入可得： ，即，，. 因为且，所以，. 所以，. 根据两角和公式 将，代入可得： . 故选：D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 可由奇偶性，特殊值等排除，判断找到答案. 【详解】，故为奇函数，排除D ，排除A 时，，，故有， 故选：B 【点睛】本题用到了一个结论： 证明如下： 为增函数 故 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使在上单调递增，需要在上也单调递增且在上恒成立.我们将分情况讨论的取值范围. 【详解】当时，此时，这是一个一次函数，其斜率，函数在上单调递减，不满足在上单调递增的条件，所以. 当时，对于二次函数，其对称轴. 要使在上单调递增，则对称轴，即. 同时，要使在上恒成立，即当时，， 解不等式，得到，即.综合起来，. 当时，二次函数的图象开口向下，在上不可能单调递增，所以这种情况不符合要求. 综上，实数的取值范围是. 故选；C. 8. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到的图象，若函数在上没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象变换得到，再根据函数在上没有零点，由或求解. 【详解】解：把函数的图象向左平移个单位长度得到， 再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到， 因为函数在上没有零点， 所以或， 解得或， 当时，或， 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. ，的最小正周期都是 B. ，都是奇函数 C. ，在上都是单调递增 D. ，的对称中心相同 【答案】BC 【解析】 【分析】利用周期公式计算可得A错误，根据函数奇偶性定义卡判断B正确，由正弦函数和正切函数单调性可判断C正确，分别求得它们对称中心表达式可判断D错误. 【详解】对于A，易知的最小正周期是，即A错误； 对于B，易知，， 且，的定义域都为R，满足奇函数定义，因此它们都是奇函数，可得B正确； 对于C，当时，，再由正弦函数和正切函数单调性可得C正确； 对于D，令，可得，即； 可得的对称中心为； 而对于其对称中心的横坐标满足，可得， 即的对称中心为，因此，的对称中心不完全相同. 故选：BC 10. 已知函数，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象过定点 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用对数函数的性质判断A，C，举反例判断B，D即可. 【详解】对于A，当时，， 所以的图象过定点，故A正确， 对于B，令，，，此时， 而， ， ， 不满足，故B错误， 对于C，， 而， 因，所以，故C正确， 对于D，令，，，此时， 此时，， 故，而，故， 得到，即，故， 而, , 此时不满足，故D错误. 故选：AC 11. 函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期 C. 在上递增 D. 若在上恰有4个零点，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象以及单调性可得A错误，求得函数解析式可判断，即B正确，再由整体代换以及正弦函数单调性可得C正确，由得出，利用图象可得，可判断D正确. 【详解】对于A，由图可知，且，即， 又，可得或； 因为在点附近的图象呈下降趋势，可得，即A错误； 对于B，由选项A可知，，所以， 所以，解得； 由图可知，可得，又，可得； 所以的周期，即B正确； 对于C，由B可知，当，可得； 由在上单调递增，可得在上递增，即C正确； 对于D，当，可得； 若在上恰有4个零点，可得，解得； 即实数的取值范围是，可得D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用零点个数并结合函数图象限定得出不等式，即可得出参数的取值范围. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可得结果. 【详解】由已知可得，该扇形的面积为. 故答案：. 13. 已知，且，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由同角三角函数基本关系以及二倍角公式即可运算求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数恰有7个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象利用换元法转化为方程根的个数，以及函数值域与根的取值范围即可得出实数的取值范围. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 令， 因为恰有7个零点， 所以有个不同的根， 令，不妨设， 当时，， 则，此时无解； 当时，， 则或 解得或， 综上，． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：求解零点个数问题经常利用函数与方程的思想画出函数图象，将问题转化为图象交点个数即可求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求的值； （2）已知，，请用，表示. 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质求解； （2）易得，，再利用换底公式求解. 【详解】解：（1） ； （2）∵，，∴，， ∴ . 16. 已知 （1）化简； （2）若，求下列各式的值： ①；②. 【答案】（1） （2）①5；②3 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简求解； （2）由，求得，再利用齐次式计算. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1）得， ∴， ①； ② . 17. 已知． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再结合正弦函数的单调性求解； （2）先由平移变换得到，再利用余弦函数的性质求解. 【小问1详解】 令，则， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意得， 因，有，则， 可得， 故在上的值域为. 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果； （2）由函数单调性定义证明即可得出结论； （3）分离参数可得在上恒成立，再由单调性求得最值可得. 【小问1详解】 设的定义域为， 由题意得对于任意，都有恒成立， 即恒成立， ∴，∴， 当时，无意义； 当时，是定义域为的奇函数. 【小问2详解】 在上单调递增. 证明：设，则 ， ∵， ∴， ∴，∴， ∴在上单调递增. 【小问3详解】 原不等式等价于， 令，， 由在上单调递增， ∴， ∴实数的取值范围为. 19. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 【答案】（1）曼哈顿距离为2，其余弦距离为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用给定定义求解即可. （2）利用给定定义结合两角正余弦的和差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得， ， 所以，之间的曼哈顿距离为2，其余弦距离为； 【小问2详解】 ①由题意得 ，∵，∴， ∵， ∴，∴， ， ， ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴， ， ∴ ， ∴，之间的曼哈顿距离为 . 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后结合两角正余弦的和差公式进行化简，得到所要求的距离即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $