精品解析：黑龙江省2025年1月普通高中学业水平合格性考试数学试卷

2025年1月黑龙江省普通高中学业水平合格性考试 数学 1.考生要认真填写考场号和座位号. 2.本试卷共6页，分为两部分，第一部分选择题24小题（共72分）；第二考部分非选择题6小题（共28分）.满分100分.考试时间60分钟. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.第一部分必须用2B铅笔填涂，第二部分必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 5.考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题共72分） 一､选择题：本题共24小题，每小题3分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的性质求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 在复数集中，为虚数单位，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算性质求解即可. 【详解】由复数运算性质得，故A正确. 故选：A 3. 如图所示，在中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量加法法则求解即可. 【详解】由平面向量加法法则得，故B正确. 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直接代入解析式即可. 【详解】因为函数，所以， 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由幂的运算性质可得答案. 【详解】. 故选：D 6. 已知某医院一天参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，采用分层随机抽样的方法，要从这100人中抽出一个容量为10的样本，如果在各层中按比例分配样本，则老年人被抽到的人数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念求解即可. 【详解】因为参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人， 所以按分层抽样，老年人被抽到的人数是人， 故选：A 7. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为，则. 故选：B 8. 已知向量，向量，则（ ） A. 20 B. 17 C. 8 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示直接求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以， 故选：B 9. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式计算求解即可. 【详解】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现的所有可能为“正正”，“正反”，“反正”，“反反”， 所以出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率， 故选：C 10. 如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（    ）条. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用长方体的结构特征直接判断得解. 【分析】在长方体中，与平面垂直的棱有、、、，共条. 11. 已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】利用象限角的概念可得出结论. 【详解】因为，故是第一象限角. 故选：A. 12. 已知，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式可得或， 因为或，因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 13. （ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算性质计算求解即可. 【详解】由对数的运算性质可得， 故选：C 14. 王老师对本班50名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加数学小组的人数是（ ） 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 A. 11人 B. 10人 C. 9人 D. 5人 【答案】B 【解析】 【分析】将本班人数乘以参加数学小组的频率，即可得解. 【详解】参加数学小组的频率为0.2， 所以本班报名参加数学小组的人数是， 故选：B 15. 祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用球的体积公式，将半径，直接代入求解即可. 【详解】由题意球的体积公式为， 则半径的球的体积， 故选：D 16. 已知命题：命题.则（ ） A. 命题是真命题，命题是真命题 B. 命题是假命题，命题是假命题 C. 命题是真命题，命题是假命题 D. 命题是假命题，命题是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的定判断两命题的真假即可. 【详解】因为，所以命题是真命题， 因为，所以不存在，所以命题是假命题， 故选：C. 17. 如图所示，该图象对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象判断函数的性质，再结合幂函数的性质判断即可. 【详解】由函数图象可知，该函数的定义域为，函数图象关于原点对称，故为奇函数， 且函数在，上单调递减，故符合题意的只有A. 函数、在定义域上单调递增，不符合题意； 函数为偶函数，不符合题意； 故选：A 18. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 19. 已知向量，则向量的模（长度）为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由模长公式即可求解. 【详解】， 故选：D 20. 如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 直线在平面内 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系可得出结论. 【详解】如果直线与平面没有公共点，则， 故选：A. 21. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】选项A：令，则，所以不是奇函数； 选项B：令，则，所以不是奇函数； 选项C：令，则，且定义域为R，所以是奇函数； 选项D：令，则，所以不是奇函数； 故选：C 22. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】因为，则当时，，A说法错误； 因为，所以，B说法错误； 因为，所以，C说法错误，D说法正确； 故选：D 23. 如图所示，函数的单调递减区间为（ ） A. B. 和 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 24. 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（ ） A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数 【答案】D 【解析】 【分析】细读题目，可知初期增长迅速，后来增长越来越慢，只有对数函数最符合题意. 【详解】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查逻辑思维能力，考查学生对实际问题的分析和解决能力，属于常考题. 第二部分（非选择题共28分） 二､填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分. 25. 已知函数，则函数的零点个数为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增且连续， 且，， 所以函数有1个零点， 故答案为：1 26. 集合，若，则的取值可能__________.（写出一个满足题意的答案即可） 【答案】 【解析】 【分析】计算集合再求出参数的值. 【详解】若，满足，，所以可以是中任意一个，可以是， 故答案为：.（答案不唯一） 27. 已知，则线段的中点坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： 28. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为，则这个三棱锥的体积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三条侧棱两两垂直的关系,利用线面垂直的判定定理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】 不妨设，，，且两两互相垂直， ， 又，，平面，， 平面，. 故答案为：. 三､解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 29. 黑龙江省某中学为了掌握该校学生对2025年“亚冬会”的了解程度，现从该校高一年级学生中采用不放回简单随机抽样的方法抽取30人，参加学校组织的“亚冬会”知识竞赛. （1）高一年级学生知识竞赛成绩统计如下： 成绩 人数 5 9 11 3 2 通过以上数据，试估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩； （2）在上述成绩样本中，从知识竞赛成绩位于的学生中不放回地随机抽取2人，求所抽取的2人成组均在之间的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数估计值的计算公式，可得答案； （2）利用古典概型的概率公式以及列举法，可得答案. 【小问1详解】 ， 估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩为. 【小问2详解】 由（1）可知竞赛成绩位于共有人， 位于有人，记为，位于有人，记为， 所抽取的2人成组均在之间的情况为，情况数为； 在人中抽取的情况有，，，，，，，，，，总的情况数为， 所以所抽取的2人成组均在之间的概率. 30. 已知函数. （1）求函数的最小值： （2）求使成立的的取值集合. 【答案】（1）最小值是； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简原函数，结合正弦函数性质求解即可. （2）利用正弦函数性质求解不等式即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 故函数的最小值是. 【小问2详解】 令，则， 即，得到， 故，解得， 故使成立的的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年1月黑龙江省普通高中学业水平合格性考试 数学 1.考生要认真填写考场号和座位号. 2.本试卷共6页，分为两部分，第一部分选择题24小题（共72分）；第二考部分非选择题6小题（共28分）.满分100分.考试时间60分钟. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.第一部分必须用2B铅笔填涂，第二部分必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 5.考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题共72分） 一､选择题：本题共24小题，每小题3分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复数集中，为虚数单位，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 3. 如图所示，在中，（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某医院一天参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，采用分层随机抽样的方法，要从这100人中抽出一个容量为10的样本，如果在各层中按比例分配样本，则老年人被抽到的人数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知，则（    ） A. B. C. D. 8. 已知向量，向量，则（ ） A. 20 B. 17 C. 8 D. 0 9. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率是（ ） A. 0 B. C. D. 1 10. 如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（    ）条. A. B. C. D. 11. 已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 12. 已知，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. （ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 0 14. 王老师对本班50名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加数学小组的人数是（ ） 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 A. 11人 B. 10人 C. 9人 D. 5人 15. 祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 16. 已知命题：命题.则（ ） A. 命题是真命题，命题是真命题 B. 命题是假命题，命题是假命题 C. 命题是真命题，命题是假命题 D. 命题是假命题，命题是真命题 17. 如图所示，该图象对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 18. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 19. 已知向量，则向量的模（长度）为（ ） A. B. 0 C. D. 1 20. 如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 直线在平面内 21. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 22. 若，则（ ） A. B. C. D. 23. 如图所示，函数的单调递减区间为（ ） A. B. 和 C. D. 24. 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（ ） A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数 第二部分（非选择题共28分） 二､填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分. 25. 已知函数，则函数的零点个数为__________. 26. 集合，若，则的取值可能__________.（写出一个满足题意的答案即可） 27. 已知，则线段的中点坐标为__________. 28. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为，则这个三棱锥的体积是__________. 三､解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 29. 黑龙江省某中学为了掌握该校学生对2025年“亚冬会”的了解程度，现从该校高一年级学生中采用不放回简单随机抽样的方法抽取30人，参加学校组织的“亚冬会”知识竞赛. （1）高一年级学生知识竞赛成绩统计如下： 成绩 人数 5 9 11 3 2 通过以上数据，试估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩； （2）在上述成绩样本中，从知识竞赛成绩位于的学生中不放回地随机抽取2人，求所抽取的2人成组均在之间的概率. 30. 已知函数. （1）求函数的最小值： （2）求使成立的的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $